專題10.7二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布（解析版）

專題10.7二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布題型一兩點(diǎn)分布題型二超幾何分布題型三二項(xiàng)分布題型四二項(xiàng)分布的概率最大問題題型五二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合題型六正態(tài)分布求概率題型七正態(tài)分布的對(duì)稱題型八正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題型一 兩點(diǎn)分布例1．隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，令，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)求出，則.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以，由，所以.故選：D例2．已知離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則隨機(jī)變量X的方差為．【答案】【分析】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，設(shè)，所以，由題意可求出，所以可求出．【詳解】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，設(shè)，所以，所以，代入有：，解得：，，因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，所以.故答案為：.練習(xí)1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)可得，結(jié)合題意求得，再根據(jù)兩點(diǎn)分布的期望公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以，則，解得或，又因，所以，則，所以.故選：C.練習(xí)2．某企業(yè)擬定4種改革方案，經(jīng)統(tǒng)計(jì)它們在該企業(yè)的支持率分別為，，，，用“”表示員工支持第種方案，用“”表示員工不支持第種方案，那么方差，，，的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可知：隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，由兩點(diǎn)分布的方差公式可解.【詳解】由題意可知：用“”表示員工支持第種方案，用“”表示員工不支持，第種方案，所以隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，則，，，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：D練習(xí)3．（多選）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求出，即可求出、，再根據(jù)期望與方差的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意，所以，所以，.所以，，，所以AB選項(xiàng)正確，CD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB練習(xí)4．（多選）隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義以及期望，方差的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，所以，故，因此，，，所以正確的是ABD．故選：ABD．練習(xí)5．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么．【答案】/0.5【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.【詳解】由題意可知或，由于，所以，故答案為：題型二 超幾何分布例3．（多選）某單位推出了道有關(guān)二十大的測試題供學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)和測試，乙能答對(duì)其中的道題，規(guī)定每次測試都是從這道題中隨機(jī)抽出道，答對(duì)一題加分，答錯(cuò)一題或不答減分，最終得分最低為分，則下列說法正確的是（

）A．乙得分的概率是 B．乙得分的概率是C．乙得分的概率是 D．乙得分的概率是【答案】ABC【分析】根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)乙的得分為，則由題意的所有可能取值為0，10，25，40，所以，，，，故選：ABC例4．某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有體育鍛煉習(xí)慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請(qǐng)完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析成績優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關(guān)系．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析【分析】（1）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，求得抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，得到服從超幾何分布，得出的可能值，求得相應(yīng)的概率，列出分布列.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格254570優(yōu)秀201030合計(jì)4555100零假設(shè)：成績是否優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉無關(guān)，可得．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以的把握認(rèn)為成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān)聯(lián).（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機(jī)抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為0，1，2，3可得，，，所以隨機(jī)變量分布列為X0123P練習(xí)6．第三十一屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕．來自113個(gè)國家和地區(qū)的6500名運(yùn)動(dòng)員在此屆運(yùn)動(dòng)會(huì)上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團(tuán)結(jié)、友誼的新篇章．外國運(yùn)動(dòng)員在返家時(shí)紛紛購買紀(jì)念品，尤其對(duì)中國的唐裝頗感興趣．