考點06 反比例函數應用（解析版）

考點六反比例函數應用知識點整合一、反比例函數的實際應用解決反比例函數的實際問題時，先確定函數解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．考向一反比例函數的應用用反比例函數解決實際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；（2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數解析式，待定的系數用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數；（4）寫：寫出函數解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數解析式去解決實際問題．典例引領1．受北京冬奧會影響，小勇愛上了滑雪運動．一天，小勇在滑雪場訓練滑雪，他從滑雪道頂端勻速滑到終點．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒．(1)求小勇第一次訓練的速度是多少米/秒？(2)求所用時間秒與速度米秒的函數關系式；若要使所用時間不超過秒，則速度應不低于多少米/秒？【答案】(1)3米/秒(2)v=；6米/秒【分析】本題考查了一元一次方程的應用及反比例函數的應用；（1）依據題意，根據兩次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；（2）依據題意，求出從滑雪道頂端勻速滑到終點的路程，即可解決問題．【詳解】（1）解：由題意，設小勇第一次訓練的速度是米秒，則第二次訓練的速度是米秒，．解得：，答：小勇第一次訓練的速度是米秒．（2）從滑雪道頂端勻速滑到終點的路程為：米，小勇從滑雪道頂端勻速滑到終點的平均速度為米秒，所用時間為秒，．當要使所用時間不超過秒時，即，．要使所用時間不超過秒，則速度應不低于米秒．2．某商場出售一批進價為元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現此商品的日銷售單價元與日銷售量之間滿足某種函數關系．（元）（個）(1)根據表中的數據請你寫出請與之間的函數關系式；(2)設經營此賀卡的銷售利潤為元，試求出與之間的函數關系式，若物價局規(guī)定此賀卡的銷售價每個最高不能超過元，請你求出當日銷售單價定為多少元時，才能使日銷售獲得最大利潤？【答案】(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數的定義，兩個變量的積是定值，也考查了根據實際問題和反比例函數的關系式求最大值，解題的關鍵是根據題意列出等量關系．（1）要確定與之間的函數關系式，通過觀察表中數據，可以發(fā)現與的乘積是相同的，都是，所以可知與成反比例，用待定系數法求解即可；（2）首先要知道純利潤（銷售單價進價）日銷售數量，確定與的函數關系式，然后根據題目的“售價最高不超過元/張”，就可以求出獲得最大日銷售利潤時的日銷售單價．【詳解】（1）解：設與之間的函數關系式為：，將代入得：，解得：，與之間的函數關系式為：；（2），又，當，最大．3．某汽車的功率為一定值，汽車行駛時的速度（米/秒）與它所受的牽引力（牛）之間的關系滿足反比例函數關系，其圖象如圖所示：(1)請求出與之間的函數關系式；(2)當它所受牽引力為牛時，汽車的速度為多少米/秒？【答案】(1)；(2)當它所受牽引力為牛時，汽車的速度為米/秒．【分析】（）設，利用待定系數法即可求解；（）把代入（）中所得的函數關系式計算即可求解；本題考查了反比例函數與實際問題的綜合運用，利用待定系數法求出反比例函數表達式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設，把代入得，，解得，∴與之間的函數關系式為；（2）解：把代入得，米/秒，答：當它所受牽引力為牛時，汽車的速度為米/秒．4．某蔬菜生產基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品.如圖，這是某天恒溫系統(tǒng)從開始到關閉及關閉后，大棚里的溫度隨時間變化的函數圖象，其中段是恒溫階段，段是雙曲線的一部分，請根據圖中信息解答下列問題：(1)求的值.(2)求恒溫系統(tǒng)在這一天內保持大棚內溫度不低于的時間有多長.【答案】(1)(2)恒溫系統(tǒng)在一天內保持大棚里溫度不低于的時間有13.8小時．【分析】本題考查了反比例函數和一次函數的性質和應用，解答此題時要先利用待定系數法確定函數的解析式，再觀察圖象特點，結合反比例函數和一次函數的性質作答．（1）直接將點的坐標代入即可；（2）觀察圖象可知：三段函數都有的點，而且段是恒溫階段，，所以計算和兩段當時對應的值，相減就是結論．【詳解】（1）把代入中得：；（2）如圖，設的解析式為：．把、代入中得：，解得：，的解析式為：，當時，，．，解得：，．答：恒溫系統(tǒng)在一天內保持大棚里溫度不低于的時間有13.8小時．變式拓展5．研究發(fā)現：初中生在數學課上的注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生注意力直線上升，中間一段時間，學生的注意力保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散，注意力與時間呈反比例關系降回開始時的水平．學生注意力指標隨時間（分鐘）變化的函數圖像如圖所示．(1)求反比例圖數的表達式，并求點對應的指標值；(2)張老師在一節(jié)課上從第10分鐘開始講解一道數學綜合題，講解這道題需要15分鐘，當張老師講完這道題時，學生的注意力指標值達到多少?【答案】(1)反比例函數的表達式為，點對應的指標值(2)當張老師講完這道題時，學生的注意力指標值達到12【分析】本題考查反比例函數解應用題，涉及待定系數法確定函數關系式、已知自變量求函數值等知識，讀懂題意，求出反比例函數表達式是解決問題的關鍵．（1）由題意，設出反比例函數表達式，將代入表達式求解即可得到表達式，將代入求得的表達式即可得到點對應的指標值；（2）由（1）中得到的表達式，將代入表達式即可得到答案．【詳解】（1）解：設反比例函數的表達式為，由圖知反比例函數過點，則代入表達式得，解得，反比例函數的表達式為；當時，，故點對應的指標值；（2）解：由題意得，，答：當張老師講完這道題時，學生的注意力指標值達到12．6．2023年8月8日，成都大運會閉幕式在成都露天音樂公園舉行．成都露天音樂公園是一座以音樂為主題，集文化藝術、休閑娛樂、旅游觀光等功能為一體的大型城市公園，公園的整體景觀設計融入了太陽神鳥文化、天府文化、鳳凰文化、古蜀音樂文化，同時其具國際化風格．王華在公園的游客中心售賣大運會陶瓷文創(chuàng)紀念品，她以50元/件的價格購進了一款陶瓷蓉寶手辦，在銷售過程中發(fā)現：每天的銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）的關系如圖所示，其中為反比例函數圖像的一部分，為一次函數圖像的一部分．設銷售這款手辦的日利潤為（元）．

