5.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用（十七大題型）（原卷版）

5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課程標準學習目標（1）能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)的單調區(qū)間，利用導數(shù)研究函數(shù)增長快慢．能將函數(shù)單調性問題轉化為導數(shù)的運算和導數(shù)正負的判斷問題，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)．（2）能用自己的語言解釋函數(shù)極值的意義，能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極值以及最大（?。┲?，體會數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想，發(fā)展邏輯推理索養(yǎng)．（3）會利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象，得出函數(shù)的最大（?。┲?、值域、零點等性質；會利用函數(shù)的最大（小）值，證明與函數(shù)有關的一些簡單不等式；會用導數(shù)研究實際問題中的優(yōu)化問題．體會數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模等素養(yǎng)．（1）結合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間．（2）借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值；體會導數(shù)與單調性、極值、最大（?。┲档年P系．（3）會利用導數(shù)解決一些實際生活中的優(yōu)化問題．知識點01單調性一、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系導數(shù)的符號與函數(shù)的單調性：一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間內有導數(shù)，則在這個區(qū)間上，①若，則在這個區(qū)間上單調遞增；②若，則在這個區(qū)間上單調遞減；③若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)．反之，若在某區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）．知識點詮釋：1、因為導數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區(qū)間上，即切線斜率為正時，函數(shù)在這個區(qū)間上單調遞增；當在某區(qū)間上，即切線斜率為負時，函數(shù)在這個區(qū)間上單調遞減；即導函數(shù)的正負決定了原函數(shù)的增減．2、若在某區(qū)間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍單調遞增（減函數(shù)的情形完全類似）．即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上單調遞增；在這個區(qū)間上單調遞減，但反之不成立．3、在某區(qū)間上單調遞增在該區(qū)間；在某區(qū)間上單調遞減在該區(qū)間．在區(qū)間內，．．（或）是在區(qū)間內單調遞增（或減）的充分不必要條件！例如：，，，而在R上遞增．4、只有在某區(qū)間內恒有，這個函數(shù)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù)．5、注意導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關系．二、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的基本方法設函數(shù)在區(qū)間內可導，（1）如果恒有，則函數(shù)在內單調遞增；（2）如果恒有，則函數(shù)在內單調遞減；（3）如果恒有，則函數(shù)在內為常數(shù)函數(shù)．知識點詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，則，若函數(shù)在內單調遞減，則．（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法——分離參數(shù)法：或．三、利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的基本步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）在函數(shù)的定義域內解不等式或；（4）確定的單調區(qū)間．或者：令，求出它在定義域內的一切實數(shù)根．把這些實數(shù)根和函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間，判斷在各個小區(qū)間內的符號．知識點詮釋：1、求函數(shù)單調區(qū)間時，要注意單調區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集．2、求單調區(qū)間常常通過列表的方法進行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．四、討論單調區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根做圖得結論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；（5）導數(shù)圖像定區(qū)間；【即學即練1】（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．知識點02極大值和極小值（一）函數(shù)的極值的定義：一般地，設函數(shù)在點及其附近有定義，（1）若對于附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極大值，記作；（2）若對附近的所有點，都有，則是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱極值．在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．知識點詮釋：由函數(shù)的極值定義可知：（1）在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)在及其附近有定義，否則無從比較．（2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的整個定義域內可能有多個極值，也可能無極值．由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小．（3）極大值與極小值之間無確定的大小關系．即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值．極小值不一定是整個定義區(qū)間上的最小值．（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點．而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點．（二）用導數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)；③求方程的根；④檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則在這個根處取得極大值；如果左負右正，則在這個根處取得極小值．（最好通過列表法）知識點詮釋：①可導函數(shù)的極值點一定是導函數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點．即是可導函數(shù)在點取得極值的必要非充分條件．例如函數(shù)，在處，，但不是函數(shù)的極值點．②可導函數(shù)在點取得極值的充要條件是，且在兩側的符號相異．【即學即練2】（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)當時，求的極值；知識點03最大值和最小值（一）函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如．知識點詮釋：①函數(shù)的最值點必在函數(shù)的極值點或者區(qū)間的端點處取得．②函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個．（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內有導數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內的導數(shù)；（2）求方程在內的根；（3）求在內使的所有點的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．知識點詮釋：①求函數(shù)的最值時，不需要對導數(shù)為0的點討論其是極大還是極小值，只需將導數(shù)為0的點和端點的函數(shù)值進行比較即可．②若在開區(qū)間內可導，且有唯一的極大（小）值，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲担ㄈ┳钪蹬c極值的區(qū)別與聯(lián)系①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的（具有絕對性），是整個定義域上的整體性概念．最大值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最小值．函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點附近兩側的函數(shù)值而得出的（具有相對性），是局部的概念；②極值可以有多個，最大（?。┲等舸嬖谥挥幸粋€；極值只能在區(qū)間內取得，不能在區(qū)間端點取得；最大（小）值可能是某個極大（?。┲?，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；③有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值．【即學即練3】（2023·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)若，，求函數(shù)斜率為的切線方程；(2)若，討論在的最大值．題型一：利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間例1．（2023·河北滄州·高二?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．例2．（2023·高二課時練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A．, B．, C．, D．,例3．（2023·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期末）函數(shù)?的單調遞增區(qū)間是（