現(xiàn)隨機(jī)對(duì)200名外國運(yùn)動(dòng)員（其中男性120名，女性80名）就是否有興趣購買唐裝進(jìn)行了解，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：有興趣無興趣合計(jì)男性運(yùn)動(dòng)員8040120女性運(yùn)動(dòng)員404080合計(jì)12080200(1)是否有的把握認(rèn)為“外國運(yùn)動(dòng)員對(duì)唐裝感興趣與性別有關(guān)”；(2)按分層抽樣的方法抽取6名對(duì)唐裝有興趣的運(yùn)動(dòng)員，再從中任意抽取3名運(yùn)動(dòng)員作進(jìn)一步采訪，記3名運(yùn)動(dòng)員中男性有名，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：臨界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)沒有的把握認(rèn)為“外國運(yùn)動(dòng)員對(duì)唐裝感興趣與性別有關(guān)(2)分布列見解析，期望為2【分析】（1）根據(jù)卡方的計(jì)算即可求解，（2）由超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.【詳解】（1）由已知故沒有的把握認(rèn)為“外國運(yùn)動(dòng)員對(duì)店裝感興趣與性別有關(guān)”（2）按分層抽樣的方法抽取6名對(duì)唐裝有興趣的運(yùn)動(dòng)員，則其中男性運(yùn)動(dòng)員4名，女性運(yùn)動(dòng)員2名，則的分布列如下表123練習(xí)7．某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）由頻率分布直方圖概率之和為求出，再由頻率直方圖中位數(shù)的計(jì)算方法求解即可；（2）求出的可能取值，及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可得出答案.【詳解】（1）由直方圖可知，解得．因?yàn)?，，所以學(xué)員該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)學(xué)員該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)為，則，解得．（2）由題意可知抽取的12名學(xué)員中該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的有4名，在內(nèi)的有8名．由題意可知的所有可能取值為．，，，，，則的分布列為01234練習(xí)8．一個(gè)口袋中有4個(gè)白球，2個(gè)黑球，每次從袋中取出一個(gè)球(1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；(2)若不放回的取3次球，求取出白球次數(shù)X的分布列及.【答案】(1)(2)分布列見解析，2【分析】（1）問題相當(dāng)于“從3個(gè)白球，2個(gè)黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，進(jìn)而求得.（2）不放回的依次取出3個(gè)球，則取到白球次數(shù)X的可能取值為1，2，3，計(jì)算出各自對(duì)應(yīng)的概率，求得X的分布列，從而利用公式求得．【詳解】（1）問題相當(dāng)于“從3個(gè)白球，2個(gè)黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以所求概率；（2）不放回的依次取出3個(gè)球，則取到白球次數(shù)X的可能取值為1，2，3，則；；.則X的分布列為：故.練習(xí)9．某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，每批產(chǎn)品進(jìn)入市場之前，需要對(duì)其進(jìn)行檢測，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9箱進(jìn)行檢測，其中有5箱為一等品.(1)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）有古典概型概率計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算即可求解.（2）利用超幾何分布的知識(shí)求得分布列以及期望.【詳解】（1）設(shè)從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取的3箱產(chǎn)品中至少有2箱是一等品的事件為，則，因此從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率為.（2）由題意可知的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得，，，，所以的分布列為：0123所以.練習(xí)10．下表為某班學(xué)生理科綜合能力測試成績（百分制）的頻率分布表，已知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為21.`分?jǐn)?shù)段頻率0.10.150.20.20.150.1*(1)求測試成績在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；(2)現(xiàn)欲從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為，求分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；(3)若在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生為4人，現(xiàn)欲從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出3人參加培優(yōu)小組，為分配到此組的3名學(xué)生中男生的人數(shù)．求的分布列及期望【答案】(1)6(2)2(3)分布列見解析，【分析】（1）利用在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生數(shù)為21人求出高二年級(jí)某班學(xué)生總數(shù)，再利用頻率和為1求出，兩數(shù)相乘可得答案；（2）設(shè)男生有人，根據(jù)抽出2人這2人都是男生的概率為，解得可得答案；（3）求出在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)及男生人數(shù)，可得的取值及對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列和期望.【詳解】（1）某班學(xué)生共有人，因?yàn)?，所以，所以測試成績在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為人.（2）由（1）知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有6人，設(shè)男生有人，若抽出2人至少有一名男生的概率為，則，解得，所以在分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生有2人.（3）在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有人，所以男生有2人，X的取值有，，，，X的分布列為012.題型三 二項(xiàng)分布例5．某地區(qū)對(duì)某次考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的A，B兩門學(xué)科成績作為樣本．將他們的A學(xué)科成績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達(dá)到70分為良好．已知他們中B學(xué)科良好的有50人，兩門學(xué)科均良好的有40人．

