浙江省東陽市外國語學校2024−2025學年高三上學期8月獨立作業(yè)（開學） 數(shù)學試題（含解析）

浙江省東陽市外國語學校2024?2025學年高三上學期8月獨立作業(yè)（開學）數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展開式中的系數(shù)為（

）A．4 B．-4 C．6 D．-64．清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地．為了核準糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（

）A．10500 B．12500 C．31500 D．525005．在中，分別為角的對邊，若，，，則（

）A．2 B．3 C． D．6．雙曲線C：的左、右焦點為，，直線l過點且平行于C的一條漸近線，l交C于點P，若，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．37．在平面直角坐標系中，已知P是圓上的動點，若，則的最小值為（

）A．12 B．8 C．6 D．48．已知實數(shù)構成公差為d的等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為10．已知函數(shù)，則（

）A．當時，的圖象關于對稱B．當時，在上的最大值為C．當為的一個零點時，的最小值為1D．當在上單調(diào)遞減時，的最大值為111．已知函數(shù)的定義域為R，，，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9，則該組數(shù)據(jù)的方差是．13．若，則．14．三棱錐的所有棱長均為2，E，F(xiàn)分別為線段BC與AD的中點，M，N分別為線段AE與CF上的動點，若平面ABD，則線段MN長度的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角A的大??；(2)若，，求的面積；(3)若，，D為BC的中點，求AD的長．16．已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，為線段的中點，平面底面．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．已知橢圓過點，且離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線過點，且與交于兩點，當最大時，求直線的方程.19．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案1．【答案】B【分析】解不等式化簡集合，根據(jù)交集的定義求出即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴.故選B．2．【答案】D【分析】利用復數(shù)的運算法則求出z，再根據(jù)復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對應的點，進而求解．【詳解】設，則，則，即，所以，，解得，，故，對應的點在第四象限．故選D．3．【答案】C【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式解答即可．【詳解】因為的展開式的通項公式為，所以含的項為：，即的展開式中的系數(shù)為6，故選C．4．【答案】A【分析】利用棱臺的體積公式,即可計算得出答案．【詳解】一斛米的體積為，因為五斗為一斛，所以一斗米的體積為.故選A.5．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系求得，，利用兩角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，進而求出a的值．【詳解】由，可得，根據(jù)進而求出，，由可得，，則，由正弦定理可知，又因為，解得，，由正弦定理可得．故選B．6．【答案】C【分析】設Px,y，通過題意求出直線的方程、直線的方程，之后聯(lián)立直線的方程、直線的方程及雙曲線方程，計算即可得出答案．【詳解】設，由對稱性可知P點在x軸上方或者下方不影響結果，不妨令P點在x軸下方，如圖：設F1-c,0、，，雙曲線其中一條漸近線為，直線的方程為，①由，得，即直線的斜率為，直線方程為，②由點Px,y在雙曲線上，得，③聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，即，因此，所以離心率．故選C.7．【答案】B【分析】先根據(jù)，再根據(jù)圓的性質(zhì)求的最小值即可.【詳解】，當且僅當P在線段CO上時等號成立.故選B.8．【答案】A【分析】由實數(shù)a，b，c構成公差為d的等差數(shù)列，且，得到，然后構造函數(shù)，分析其單調(diào)性最值，得到在其值域內(nèi)，解不等式即可.【詳解】因為實數(shù)a，b，c構成公差為d的等差數(shù)列，且，，所以，，所以，即，解得，設，，則，令，解得，所以時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.所以時，有最小值為，所以，解得：或.故選A.9．【答案】AB【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運算性質(zhì)，對各個選項逐一判定即可．【詳解】，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因為，所以，故C錯誤；在上的投影向量為，故D錯誤；故選AB．10．【答案】ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷余弦函數(shù)的對稱軸，余弦函數(shù)的值域與最值，余弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的零點對選項逐一判定即可．【詳解】時，，因為，所以關于對稱，故A正確；時，由可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的最大值為，故B錯誤；若，則，，所以，，且，所以的最小值為1，故C正確；因為在上單調(diào)遞減，且，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的單調(diào)遞減區(qū)間為：，，，，所以，，所以，故D正確．故選ACD．11．