期中壓軸題專練：解答題壓軸題訓(xùn)練（二）（解析版）-人教八下期中考試

八下期中考試解答題壓軸題訓(xùn)練（二）（時(shí)間：60分鐘總分：100）班級姓名得分一、解答題1．如圖1，在中，，．點(diǎn)D在邊AB上，，且，CE交邊AB于點(diǎn)F，連接BE．（1）若，，求線段AD的長；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）若，寫出線段AC，CD，BE長度之間的等量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）∠ABE=45°；（3），證明見解析．【分析】（1）作CM⊥AB，根據(jù)勾股定理和等腰三角形三線合一可得AM和DM，再根據(jù)線段的和差即可求得；（2）過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，證明△CDM≌△DEN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等和等量代換只需證明BN=EN即可得出∠ABE=45°；（3）利用勾股定理和等式之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如下圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB，∵，，∴，∵CM⊥AB，∴，∵,∴，∴；（2）如下圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠CMD=∠DNE=90°，∴∠MCD+∠MDC=90°，又∵，∴∠MDC+∠NDE=90°，∴∠MCD=∠NDE，在△CDM和△DEN中，，∴△CDM≌△DEN（AAS），∴，∴，∴△BNE為等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，（3）由（2）可知，，∴，又∵，∴，在Rt△ACM中，，∴，在Rt△CDM中，，∴，∴，故線段AC，CD，BE長度之間等量關(guān)系為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形或者全等三角形是解題關(guān)鍵．2．如圖1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE．（1）若BE＝4，CE＝，求AD的長；（2）如圖2，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，且EF＝EC，過點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，求證：BH＝DE；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DG，當(dāng)BE＝BC時(shí)，請直接寫出的值．【答案】（1）5；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可先證得△ABE為等腰直角三角形，從而求出AB，AE，然后在△CED中運(yùn)用勾股定理求出ED的長度，最終得到AD的長度；（2）作HR⊥BC于點(diǎn)R，ET⊥BC于點(diǎn)T，首先證明CE=CH，再證明△CRH≌△ETC，推出HR=CT=DE，從而得出結(jié)論；（3）在（2）的基礎(chǔ)之上，作GM⊥AD于M點(diǎn)，GN⊥CD于N點(diǎn)，設(shè)AB=AE=m，則BE=BC=m，推出DE=AD-AE=m-m，BH=DE=2m-m，再求出DG即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∴∠ABE=45°，△ABE為等腰直角三角形，則，即：，由矩形性質(zhì)可得：，在Rt△CED中，，∴AD=AE+ED=4+1=5；（2）如圖所示，作HR⊥BC于點(diǎn)R，ET⊥BC于點(diǎn)T，由題意可得四邊形ABTE為正方形，∴∠EBT=∠BET=45°，∵EF=EC，ET⊥FC，∴FT=TC，∠FET=∠CET，∠EFC=∠ECF，∵CG⊥EF，∴∠CGF=∠ETC=90°，∴∠CFG+∠FCG=90°，∠CET+∠ECT=90°，∴∠GCF=∠CET，∵∠CEH=∠CET+∠BET=45°+∠CET，∠CHB=∠CBH+∠HCB=45°+∠HCB，∴∠CEH=∠CHE，∴CE=CH，∵HR⊥BC，∴∠CRH=∠ETC=90°，在△CRH和△ETC中，∴△CRH≌△ETC（AAS），∴HR=CT，由題意可知，△BRH為等腰直角三角形，四邊形ETCD為矩形，∴HR=CT=DE，∴；（3）如圖所示，在（2）的條件下，作GM⊥AD于M點(diǎn)，GN⊥CD于N點(diǎn)，設(shè)AB=AE=m，則BE=BC=m，∴DE=AD-AE=m-m，∴BH=DE=2m-m，當(dāng)BE=BC時(shí)，∠CEH=∠BCE=（180°-∠EBC）÷2=67.5°，由（2）可知，∠CEH=∠CHE=∠BCE=45°+∠BCH=67.5°，∴∠BCH=22.5°，∠ECH=45°，∵CG⊥EG，∴GC=GE，∵∠MGN=∠EGC=90°，∴∠MGE=∠NGC，在△GME和△GNC中，∴△GME≌△GNC（AAS），∴GM=GN，∵GM⊥AD，GN⊥CD，∴GD平分∠ADC，∴∠CDG=45°，結(jié)合（1）可得∠DCH=67.5°，∴∠CGD=180°-45°-67.5°=67.5°，∴DG=DC=m，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確構(gòu)造輔助線證明三角形全等是解題關(guān)鍵．3．(1)觀察下列各式的特點(diǎn)：，，，，…根據(jù)以上規(guī)律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)觀察下列式子的化簡過程：，，，…根據(jù)觀察，請寫出式子(n≥2)的化簡過程．(3)根據(jù)上面(1)(2)得出的規(guī)律計(jì)算下面的算式：.