2024新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元質量測評新人教A版必修第一冊

第四章單元質量測評時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是()A．y＝2x2－x＋3 ．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xC．y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3)) ．y＝logeq\s\do16(\f(1,2))x答案C解析∵y＝2x2－x＋3的對稱軸為x＝eq\f(1,4)，∴在區(qū)間(0,1)上不是增函數(shù)，故A錯誤；y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的底數(shù)大于0小于1，在(0,1)上為減函數(shù)，故B錯誤；因為0<eq\f(1,2)<1，所以y＝logeq\s\do16(\f(1,2))x在(0,1)上為減函數(shù)，故D錯誤；y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))中，指數(shù)eq\f(2,3)＞0，在(0,1)上單調遞增，C正確．故選C.2．函數(shù)y＝eq\f(\r(x),lg2－x)的定義域是()A．[0,2)B．[0,1)∪(1,2)C．(1,2)D．[0,1)答案B解析若使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,2－x>0，,2－x≠1，))解得0≤x<2且x≠1.選B.3．計算log225·log32eq\r(2)·log59的結果為()A．3B．4C．5D．6答案D解析利用換底公式，則原式＝eq\f(lg25,lg2)×eq\f(lg2\r(2),lg3)×eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)×eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)×eq\f(2lg3,lg5)＝2×eq\f(3,2)×2＝6.4．設a＝50.8，b＝0.67，c＝log0.74，則a，b，c的大小關系是()A．a<c<bB．c<a<bC．b<a<cD．c<b<a答案D解析∵a＝50.8>50＝1,0<b＝0.67<0.60＝1，c＝log0.74<0，故c<b<a，故選D.5．用二分法探討函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經計算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零點x0∈________，其次次應計算________．以上橫線上應填的內容為()A．(0,0.5)f(0.25)B．(0,1)f(0.25)C．(0.5,1)f(0.75)D．(0,0.5)f(0.125)答案A解析由于f(0)f(0.5)<0，故x0∈(0,0.5)，依二分法其次次應計算f(0.25)．故選A.6．2011年全球經濟起先轉暖，據統(tǒng)計某地區(qū)1月、2月、3月的用工人數(shù)分別為0.2萬、0.4萬和0.76萬，則該地區(qū)這三個月的用工人數(shù)y萬人關于月數(shù)x的函數(shù)關系近似的是()A．y＝0.2x ．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) ．y＝0.2＋log16x答案C解析當x＝1時，否定B；當x＝2時，否定D；當x＝3時，否定A，故選C.7．函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lneq\f(1,x－1)的零點所在的大致區(qū)間是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(1,2)與(2,3)答案B解析易知f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，f(2)＝1>0，f(3)＝eq\f(2,3)＋lneq\f(1,2)＝eq\f(2,3)－ln2<0，所以f(x)在(2,3)內只有一個零點．8．已知f(x)是偶函數(shù)，它在[0，＋∞)上是減函數(shù)，若f(lgx)>f(1)，則x的取值范圍是()A.eq\f(1,10)<x<1B．0<x<eq\f(1,10)或x>1C.eq\f(1,10)<x<10D．0<x<1或x>10答案C解析∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．由函數(shù)的對稱性且f(lgx)>f(1)，∴－1<lgx<1.∴eq\f(1,10)<x<10.二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．已知等式log2m＝log3n，m，n∈(0，＋∞)成立，那么下列結論可能成立的為()A．m＝n ．n<m<1C．1<n<m ．1<m<n答案ABD解析設log2m＝log3n＝t，則2t＝m,3t＝n，當t＝0時，m＝n＝1，故A正確；當t<0時，0<n<m<1，故B正確；當t>0時，n>m>1，故D正確．故選ABD.10．已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，則以下結論正確的是()A．隨意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．隨意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq\f(gx1－gx2,x1－x2)<0C．f(x)有最小值，無最大值D．g(x)有最小值，無最大值答案AD解析f(x)＝ex－eq\f(1,ex)在R上單調遞增，無最值，故A正確，C錯誤；g(x)＝ex＋eq\f(1,ex)為偶函數(shù)，易知其在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且在x＝0處取得最小值，無最大值，故B錯誤，D正確．故選AD.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈－∞，0，,lnx，x∈0，1，,－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m恰有2個零點，則實數(shù)m可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，當x∈[1，＋∞)時，f(x)＝－(x－2)2＋1.