）A．?B．?和?C．?D．?變式1．（2023·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．變式2．（2023·陜西漢中·高二?？计谥校┖瘮?shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】（1）求函數(shù)的單調區(qū)間常用解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上單調遞減．解不等式，函數(shù)在解集與定義域的交集上為單調遞增．（2）注意寫單調區(qū)間時，不是連續(xù)的區(qū)間一般不能用并集符號“”．題型二：函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象的關系例4．（2023·四川樂山·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．例5．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項中的（

）

A．

B．

C．

D．

例6．（2023·內蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習）已知是函數(shù)的導數(shù)．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

變式3．（2023·陜西西安·高二期中）若函數(shù)的導函數(shù)圖象如圖所示，則（

）

A．是函數(shù)的極小值點B．是函數(shù)的極小值點C．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為D．的解集為變式4．（2023·內蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）下面四個圖象中，至少有一個是函數(shù)（其中）的導函數(shù)的圖象，則等于（

）A． B． C．或 D．或變式5．（2023·高二課時練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖，則下列結論正確的是（

）

A．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減C．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增【方法技巧與總結】（1）函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系：在某個區(qū)間內，若，則在上單調遞增；如果，則在這個區(qū)間上單調遞減；若恒有，則是常數(shù)函數(shù)，不具有單調性．（2）函數(shù)圖象變化得越快，的絕對值越大，不是的值越大．題型三：已知單調性求參數(shù)的取值范圍例7．（2023·廣西南寧·高二賓陽中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．例8．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2023·甘肅武威·高二民勤縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式6．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1變式7．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）若函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，則實數(shù)k的值為（