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為這次考試學(xué)生的A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān)；B學(xué)科良好B學(xué)科不夠良好合計(jì)A學(xué)科良好A學(xué)科不夠良好合計(jì)(2)用樣本頻率估計(jì)總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中A，B學(xué)科均良好的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072【答案】(1)填表見解析，有95%把握認(rèn)為A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān)(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算可得出A學(xué)科良好的人數(shù)，進(jìn)而即可得出2×2列聯(lián)表.根據(jù)公式計(jì)算得出的值，比較即可根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出答案；（2）根據(jù)（1）得出AB學(xué)科均良好的概率，可知.然后計(jì)算得出取不同值的概率，列出分布列，根據(jù)期望公式即可得出答案.【詳解】（1）由直方圖可得A學(xué)科良好的人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表如下：B學(xué)科良好B學(xué)科不夠良好合計(jì)A學(xué)科良好403070A學(xué)科不夠良好102030合計(jì)5050100假設(shè)：A學(xué)科良好與B學(xué)科良好無關(guān)，，所以有95%把握認(rèn)為A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān)．（2）AB學(xué)科均良好的概率，X的可能取值為0，1，2，3，且．所以，，，．所以X的分布列為X0123P因?yàn)?，所以．?．近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，已逐漸成為社交平臺(tái)發(fā)展的新方向，同時(shí)出現(xiàn)了利用短視頻平臺(tái)進(jìn)行直播銷售的模式.已知甲公司和乙公司兩家購物平臺(tái)所售商品類似，存在競爭關(guān)系.現(xiàn)對(duì)某時(shí)段100名觀看過這兩家短視頻的用戶與使用這兩家購物平臺(tái)購物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司購物平臺(tái)選擇乙公司購物平臺(tái)合計(jì)用戶年齡段為歲302050用戶年齡段為歲203050合計(jì)5050100(1)能否有的把握認(rèn)為使用哪家購物平臺(tái)購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)？(2)為了了解用戶觀看兩家短視頻后選擇哪家公司購物的原因，用頻率近似概率，從觀看過這兩家短視頻的年齡段為1924歲和2534歲的用戶中各抽取2名用戶進(jìn)行回訪，求抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2的概率.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有的把握認(rèn)為使用哪家購物平臺(tái)購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)聯(lián)(2)【分析】（1）根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)，由卡方的計(jì)算公式，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可寫結(jié)論；（2）由題意，根據(jù)二項(xiàng)分布的定義和二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，則，所以有的把握認(rèn)為使用哪家購物平臺(tái)購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)聯(lián).（2）設(shè)從觀看過這兩家短視頻的年齡段為19~24歲的用戶中抽取的2名用戶中選擇甲公司購物的人數(shù)為，則.設(shè)從觀看過這兩家短視頻的年齡段為25~34歲的用戶中抽取的2名用戶中選擇甲公司購物的人數(shù)為，則.設(shè)“抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2”為事件A，則.因?yàn)椋?，所?練習(xí)11．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一個(gè)開盲盒游戲：在編號(hào)為1到4號(hào)的四個(gè)箱子中隨機(jī)放入獎(jiǎng)品，每個(gè)箱子中放入的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)滿足，每個(gè)箱子中所放獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)相互獨(dú)立．游戲規(guī)定：當(dāng)箱子中獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)超過3個(gè)時(shí)，可以從該箱中取走一個(gè)獎(jiǎng)品，否則從該箱中不取獎(jiǎng)品．每個(gè)參與游戲的同學(xué)依次從1到4號(hào)箱子中取獎(jiǎng)品，4個(gè)箱子都取完后該同學(xué)結(jié)束游戲．甲、乙兩人依次參與該游戲．(1)求甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率；(2)設(shè)甲游戲結(jié)束時(shí)取走的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為，求的概率分布與數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)乙游戲結(jié)束時(shí)取走的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為(3)【分析】（1）先求得，然后求得的概率分布，進(jìn)而求得甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率.（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得的概率分布，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望.