若函數(shù)g(x)＝f(x)－m恰有2個零點，則實數(shù)m＝1或m≤0.結合選項，因此m可以為－1，0,1.故選ABC.12．設函數(shù)f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))x，下列四個命題正確的是()A．函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù)B．若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，則ab＝1C．函數(shù)f(－x2＋2x)在(1,3)上為單調遞增函數(shù)D．若0<a<1，則|f(1＋a)|<|f(1－a)|答案ABD解析f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))x，x>0.函數(shù)f(|x|)＝logeq\s\do16(\f(1,2))|x|，f(|x|)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)為偶函數(shù)，A正確；若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，∵a≠b，∴f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，∴l(xiāng)ogeq\s\do16(\f(1,2))a＋logeq\s\do16(\f(1,2))b＝logeq\s\do16(\f(1,2))(ab)＝0，∴ab＝1，B正確；函數(shù)f(－x2＋2x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))(－x2＋2x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))[－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，∴函數(shù)的定義域為(0,2)，因此在(1,3)上不具有單調性，C不正確；若0<a<1，∴1＋a>1>1－a>0,0<1－a2<1，∴f(1＋a)<0<f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1＋a)－f(1－a)＝－logeq\s\do16(\f(1,2))(1－a2)<0，即|f(1＋a)|<|f(1－a)|，D正確．故選ABD.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．化簡：eq\f(aeq\s\up15(eq\f(4,3))－8aeq\s\up15(eq\f(1,3))b,4beq\s\up15(eq\f(2,3))＋2\r(3,ab)＋aeq\s\up15(eq\f(2,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\r(3,\f(b,a))))×eq\r(3,ab)＝________.答案aeq\r(3,b)解析原式＝eq\f(aeq\s\up15(eq\f(1,3))a－8b,2beq\s\up15(eq\f(1,3))2＋2aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(1,3))＋aeq\s\up15(eq\f(1,3))2)×eq\f(aeq\s\up15(eq\f(1,3)),aeq\s\up15(eq\f(1,3))－2beq\s\up15(eq\f(1,3)))×aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(1,3))＝eq\f(aeq\s\up15(eq\f(1,3))a－8b,a－8b)×aeq\s\up15(eq\f(1,3))×aeq\s\up15(eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(1,3))＝aeq\r(3,b).14．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x2－2x的單調遞減區(qū)間是________，單調遞增區(qū)間是________．答案[1，＋∞)(－∞，1)解析令u＝x2－2x，其遞增區(qū)間是[1，＋∞)，遞減區(qū)間是(－∞，1)，依據函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))u是定義域上的減函數(shù)知，函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是[1，＋∞)，單調遞增區(qū)間是(－∞，1)．15．不等式x<eq\f(1,x)的解集是________．答案(0,1)∪(2，＋∞)解析由x<eq\f(1,x)，得x<x－1.當x>1時，logeq\s\do16(\f(1,2))<－1，即logeq\s\do16(\f(1,2))x<logeq\s\do16(\f(1,2))2，∴x>2.當0<x<1時，logeq\s\do16(\f(1,2))x>－1，即logeq\s\do16(\f(1,2))x>logeq\s\do16(\f(1,2))2，∴x<2，即0<x<1.綜上得，不等式的解集為(0,1)∪(2，＋∞)．16．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案(0,1)解析若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個零點，等價于直線y＝m和y＝f(x)的圖象有三個交點，數(shù)形結合可知m的取值范圍是(0,1)．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(1)計算：(0.25)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))－0.75＋eq\r(4,1－\r(2)4)＋eq\r(6－4\r(2))＋lneq\r(e)＋22＋log23；(2)已知14a＝6,14b＝7，用a，b表示log4256.解(1)原式＝1－(2－4)eq\s\up15(－eq\f(3,4))＋(eq\r(2)－1)＋eq\r(2－\r(2)2)＋lneeq\s\up15(eq\f(1,2))＋22×2log23＝1－23＋eq\r(2)－1＋2－eq\r(2)＋eq\f(1,2)＋4×3＝eq\f(13,2).