人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊 5.3.1《函數的極值與最大（?。┲怠方虒W設計

人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊5.3.1《函數的極值與最大（?。┲怠方虒W設計學校授課教師課時授課班級授課地點教具課程基本信息1.課程名稱：人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊5.3.1《函數的極值與最大（?。┲怠?/p>

2.教學年級和班級：高二年級（10）班

3.授課時間：2023年10月20日

4.教學時數：1課時核心素養(yǎng)目標1.通過對函數極值與最大（?。┲档母拍顚W習和應用，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數學抽象素養(yǎng)。

2.通過解決實際問題，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，發(fā)展學生的數學建模素養(yǎng)。

3.在探索函數極值的過程中，培養(yǎng)學生的直觀想象和數學運算能力，提升數據分析素養(yǎng)。教學難點與重點1.教學重點

-函數極值的定義與性質：讓學生理解函數極值的定義，包括極大值和極小值的含義，以及如何判斷函數在某一點取得極值。

-函數的最大（?。┲登蠼夥椒ǎ航淌趯W生如何利用導數來求解函數的最大值和最小值，包括使用導數判定法和閉區(qū)間連續(xù)函數的最值定理。

舉例解釋：

-例如，通過求解函數f(x)=x^2-4x+3的極值點，讓學生理解如何通過導數f'(x)=2x-4來確定極值點，并進一步求出函數的極大值和極小值。

-通過閉區(qū)間[0,3]上函數g(x)=x^3-6x^2+9x+1的最大值和最小值求解，讓學生掌握如何應用最值定理和導數來解決問題。

2.教學難點

-極值點與導數零點的關系：學生可能難以理解導數為零的點不一定是極值點，以及如何判斷導數為零的點附近的函數行為。

-最大（?。┲档呐卸ǚ椒ǎ簩W生在應用最值定理時可能不清楚如何確定閉區(qū)間的端點和內部點的函數值，以及如何比較這些值來確定最大（?。┲?。

舉例解釋：

-例如，在講解函數h(x)=x^3的導數h'(x)=3x^2時，需要強調導數為零的點x=0并不是極值點，而是拐點，讓學生理解導數零點與極值點的關系。

-在求解函數k(x)=-x^2+4x在區(qū)間[0,4]上的最大值時，學生可能不知道如何比較k(0)、k(2)和k(4)這三個值，需要指導學生通過計算這些點的函數值并比較它們來確定最大值。教學資源-人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊教材

-多媒體教學設備（投影儀、電腦）

-數學軟件（如GeoGebra）

-教學PPT

-黑板和粉筆

-實際例題和練習題教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對函數極值與最大（?。┲档呐d趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“同學們，我們在日常生活中會遇到很多最優(yōu)化問題，比如如何找到物品的最優(yōu)價格，如何規(guī)劃路線使路程最短。這些問題背后其實都涉及到一個數學概念，你們知道它是什么嗎？它就是今天我們要學習的函數極值與最大（?。┲怠！?/p>

展示一些關于函數極值與最大（?。┲档膽脤嵗?，如物體運動中的最高點、最低點，讓學生初步感受這個概念的實際意義。

簡短介紹函數極值與最大（?。┲档幕靖拍詈椭匾?，為接下來的學習打下基礎。

2.函數極值與最大（小）值基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解函數極值與最大（?。┲档幕靖拍?、判定方法和求解步驟。

過程：

講解函數極值的定義，包括極大值和極小值的含義，以及如何判斷函數在某一點取得極值。

詳細介紹函數的最大（小）值求解方法，包括使用導數判定法和閉區(qū)間連續(xù)函數的最值定理。

3.函數極值與最大（?。┲蛋咐治觯?0分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解函數極值與最大（?。┲档奶匦院蛻?。

過程：

選擇幾個典型的函數極值與最大（小）值案例進行分析，如物體運動中的速度最大化問題、成本最小化問題等。

詳細介紹每個案例的背景、求解過程和結果，讓學生全面了解函數極值與最大（小）值的多樣性或復雜性。

引導學生思考這些案例對實際生活或學習的影響，以及如何應用函數極值與最大（?。┲到鉀Q實際問題。

小組討論：讓學生分組討論函數極值與最大（?。┲翟趯嶋H應用中的重要性，并提出可能的創(chuàng)新性應用。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與函數極值與最大（?。┲迪嚓P的實際問題進行討論。