（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】（1）因?yàn)槊總€(gè)箱子中放入的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)滿足，所以，則，所以的概率分布為：12345P設(shè)事件為甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品，則，所以甲能從1號(hào)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為.（2），因?yàn)榧啄軓拿總€(gè)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為，所以，所以，，X的概率分布為：01234所以X的數(shù)學(xué)期望為．或．（3）乙能從箱子中取到獎(jiǎng)品必須箱子中最初有5個(gè)獎(jiǎng)品，即乙能從每個(gè)箱子中取走一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為，所以，所以Y的數(shù)學(xué)期望為．練習(xí)12．設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．(1)用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列；(2)設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在之前到校的天數(shù)恰好多”，求事件發(fā)生的概率．【答案】(1)分布列見解析(2)【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；（2）事件，根據(jù)互斥、獨(dú)立事件、和事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中之前到校的天數(shù)為，則，事件．由題意知：事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，.練習(xí)13．某公司使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為；乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為，已知兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響.現(xiàn)對(duì)某天生產(chǎn)的芯片進(jìn)行抽樣.(1)從所有芯片中任意抽取一個(gè)，求該芯片是不合格品的概率；(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機(jī)抽取3個(gè)芯片，記其中由乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.056(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求得答案；（2）確定，由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算可求得分布列，根據(jù)期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記事件表示芯片來自甲機(jī)器生產(chǎn)，事件表示芯片來自乙機(jī)器生產(chǎn)，事件表示取到的是合格品；則.（2）由題意得，，故，所以的分布列為0123故.練習(xí)14．卡塔爾世界杯的吉祥物“拉伊卜”引發(fā)網(wǎng)友和球迷喜愛，并被親切地稱為“餃子皮”.某公司被授權(quán)銷售以“拉伊卜”為設(shè)計(jì)主題的精制書簽.該精制書簽的生產(chǎn)成本為50元/個(gè)，為了確定書簽的銷售價(jià)格，該公司對(duì)有購買精制書簽意向的球迷進(jìn)行了調(diào)查，共收集了200位球迷的心理價(jià)格來估計(jì)全部球迷的心理價(jià)格分布.這200位球迷的心理價(jià)格對(duì)應(yīng)人數(shù)比練習(xí)分布如下圖：

若只有在精制書簽的銷售價(jià)格不超過球迷的心理價(jià)格時(shí)，球迷才會(huì)購買精制書簽.公司采用常見的饑餓營銷的方法刺激球迷購買產(chǎn)品，規(guī)定每位球迷最多只能購買一個(gè)該精制書簽.設(shè)每位球迷是否購買該精制書簽相互獨(dú)立，精制書簽的銷售價(jià)格為元/個(gè)().(1)若，已知某時(shí)段有3名球迷有購買意向而咨詢公司，設(shè)為這3名球迷中購買精制書簽的人數(shù)，求的分布列和期望；(2)假設(shè)共有名球迷可能購買該精制書簽，請(qǐng)比較當(dāng)精制書簽的售價(jià)分別定為70元和80元時(shí)，哪種售價(jià)對(duì)應(yīng)的總利潤的期望最大?【答案】(1)分布列見解析，(2)當(dāng)精制書簽的銷售價(jià)格定為70元時(shí)，對(duì)應(yīng)的總利潤的期望最大【分析】（1）先確定購買該精制書簽的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率得分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)隨機(jī)變量之間的關(guān)系確定當(dāng)，時(shí)的與的關(guān)系，即可判斷得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)球迷購買該精制書簽的概率為.因每位球迷是否購買該精制書簽相互獨(dú)立，∴，X的可能取值為.；其分布列為：0123其期望為.（2）設(shè)該公司銷售該精制書簽所得總利潤為元，當(dāng)時(shí)，由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)球迷購買該精制書簽的概率為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)球迷購買該精制書簽的概率為.此時(shí)；∵，所以當(dāng)精制書簽的銷售價(jià)格定為70元時(shí)，對(duì)應(yīng)的總利潤的期望最大.練習(xí)15．“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.(1)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，記表示這人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算對(duì)應(yīng)的頻率即為所求概率；（2）用頻率估計(jì)概率，可知，利用二項(xiàng)分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式可求得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知：人中，一周參加課后活動(dòng)的事件位于區(qū)間的頻率為，用頻率估計(jì)概率，全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率為.（2）用頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取人，則該人一周參加課后活動(dòng)的事件在區(qū)間的概率，，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.題型四 二項(xiàng)分布的概率最大問題例7．若，則取得最大值時(shí)，.【答案】6或7【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式列不等式即可求解．