(2)∵14a＝6,14b＝7，∴l(xiāng)og146＝a，log147＝b，∴l(xiāng)og4256＝eq\f(log1456,log1442)＝eq\f(log1414＋log144,log146＋log147)＝eq\f(1＋2log142,a＋b)＝eq\f(1＋2log14\f(14,7),a＋b)＝eq\f(1＋2log1414－log147,a＋b)＝eq\f(3－2log147,a＋b)＝eq\f(3－2b,a＋b).18．(本小題滿分12分)定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0]上單調遞增，函數(shù)f(x)的一個零點為－eq\f(1,2)，求滿意f(logeq\s\do16(\f(1,4))x)≥0的x的取值范圍．解∵－eq\f(1,2)是函數(shù)的一個零點，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.∵y＝f(x)是偶函數(shù)且在(－∞，0]上單調遞增，∴當logeq\s\do16(\f(1,4))x≤0，即x≥1時，logeq\s\do16(\f(1,4))x≥－eq\f(1,2)，解得x≤2，即1≤x≤2.由對稱性可知，當logeq\s\do16(\f(1,4))x>0時，即0<x<1時，logeq\s\do16(\f(1,4))x≤eq\f(1,2)，解得x≥eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x<1.綜上所述，x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)推斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(2m－1)<f(m)，求m的取值范圍．解(1)要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋x＞0，,3－x＞0，))解得－3<x<3，故函數(shù)y＝f(x)的定義域為(－3,3)．(2)由(1)可知，函數(shù)y＝f(x)的定義域為(－3,3)，關于原點對稱．對隨意x∈(－3,3)，則－x∈(－3,3)，∴f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，∴由函數(shù)奇偶性可知，函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)．(3)∵函數(shù)f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)＝lg(9－x2)，由復合函數(shù)單調性推斷法則知，當0≤x<3時，函數(shù)y＝f(x)為減函數(shù)．又函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，∴不等式f(2m－1)<f(m)等價于|m|<|2m－1|<3，解得－1<m<eq\f(1,3)或1<m<2.20．(本小題滿分12分)某種商品進價為每個80元，零售價為每個100元，為了促銷，確定用買一個這種商品贈送一個小禮品的方法．實踐表明：禮品價值為1元時，銷售量增加10%，且在肯定范圍內，禮品價值為(n＋1)元時比禮品價值為n元(n∈N*)時的銷售量增加10%.(1)寫出禮品價值為n元時，利潤yn(元)與n的函數(shù)關系式；(2)請你設計禮品的價值，以便商店獲得最大利潤．解(1)設未贈禮品時的銷售量為m個，則當禮品價值為n元時，銷售量為m(1＋10%)n個；利潤yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)·m·1.1n(0<n<20，n∈N*)．(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9.∴y1<y2<y3<…<y9＝y(tǒng)10.令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(18－n)·m·1.1n＋2≥0，解得n≥8.∴y9＝y(tǒng)10>y11>y12>y13>…>y19，∴禮品價值為9元或10元時，商店獲得最大利潤．21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝b·ax(a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1，b≠0)的圖象經過點A(1,8)，B(3,32)．(1)試求a，b的值；(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解(1)∵函數(shù)f(x)＝b·ax的圖象經過點A(1,8)，B(3,32)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝8，,a3b＝32，))又a>0，∴a＝2，b＝4.(2)由題意，知m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在x∈(－∞，1]時恒成立．設g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x，x∈(－∞，1]，則m≤g(x)min.∵g(x)在(－∞，1]上是減函數(shù)，∴g(x)min＝g(1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，∴m≤eq\f(3,4).故實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))).22．(本小題滿分12分)設f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)＋x為奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1)求a的值；(2)推斷函數(shù)f(x)在x∈(1，＋∞)上的單調性，并說明理由；(3)若對于區(qū)間[3,4]上的每一個x值，不等式f(x)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解(1)∵f(x)＝logeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)＋x為奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0對定義域內的隨意x都成立，∴l(xiāng)ogeq\s\do16(\f(1,2))eq\f(1＋ax,－