【答案】(1)＞；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)題目所給的例題大小關(guān)系可直接得到答案；（2）把分子分母同時(shí)乘以，然后化簡即可得答案；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律可得，，…，分別把絕對值里面的式子化簡計(jì)算即可.【詳解】(1)根據(jù)題意可得＞，故答案為＞．(2)；(3)原式＝|(﹣1)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+…+|(﹣)﹣(﹣)|＝(﹣1)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+…+(﹣)﹣(﹣)＝(﹣1)﹣(﹣)＝﹣1﹣+10＝﹣+9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分母有理化，關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題目所給的例題，找出其中的規(guī)律，然后應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算.4．如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，連接BD過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AB垂直平分線上一點(diǎn)，連接BF、EF，BF與EC交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)F在AC邊上時(shí)，①求證：△ADB≌△BGC．②若AD＝2，AB＝6，求BE的長．（2）如圖2，若∠BDC＝75°，當(dāng)∠AFB＝30°時(shí)，求（）2的值．【答案】（1）①見解析；②；（2）．【分析】（1）①由“SAS”可證△ABD≌△CBE；②由全等三角形的性質(zhì)可求AD＝BG＝2，BD＝CG，由勾股定理可求EG，BE的長；（2）延長BD交AF于N，作EH⊥BF于H，連接NG，設(shè)BE＝a，則BN＝2a，CE＝，EH＝＝HG，NG＝BG＝，利用參數(shù)a表示出EF2，CE2，即可求解．【詳解】證明：（1）①∵CE⊥BD，∴∠ABC＝∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BCE＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵點(diǎn)F是AB垂直平分線上一點(diǎn)，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF＝∠FBC＝45°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABD≌△CBE，∴AD＝BG＝2，BD＝CG，∵BC＝AB＝，∠ABC＝90°，CE⊥BD，∴AF＝BF＝CF＝6，∴DF＝AF﹣AD＝4，∴BD＝＝＝，∴CG＝BD＝，∵BE2+CE2＝BC2，BE2+EG2＝BG2，∴72﹣（+EG）2＝4﹣EG2，∴EG＝，∴BE＝＝；（3）如圖2，延長BD交AF于N，作EH⊥BF于H，連接NG，∵∠AFB＝30°，點(diǎn)F是AB垂直平分線上一點(diǎn)，∴∠BAF＝∠ABF＝75°，∵∠BDC＝75°＝∠ADN，∠DAN＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，∴∠ANB＝75°＝∠BAF，∴AB＝NB，∠ABN＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠NBF＝∠ANB﹣∠AFB＝45°，∠NBC＝60°，又∵CE⊥BE，∴BE＝BC＝BN＝EN，∴GE垂直平分BN，∴BG＝GN，∴∠BNG＝∠NBG＝45°，∴NG⊥BF，設(shè)BE＝a，則BN＝2a，CE＝，EH＝＝HG，NG＝BG＝a，∵∠NFG＝30°，∴GF＝GN＝，∴HF＝+，∴EF2＝EH2+HF2＝（）2+（+）2＝（7+）a2，∴＝．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，利用參數(shù)表示出線段的長度是解本題的關(guān)鍵．5．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如圖1，連接BE，探究線段AD與線段BE的關(guān)系并證明；（2）如圖2，連接AE，CF⊥AE交AB于F，T為垂足，①求證：FD＝FB；②如圖3，若AE交BC于N，O為AB中點(diǎn)，連接OC，交AN于M，連FM、FN，當(dāng)S△FMN＝5，則OF2+BF2的最小值為．【答案】（1）AD⊥BE，AD＝BE，證明見解析；（2）①證明見解析，②20【分析】（1）利用SAS證明△ACD≌△BCE，從而利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①過點(diǎn)D作DH⊥CF于H，過點(diǎn)B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，首先證明△ACT≌△BCG及△DCH≌△ECT，得到CT＝BG，CT＝DH，通過等量代換得出DH＝BG，再證明△DHF≌△BGF，則可證明結(jié)論；②首先利用等腰三角形的性質(zhì)和ASA證明△AOM≌△COF，則有OM＝OF，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出FK＝BF，然后利用三角形的面積得出OF×BF＝10，最后利用平方的非負(fù)性和完全平方公式求解即可．