）A．1 B． C．3 D．變式8．（2023·北京·高二北京五十五中?？茧A段練習）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式9．（2023·四川成都·高二成都外國語學校?？茧A段練習）若函數(shù)有三個單調區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A． B． C． D．變式10．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)且在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】（1）利用導數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路①將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即（或）恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．②先令（或），求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．（2）理清運算對象，選擇運算方法，求得運算結果，充分體現(xiàn)數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)．題型四：判斷、證明函數(shù)的單調性例10．（2023·全國·高二隨堂練習）討論函數(shù)在區(qū)間內的單調性．例11．（2023·高二課時練習）證明：函數(shù)在上嚴格增．例12．（2023·廣東揭陽·高二?？茧A段練習）利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調性:(1)；(2).變式11．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論在上的單調性；變式12．（2023·高二課時練習）證明：(1)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．【方法技巧與總結】判斷、證明函數(shù)的單調性的步驟：1、求導；2、變形（分解或配方）；3、判斷導數(shù)式的符號，下結論．題型五：含參數(shù)單調性討論例13．（2023·全國·高二隨堂練習）求函數(shù)的單調區(qū)間．例14．（2023·山東淄博·高二?？茧A段練習）（1）已知函數(shù)，.在區(qū)間內是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知函數(shù).討論的單調性.例15．（2023·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學校考階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間．變式13．（2023·廣東江門·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調增區(qū)間．(2)當時，討論函數(shù)的單調性．變式14．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性．變式15．（2023·高二課時練習）討論函數(shù)的單調性．變式16．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性.變式17．（2023·全國·高二專題練習）討論函數(shù)的單調性；變式18．（2023·全國·高二專題練習）已知，．討論的單調性；變式19．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調區(qū)間；變式20．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調性；變式21．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性．變式22．（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論的單調性．【方法技巧與總結】1、關于含參函數(shù)單調性的討論問題，要根據(jù)導函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點個數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應導數(shù)的正負，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數(shù)的單調性，結合一階導函數(shù)端點處的函數(shù)值或零點可判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說明．題型六：求函數(shù)的極值例16．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）函數(shù)的極小值是.例17．（2023·高二課時練習）函數(shù)的極小值為．例18．（2023·廣東廣州·高二執(zhí)信中學?？茧A段練習）函數(shù)的極大值為.變式23．（2023·高二單元測試）已知函數(shù)在處有極值，其圖象在處的切線平行于直線，則的極大值與極小值之差為．變式24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的極小值為．變式25．（2023·遼寧錦州·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)的極值點為1，且（為的導函數(shù)），則的極小值為.變式26．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學校考期中）函數(shù)的極大值為.【方法技巧與總結】函數(shù)極值和極值點的求解步驟（1）確定函數(shù)的定義域．（2）求方程的根．（3）用方程的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況．題型七：由極值求參數(shù)的值或取值范圍例19．（2023·天津·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在時有極值為0，則.例20．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則實數(shù)a的取值范圍是．例21．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）已知，函數(shù)在上存在兩個極值點，則的取值范圍為．變式27．（2023·上海黃浦·高二格致中學校考階段練習）已知函數(shù)在處有極值0，則.變式28．（2023·上海浦東新·高二上海市川沙中學?？茧A段練習）函數(shù)既存在極大值也存在極小值，則實數(shù)的取值范圍是．變式29．（2023·高二單元測試）函數(shù)在內有極小值，則實數(shù)的取值范圍是．變式30．（2023·河南南陽·高二鎮(zhèn)平縣第一高級中學?？茧A段練習）若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則a的取值范圍是．變式31．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，，若與中恰有一個函數(shù)無極值，則的取值范圍是．變式32．（2023·河南鄭州·高二?？茧A段練習）若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是變式33．（2023·四川遂寧·高二射洪中學?？茧A段練習）已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是.【方法技巧與總結】已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法（1）對于已知可導函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數(shù)值為0，極值點兩側的導數(shù)值異號．注意：求出參數(shù)后，一定要驗證是否滿足題目的條件．（2）對于函數(shù)無極值的問題，往往轉化為其導函數(shù)的值非負或非正在某區(qū)間內恒成立的問題，即轉化為或在某區(qū)間內恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．題型八：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點（方程根）問題例22．（2023·高二課時練習）函數(shù)有兩個零點，且極大值小于，則實數(shù)的取值范圍是.例23．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的零點恰好是的極值點，則.例24．（2023·四川·高二雙流中學?？奸_學考試）若函數(shù)恰有2個不同的零點，則實數(shù)m的值是.變式34．（2023·湖北襄陽·高二統(tǒng)考期中）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.變式35．（2023·福建廈門·高二啟悟中學?？茧A段練習）函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是．變式36．（2023·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若函數(shù)僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為.【方法技巧與總結】（1）利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便．（2）解決這類問題，一個就是注意借助幾何圖形的直觀性，另一個就是正確求導，正確計算極值．題型九：不含參函數(shù)的最值問題例25．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┖瘮?shù)的最大值為（