小組內討論該問題的背景、求解方法和可能的結果。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對函數極值與最大（?。┲档恼J識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括問題的背景、求解過程、結果以及創(chuàng)新性想法。

其他學生和教師對展示內容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內容，強調函數極值與最大（小）值的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學習內容，包括函數極值與最大（小）值的基本概念、判定方法、案例分析等。

強調函數極值與最大（小）值在現實生活或學習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用這些概念。

布置課后作業(yè)：讓學生選擇一個實際問題，應用函數極值與最大（?。┲档那蠼夥椒ǎ珜懸黄鉀Q問題的報告。學生學習效果學生學習效果

1.理解了函數極值的概念：學生能夠準確描述函數極值的定義，包括極大值和極小值，并能夠通過導數判斷函數在某一點的極值情況。

2.掌握了求解函數最大（?。┲档姆椒ǎ簩W生能夠運用導數判定法和閉區(qū)間連續(xù)函數的最值定理，有效地求解函數的最大值和最小值問題。

3.能夠分析實際問題：通過案例分析，學生學會了如何將實際問題轉化為數學模型，并運用所學的函數極值與最大（?。┲抵R解決問題。

4.提升了數學思維能力：學生在解決函數極值與最大（?。┲祮栴}的過程中，邏輯思維能力和數學抽象素養(yǎng)得到了鍛煉和提升。

-學生能夠識別并標記出函數的極值點，并解釋這些點在函數圖像上的表現。

-學生能夠通過計算導數，判斷函數在某一點的增減情況，從而確定極值類型。

-學生能夠應用閉區(qū)間連續(xù)函數的最值定理，求解給定區(qū)間內的最大值和最小值問題。

-學生在小組討論中，能夠提出實際問題，并嘗試運用函數極值與最大（?。┲档闹R來解決這些問題。

-學生在課堂展示中，能夠清晰地表達自己的思考過程和求解步驟，展示了良好的表達能力和邏輯思維。

-學生通過課后作業(yè)，能夠獨立選擇實際問題，并應用所學知識撰寫解決問題的報告，這表明他們能夠將理論知識應用到實踐中。

-學生在解決實際問題的過程中，學會了如何分析問題、建立模型、求解問題，并能夠反思和評價自己的解題策略，這有助于培養(yǎng)他們的數學建模素養(yǎng)和數據分析能力。

-學生通過本節(jié)課的學習，對函數極值與最大（?。┲档恼J識不僅停留在理論層面，還能夠理解其在現實生活中的應用價值，這有助于提高他們的數學應用意識。

總體來說，學生在本節(jié)課的學習中，不僅掌握了函數極值與最大（小）值的基礎知識和求解方法，而且在實際問題解決、數學思維提升和數學素養(yǎng)發(fā)展等方面都取得了顯著的效果。這些成果將為學生未來的數學學習和實際問題解決能力的提升奠定堅實的基礎。教學反思與改進這節(jié)課結束后，我感到學生對于函數極值與最大（?。┲档母拍罾斫庥兴嵘?，但在實際應用和問題解決方面還存在一些不足。為了更好地評估教學效果并識別需要改進的地方，我設計了以下反思活動：

1.學生反饋：我計劃在下一節(jié)課開始前，通過問卷調查或口頭詢問的方式，收集學生對本節(jié)課內容難易程度、教學方法、案例選擇等方面的反饋。這樣可以直接了解學生的感受和學習體驗。