【答案】BCD【分析】利用賦值法求得即可判斷A；利用賦值可得，并且判斷出，由不等式的性質(zhì)可得，即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性以及的值即可判斷C；利用等比數(shù)列的判定可得的通項公式，利用等比數(shù)列的求和公式可得，即可判斷D．【詳解】令，，則，將代入得，即，故A錯誤；由，令可得，若存在x使得，則上式變?yōu)椋@然不成立，所以，又，因為，所以，將整理為，因為，即，所以，故B正確；令，則，且，所以為奇函數(shù)，故C正確；當時，，，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，由可知，因為，所以，所以，故D正確.故選BCD．【思路導引】關鍵是充分利用函數(shù)的奇偶性，等比數(shù)列的判定與證明以及等比數(shù)列的前n項和進行分析，由此即可順利得解．12．【答案】【分析】先求出這一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9的平均數(shù)，由此再求出該組數(shù)據(jù)的方差．【詳解】一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9的平均數(shù)為：，∴該組數(shù)據(jù)的方差為：．故答案為：．13．【答案】【分析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角余弦公式的應用.根據(jù)，，解得，結合二倍角余弦公式進行解答即可．【詳解】因為可得，因為，可得，解得或（舍去）所以．故答案為：．14．【答案】【分析】延長CM交AB于點I，設，由余弦定理得，根據(jù)角平分線定理以及平行線性質(zhì)可知，運用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可得線段MN長度的最小值．【詳解】延長CM交AB于點I，因為平面ABD，由線面平行性質(zhì)定理可知，設，因為三棱錐的所有棱長均為2，所以，且E為線段BC的中點，所以AE平分∠BAC，由角平分線定理可知，所以，因為F為線段AD的中點，所以，由余弦定理可知，所以，令，，化簡可得，因為，所以，則在時取得最小值，所以，綜上當，即時MN取得最小值．故答案為：．15．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結合余弦定理即可求解；（2）根據(jù)余弦定理得的值，進而根據(jù)三角形面積公式即可求解；（3）根據(jù)三角形的中線的向量表達形式，結合向量模長公式即可求解【詳解】（1），即．即,也即由余弦定理可得，由，故（2）由，，由余弦定理可得：解得：，所以（3）由余弦定理可得：，解得又D為BC的中點，則兩邊平方可得：所以AD的長.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）設公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式與等比中項公式列出關于和d的方程，求解即可得an的通項公式；（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項，進而得，從而得到bn的通項公式，利用等差和等比數(shù)列前n項和公式分組求和即可求出.【詳解】（1）因為an為等差數(shù)列，設公差為d由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，化簡得，因為，所以．所以．綜上．（2）由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.【思路導引】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式以及數(shù)列的分組求和，考查方程思想和運算能力.17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，所以，又因為，為中點，所以，由線面垂直的判定即可得證；（2）建立空間直角坐標系，不妨取，得出平面的法向量，利用空間向量求解即可．【詳解】（1）因為平面平面，且平面平面，，平面ABCD，所以平面，平面，所以，又因為，為中點，所以，又，平面，所以平面；（2）設點在底面的射影為點，則平面，又平面，所以，取中點，因為，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，即在的中垂線上，如圖建立空間直角坐標系，不妨取，則設為，，，，所以，，，由（1）可知，計算得，，所以，又，，設平面PBC的法向量為，則，即，取，所以．【思路導引】求直線與平面所成角的方法(1)定義法：①作，在直線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角．(2)向量法：sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝(其中eq\o(AB,\s\up6(→))為平面α的斜線AB的方向向量，n為平面α的法向量，θ為斜線AB與平面α所成的角)．18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）分直線斜率是否存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再根據(jù)弦長公式即可得解.【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）當直線的斜率不存在時，方程為，此時，當直線的斜率存在時，設方程為，聯(lián)立，消得，恒成立，故，則，所以，令，則，所以，當，即時，AB取得最大值，此時，綜上所述，當AB最大時，求直線的方程為.19．【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，利用導數(shù)分類討論分析函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）當時，不等式恒成立，構造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，然后利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性最值，求解實數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為0,+∞，，當時，f'x>0，所以在0,+當時，令，解得，所以時，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增；時，f'x<0，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在0,+∞上單調(diào)