）A． B． C．0 D．例26．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？茧A段練習）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)；且最大值為 D．偶函數(shù)；且最大值為3例27．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？茧A段練習）定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值為（

）A．7 B． C．9 D．變式37．（2023·安徽池州·高二校聯(lián)考期中）當時，函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．0 D．1變式38．（2023·吉林長春·高二長春外國語學校?？茧A段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C．0 D．變式39．（2023·陜西西安·高二期中）函數(shù)在點（

）處取得最小值.A． B． C．2 D．變式40．（2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習）函數(shù)在上的最小值為（

）A． B． C．0 D．【方法技巧與總結】求函數(shù)最值的步驟（1）求函數(shù)的定義域．（2）求，解方程．（3）列出關于，，的變化表．（4）求極值、端點處的函數(shù)值，確定最值．注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較．題型十：含參函數(shù)的最值問題例28．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)當時，求極值：(2)當時，求函數(shù)在上的最大值．例29．（2023·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．例30．（2023·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.變式41．（2023·天津靜?！じ叨o海一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上的最小值是，求a的值．(3)討論在上的最大值【方法技巧與總結】含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況（1）能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題．（2）對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對參數(shù)進行討論，其實質是討論導函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況．若導函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調函數(shù)，最值在端點處取得；若導函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值．題型十一：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題例31．（2023·廣東江門·高二?？计谥校┖瘮?shù)（m為常數(shù)）在上有最大值，那么．例32．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是.例33．（2023·北京·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間上既存在最大值，也存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是.變式42．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，且的最小值為0，則的值為．變式43．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┤艉瘮?shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是.變式44．（2023·河南商丘·高二商丘市實驗中學校聯(lián)考期中）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是．變式45．（2023·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校?？茧A段練習）已知函數(shù)在上的最大值為2，則．變式46．（2023·安徽合肥·高二校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是.【方法技巧與總結】已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值（或范圍）是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程（不等式）解決問題．題型十二：導數(shù)在解決實際問題中的應用例34．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，現(xiàn)有一塊邊長為的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，然后做成一個長方體形的無蓋容器，則容器的容積是截下的小正方形邊長的函數(shù)．