2.作業(yè)分析：我將仔細分析學生的課后作業(yè)，特別是那些應用題的解答，以判斷他們是否能夠將課堂上學到的知識應用到實際問題中。

3.小組討論評價：我會在課后與每個小組進行簡短的交流，了解他們在小組討論中的表現，包括參與度、合作情況以及問題解決的效果。

基于以上反思活動，我已經識別出以下幾個需要改進的地方：

-案例的實用性：雖然我在課堂上使用了一些案例來說明函數極值與最大（?。┲档膽茫行┌咐赡茈x學生的實際生活較遠，導致他們難以產生共鳴。我計劃在未來的教學中，選擇更多與學生的生活經驗相關的案例，以增強他們的興趣和參與度。

-互動環(huán)節(jié)的優(yōu)化：雖然我安排了小組討論和課堂展示，但有些學生可能在這個過程中沒有得到足夠的互動機會。我打算增加課堂互動環(huán)節(jié)，例如引入更多的課堂提問和小組競賽，以確保每個學生都有機會參與。

-概念理解的深化：我發(fā)現有些學生在理解函數極值的概念時，仍然存在一些模糊的地方。為此，我計劃在未來的教學中，增加一些針對性的練習，幫助學生更好地理解極值點的判定和最值定理的應用。

-教學資源的豐富：為了提高學生的學習興趣和教學效果，我打算豐富教學資源，包括引入更多的多媒體材料、數學軟件和在線資源，以提供更多元化的學習體驗。

在未來的教學中，我將采取以下改進措施：

-更新案例庫：我會收集更多貼近學生生活的案例，以便在課堂上使用，同時也會邀請學生分享他們自己的實際問題，增強學習的實用性。

-調整課堂活動：我會在課堂上安排更多的小組活動和互動環(huán)節(jié)，確保每個學生都有機會參與，并通過小組競賽等方式激發(fā)學生的學習熱情。

-強化概念理解：我會通過更多的練習題和討論，幫助學生深化對函數極值與最大（?。┲蹈拍畹睦斫?，確保他們能夠熟練掌握判定方法和求解步驟。

-利用技術輔助教學：我會探索使用數學軟件和在線平臺，以提供更加直觀和互動的學習體驗，幫助學生更好地理解抽象的數學概念。典型例題講解例題1：求函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1的極值。

解答：首先求導得到f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1和x=3。計算f(1)=5和f(3)=16，所以f(x)在x=1處取得極大值5，在x=3處取得極小值16。

例題2：求函數g(x)=-x^2+4x在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。

解答：首先求導得到g'(x)=-2x+4。令g'(x)=0，解得x=2。計算g(0)=0，g(2)=4，g(3)=-3。所以g(x)在x=2處取得最大值4，在x=3處取得最小值-3。

例題3：某工廠生產一種產品，其成本函數為C(x)=3x^2+2x+5，其中x是生產的產品數量。求生產多少個產品時，總成本最小。

解答：首先求導得到C'(x)=6x+2。令C'(x)=0，解得x=-1/3。由于生產數量不能為負，所以考慮x=0時的情況。計算C(0)=5，所以生產0個產品時，總成本最小。

例題4：一個拋物線y=ax^2+bx+c與x軸交于點A(-1,0)和B(3,0)，且拋物線的頂點在x軸上方。求拋物線的頂點坐標。

解答：由于拋物線與x軸交于點A和B，所以拋物線的根為x=-1和x=3。拋物線的對稱軸為x=(3-1)/2=1。拋物線的頂點坐標為(1,k)，其中k是頂點的縱坐標。由于頂點在x軸上方，所以k>0。由于a>0，拋物線開口向上，所以頂點是極小值點。計算導數得到2ax+b，令x=1，解得b=-2a。將A(-1,0)和B(3,0)代入y=ax^2+bx+c，解得a=1/4，b=-1/2，c=-3/4。所以頂點坐標為(1,-3/4)。

例題5：某公司計劃投資一個新項目，項目的收益函數為R(x)=10x^2-4x^3，其中x是投資金額（單位：萬元）。求投資多少萬元時，項目收益最大。

解答：首先求導得到R'(x)=20x-12x^2。令R'(x)=0，解得x=0和x=5/3。計算R(0)=0，R(5/3)=250/27。所以投資5/3萬元時，項目收益最大。由于投資金額必須是正數，所以最終的投資金額應該向上取整，即投資2萬元。板