(1)求與之間的函數關系式：(2)求與之間的函數關系式，并求出當日利潤為600元時，每件手辦的售價為多少元？【答案】(1)(2)80元/件或90元/件【分析】本題考查了分式方程的應用及一次函數的應用及反比例函數的應用：（1）分段討論：當時，設，當時，設直線為，利用待定系數法即可求解；（2）分類討論：當時，當時，分別代入（1）中對應的函數解析式中即可求解；理清題意，利用待定系數法求函數解析式及分類討論思想解決問題是解題的關鍵．【詳解】（1）解：當時，設，將，代入得：，，當時，，，當時，設直線為，因為，由題意得：，解得：，與之間的函數關系式為，綜上所述：．（2）當時，，由，解得：，經檢驗，是原方程的解，當銷售價格為80元/件時，日利潤為600元，當時，，由，解得：，，當銷售價格為80元/件或90元/件時，日利潤為600元，綜上，當日利潤為600元時，銷售價格為80元/件或90元/件．7．工匠制作某種金屬工具要進行材料煅燒和鍛造兩個工序，即需要將材料煅燒到，然后停止煅燒進行鍛造操作，經過時，材料溫度降為．煅燒時溫度與時間成一次函數關系；鍛造時，溫度與時間成反比例函數關系（如圖）．已知該材料初始溫度是．

(1)分別求出材料煅燒和鍛造時y與x的函數關系式；(2)根據工藝要求，當材料溫度低于時，需停止操作，那么鍛造的操作時間有多長？【答案】(1)燃燒時函數解析式為；鍛造時函數解析式為(2)【分析】本題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握待定系數法．（1）先用待定系數法求出反比例函數解析式，然后求出點B的坐標，再用待定系數法求出函數解析式；（2）把代入求出，然后再求出結果即可．【詳解】（1）解：設材料停止煅燒后y與x的函數關系式為，∵∴，∴，∴，把代入得，，∴，∴，∴材料停止煅燒后y與x的函數關系式為；設材料煅燒時y與x的函數關系式為，∵，∴，∴，∴材料煅燒時y與x的函數關系式為；（2）解：把代入，∴，∴，．答：鍛造的操作時間為．8．某煤氣公司要在地下修建一個容積為的圓柱形煤氣儲存室，該儲存室的底面積為，深度為．(1)求S與d的函數關系式；(2)公司決定把儲存室的底面積定為，施工隊施工時應該向地下報進多深？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查反比例函數，熟練掌握反比例函數是解題的關鍵．（1）根據題意，由體積底面積高即可得到答案；（2）將代入函數解析式即可得到答案．【詳解】（1）解：由于體積底面積高，；（2）解：將代入函數解析式，得，解得．答：施工隊施工時應該向地下報進．9．某研究所經實驗測得，成人飲用某品牌38度白酒后血液中酒精濃度y（微克/毫升）與飲酒時間x（小時）之間的函數關系如圖所示（當時，y與x成反比例）．(1)根據函數圖象直接寫出：血液中酒精濃度上升階段的函數表達式為；下降階段的函數表達式為；（并寫出x的取值范圍）(2)求血液中酒精濃度不低于200微克/毫升的持續(xù)時間是多少小時？【答案】(1)，(2)6小時【分析】本題考查一次函數的應用、反比例函數的應用等知識.（1）當時，設直線解析式為：，當時，設反比例函數解析式為：，利用待定系數法即可解決問題；（2）分別求出時的兩個x值，再求時間差即可解決問題．【詳解】（1）解：當時，由圖象可知，y是x的正比例函數，令，∴當時，y與x成反比例，令，∴（2）解：當，時，則，解得當，時，則解得∵（小時），∴血液中酒精濃度不低于200微克/毫升的持續(xù)時間是6小時.10．越來越多的人選擇騎自行車這種低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住寶山的騎行愛好者打算騎行去上海蟠龍?zhí)斓?，記騎行時間為t小時，平均速度為v千米/小時（騎行速度不超過40千米/小時）．根據以往的騎行經驗，v、t的一些對應值如下表：v（千米/小時）15202530t（小時）21(1)根據表中的數據，求出平均速度v（千米/小時）關于行駛時間t（小時）的函數表達式；(2)如果這位騎行愛好者上午8：30從家出發(fā)，能否在上午9：10之前到達上海蟠龍?zhí)斓?？請說明理由；(3)若騎行到達上海蟠龍?zhí)斓氐男旭倳r間t滿足，求平均速度v的取值范圍．【答案】(1)(2)不能，理由詳見解析(3)【分析】本題考查反比例函數的應用，關鍵是求出反比例函數解析式．（1）由表中數據可得