【詳解】由題意可知，服從二項(xiàng)分布，所以，，且，由不等式，即，解得，所以時(shí)，，時(shí)，，其中當(dāng)時(shí)，，所以或7時(shí)，取得最大值．故答案為：6或7．例8．某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時(shí)/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛好者用時(shí)不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時(shí)不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時(shí)是否超過10秒相互獨(dú)立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛好者進(jìn)行測試，其中用時(shí)不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出1名盲擰魔方愛好者用時(shí)不超過10秒的概率，確定，即可表示出，列不等式組求最大時(shí)k的值，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時(shí)不超過10秒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時(shí)不超過10秒的人數(shù)為，則，其中，時(shí)，；顯然，即不可能為最大值，當(dāng)時(shí)，由得，化簡得，解得，又這20名盲擰魔方愛好者中用時(shí)不超過10秒的人數(shù)最有可能是5，故選：C．練習(xí)16．設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．【答案】17【分析】直接根據(jù)服從二項(xiàng)分布，結(jié)合取整數(shù)部分可得后面80次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的次數(shù)為13概率最大，從而得解.【詳解】繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由，結(jié)合題中結(jié)論可知，時(shí)概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.故答案為：17.練習(xí)17．近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為"不喜歡網(wǎng)上買菜".某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計(jì)6040100(1)是否有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)?(2)社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從，兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買菜.如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為；如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為，求李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為，事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的的值.參考公式：，其中.0.10.050.00.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).(2)(3)12【分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算出的值即可求解；（2）根據(jù)概率的乘法公式求解；（3）利用二項(xiàng)分布求出，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】（1）零假設(shè)社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關(guān)，由題可得，，所以零假設(shè)不成立，所以有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).（2）周二選擇平臺(tái)買菜的情況有：①周一選擇平臺(tái)買菜，周二選擇平臺(tái)買菜，概率為,②周一選擇平臺(tái)買菜，周二選擇平臺(tái)買菜，概率為,所以李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率為.（3）由表知，喜歡網(wǎng)上買菜的頻率為，則,所以設(shè)，令，解得，；，解得，所以當(dāng)時(shí)，最大，所以使取得最大值時(shí)的的值為12.練習(xí)18．為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識(shí)到毒品的危害性，切實(shí)提升青少年識(shí)毒防毒拒毒意識(shí)”，我市組織開展青少年禁毒知識(shí)競賽，團(tuán)員小明每天自覺登錄“禁毒知識(shí)競賽APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個(gè)達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨(dú)立，請(qǐng)問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大【分析】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，的可能值為5，4，3，2，根據(jù)事件相互獨(dú)立求出的分布列、數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)小A每天贏得的局?jǐn)?shù)為，則，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，這些事件相互獨(dú)立，由條件知的可能值為5，4，3，2.；；；.則其分布列為5432所以.（2）設(shè)小明每天贏得的局?jǐn)?shù)為，則易知，于是.假設(shè)贏得局的概率最大，則據(jù)條件得，即，整理得，解之得，又因?yàn)?，所以，因此在每天?0局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.練習(xí)19．在十余年的學(xué)習(xí)生活中，部分學(xué)生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣．某研究小組為研究轉(zhuǎn)筆與學(xué)習(xí)成績好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習(xí)慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請(qǐng)完成下列22列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的條件下，認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)．