【詳解】證明：（1）AD⊥BE，AD＝BE，理由如下：∵CD⊥CE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，∴∠CBE+∠ABC＝90°＝∠ABE，∴AD⊥BE；（2）①如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥CF于H，過點(diǎn)B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，∵CF⊥AE，∴∠ACT+∠CAT＝90°，又∵∠ACT+∠BCG＝90°，∴∠CAT＝∠BCG，在△ACT和△BCG中，，∴△ACT≌△BCG（ASA），∴CT＝BG，同理可證△DCH≌△ECT，∴CT＝DH，∴DH＝BG，在△DHF和△BGF中，，∴△DHF≌△BGF（AAS），∴DF＝BF；②如圖3，過點(diǎn)F作FK⊥BC于K，∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠OCF+∠OFC＝90°，∵AT⊥CF，∴∠OFC+∠FAT＝90°，∴∠FAT＝∠OCF，在△AOM和△COF中，，∴△AOM≌△COF（ASA），∴OM＝OF，又∵CO⊥AO，∴MF＝OF，∠OFM＝∠OMF＝45°，∴∠OFM＝∠ABC，∴MFBC，∵∠ABC＝45°，F(xiàn)K⊥BC，∴∠ABC＝∠BFK＝45°，∴FK＝BK，∴FK＝BF，∵S△FMN＝5，∴×MF×FK＝5，∴OF×BF＝10，∴OF×BF＝10，∵（BF﹣OF）2≥0，∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，∴BF2+OF2≥2×10＝20，∴BF2+OF2的最小值為20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．先閱讀，再解答:由可以看出，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號，例如：，請完成下列問題：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根號：_____．（直接寫結(jié)果）(3)（填或）(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值：【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義求解；

（2）利用分母有理化計(jì)算；

（3）通過比較它們的倒數(shù)大小進(jìn)行判斷，利用分母有理化得到；，然后進(jìn)行大小比較；

（4）先根據(jù)規(guī)律化簡第一個(gè)括號中的式子，再利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）-1的有理化因式是+1；（2）；（3），，∵∴>∴<；（4）原式===2018-1=2017．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．7．已知，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)不在一條直線上（如圖1）．（1）求證：BD＝AE；（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的長；（3）若點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為3和5，求AD的長．【答案】（1）見詳解；（2）；（3）．【分析】（1）只要證明△BCD≌△ACE，即可得到結(jié)論成立；（2）由題意，先證明∠ADE=90°，利用勾股定理求出AE的長度，即可得到答案；（3）過A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD=60°，然后求出AF和CF的長度，再利用勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）∵∠ADC＝30°，∠CDE=60°，∴∠ADE=30°+60°=90°，∵AD＝4，DE=CD＝5，在直角△ADE中，由勾股定理得，∴；（3）過A作AF⊥CD于F，如圖：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∵∠AFC=∠AFD=90°，∴∠CAF=30°，∵AC=3，CD=5，∴，∴，∴，由勾股定理，則．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的求出所需邊的長度．8．在四邊形中，，．（1）P為邊上一點(diǎn)，如圖，將沿直線翻折至的位置（點(diǎn)B落在點(diǎn)E處）①當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，作出滿足條件的圖形，并直接寫出此時(shí)_________；②若點(diǎn)P為邊的中點(diǎn)，連接，則與有何位置關(guān)系？請說明理由；（2）點(diǎn)Q為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)D恰好落在直線上的點(diǎn)處，求的長．【答案】（1）①6，畫圖見詳解；②EC∥PA，理由見詳解；（2）BQ=10【分析】（1）①如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E，作∠EAB的平分線交BC于點(diǎn)P，根據(jù)勾股定理可得DE；②如圖2中，結(jié)論：EC∥PA．只要證明PA⊥BE，EC⊥BE即可解決問題；（2）分兩種情形：①如圖3?1中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，②如圖3?2中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E，作∠EAB的平分線交BC于點(diǎn)P．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，∴DE＝=＝6，故答案為6．②如圖2中，結(jié)論：EC∥PA．理由：由翻折不變性可知：AE＝AB，PE＝PB，∴