(1)寫出函數(shù)的解析式．(2)為了使容器的容積最大，截去的小正方形邊長應為多少？例35．（2023·全國·高二課堂例題）已知某型號手機總成本C元是月產量Q萬件的函數(shù)，且．將Q看成能取區(qū)間內的每一個值，求月產量Q為多少時，才能使每件產品的平均成本最低？最低平均成本為多少？例36．（2023·全國·高二隨堂練習）工廠需要圍建一個面積為512的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長度y（單位：m）是利用原有墻壁長度x（單位：m）的函數(shù)．(1)寫出y關于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍；(2)隨著x的變化，y的變化有何規(guī)律？(3)當堆料場的長、寬比為多少時，需要砌起的新墻用的材料最??？變式47．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？茧A段練習）某汽車公司生產一種品牌汽車，上年度成本價為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5萬輛．本年度公司為了進一步擴大市場占有量，計劃降低成本，實行降價銷售．設本年度成本價比上年度降低了，本年度出廠價比上年度降低了．(1)若本年度年銷售量比上年度增加了倍，問在什么取值范圍時，本年度的年利潤比上年度有所增加？(2)若本年度年銷售量關于的函數(shù)為，則當為何值時，本年度年利潤最大？【方法技巧與總結】解決最優(yōu)問題應從以下幾個方面入手（1）設出變量，找出函數(shù)關系式，確定定義域．（2）在實際應用問題中，若函數(shù)在定義域內只有一個極值點，則它就是最值點．題型十三：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題例37．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習）已知，．(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求當實數(shù)a等于多少時，可以使函數(shù)取得最小值為3？例38．（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)當時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．例39．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習）已知是函數(shù)的一個極值點．(1)求的單調區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值．變式48．（2023·吉林白城·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當且時，求的最小值；(2)若函數(shù)在上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.變式49．（2023·四川眉山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處有極值10．(1)求實數(shù)，的值;(2)若方程在區(qū)間內有解，求實數(shù)的取值范圍．變式50．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）設函數(shù)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若曲線在處的切線與曲線相切，求a的值：(2)若存在兩個極值點，求a的取值范圍.變式51．（2023·天津西青·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處有極值(1)求的值并判斷是極大值點還是極小值點；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【方法技巧與總結】（1）已知極值點求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義．（2）討論極值點的實質是討論函數(shù)的單調性，即的正負．（3）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值進行比較，最大的那個值是最大值，最小的那個值是最小值．題型十四：利用導數(shù)研究恒成立問題例40．（2023·山西晉中·高二祁縣中學校考階段練習）已知函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.例41．（2023·山東淄博·高二?？茧A段練習）（1）已知對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，試求a的取值范圍.例42．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的單調遞減區(qū)間；(2)若對于恒成立，求的取值范圍．變式52．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校?？茧A段練習）已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．變式53．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若的最大值為(1)求的值；(2)若在上恒成立，求b的取值范圍.【方法技巧與總結】解決不等式恒成立問題，有兩種求解方法．一種是轉化為求最值，另一種是分離參數(shù)．分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟題型十五：利用導數(shù)研究不等式問題例43．（2023·江西撫州·高二金溪一中?？茧A段練習）設是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A． B．C． D．例44．（2023·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)的導數(shù)為，若對任意實數(shù)都有，且函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．例45．（2023·西藏拉薩·高三拉薩中學?？茧A段練習）設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式54．（2023·安徽合肥·高三合肥市第十中學校聯(lián)考期中）定義域為R的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式55．（2023·貴州黔東南·高三天柱民族中學校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的定義域為，對任意，則的解集為（

）A． B． C． D．變式56．（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】解決不等式問題，通常先構造新函數(shù)，然后再利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調性，從而使不等式問題得以解決．題型十六：利用導數(shù)證明不等式例46．（2023·高二?？颊n時練習）證明：.例47．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：.例48．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若在處的切線過原點，求切線的方程；(2)令，求證：.變式57．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時，證明：對任意的，．變式58．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習）證明：當時，．變式59．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知，，．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當時，求證：．變式60．（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；(2)證明：f（x）≥1.變式61．（2023·河北邢臺·高二邢臺市第二中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)若在上有2個零點，求a的取值范圍；(2)證明：.【方法技巧與總結】利用導數(shù)證明不等式（比較大?。┏Ｅc函數(shù)最值問題有關．因此，解決該類問題通常是構造一個函數(shù)，然后考察這個函數(shù)的單調性，結合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解．題型十七：利用導數(shù)研究零點問題例49．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．例50．（2023·江西·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若在內有且只有一個零點，求的值．例51．（2023·天津武清·高二天津市武清區(qū)城關中學校聯(lián)考階段練習）已知，函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若函數(shù)的減區(qū)間是，求a的值；(3)若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.變式62．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學校考階段練習）已知函數(shù).(1)求的單調性；(2)若關于的方程在上有兩個不相等的零點，求的取值范圍.變式63．（2023·四川資陽·高二校考期中）已知三次函數(shù)的極大值是，其導函數(shù)的圖象經過點，如圖所示，求(1)，，的值；(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．變式64．（2023·廣西河池·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)與直線在上有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．變式65．（2023·安徽·高三碭山中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若x=0為函數(shù)的極值點，且函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.變式66．（2023·廣東佛山·高二?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間和極值.(2)若關于的方程有唯一的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結】解決零點問題，有兩種求解方法．一種是直接法，另一種是分離參數(shù)轉化為兩圖像交點問題．一、單選題1．（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考期中）函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．0 D．3．（2023·福建·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（