上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學(xué)生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求k的值．附：，其中k【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān).(2)分布列見解析，.(3).【分析】（1）由卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算可得；（2）由超幾何分布的概率計(jì)算公式可得；（3）由二項(xiàng)分布的概率公式，結(jié)合求概率最大的方法可得.【詳解】（1）上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)合格254570優(yōu)秀201030合計(jì)4555100零假設(shè)：成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆無關(guān).根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān).（2）根據(jù)頻率分布直方圖大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，故由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機(jī)抽取5人，合格人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為，故，，，，故分布列為2345.（3）由題意隨機(jī)抽取1人則其上課轉(zhuǎn)筆的概率為，故根據(jù)題意，則，若上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為時(shí)，最大，則，解得，故，所以當(dāng)最大時(shí)，.練習(xí)20．某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，一般地，果徑越大售價(jià)越高.為幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計(jì)了一套方案，并在兩片果園中進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中實(shí)驗(yàn)園采用實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)照?qǐng)@未采用.實(shí)驗(yàn)周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)選取100個(gè)果實(shí)，按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：（單位：mm）.統(tǒng)計(jì)后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36mm及以上的為“大果”.

(1)估計(jì)實(shí)驗(yàn)園的“大果”率；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)中抽取10個(gè)，再從這10個(gè)果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記其中“大果”的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)以頻率估計(jì)概率，從對(duì)照?qǐng)@這批果實(shí)中隨機(jī)抽取n（，）個(gè)，設(shè)其中恰有2個(gè)“大果”的概率為，當(dāng)最大時(shí)，寫出n的值.【答案】(1)60%(2)分布列見解析(3)6【分析】（1）由頻率分布直方圖求出頻率，得到實(shí)驗(yàn)園的“大果”率；（2）求出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到的分布列；（3）根據(jù)，求出n的取值范圍，由求出答案.【詳解】（1）由題中實(shí)驗(yàn)園的頻率分布直方圖得這100個(gè)果實(shí)中大果的頻率為（，所以估實(shí)驗(yàn)園大果率為60%.（2）由題中對(duì)照?qǐng)@的頻率分布直方圖得，這100個(gè)果實(shí)中大果的個(gè)數(shù)為（（采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)中抽取10個(gè)，其中大果有，從這10個(gè)果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中“大果”的個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，所以X的分布列為X0123P（3）由題可知，要使最大，則且，∴，又∵，∴.題型五 二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合例9．2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評(píng)比活動(dòng)，學(xué)生會(huì)成員隨機(jī)抽取了12間寢室進(jìn)行量化評(píng)估，其中有4間寢室被評(píng)為優(yōu)秀寢室.(1)現(xiàn)從這12間寢室中隨機(jī)抽取3間，求有1間優(yōu)秀的概率；(2)以這12間寢室的評(píng)估情況來估計(jì)全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀的寢室間數(shù)，求X的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)公式，結(jié)合超幾何分布的概率公式，即可求解；（2）首先由題意可得，再根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式，即可求分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)表示所抽取的3間寢室中有間寢室優(yōu)秀，抽取的3間寢室中有1間優(yōu)秀為事件，則；（2）由題表數(shù)據(jù)可知，從12間寢室中任選1間是優(yōu)秀的概率為，由題可知的所有可能取值為，則，，所以的分布列為0123.例10．某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記為3人中身高不超過的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有個(gè)男生的概率為，求使得取得最大值的的值.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2).【分析】（1）所有可能的取值為，且，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解，從而可得分布列與期望；（2）設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，求解即可.【詳解】（1）所有可能的取值為，且.；；；.故的分布列為01230.0080.0960.3840.512所以.（2）設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，則30個(gè)人中剩下個(gè)人為女生或者老師，事件包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，所以.所以，解得.所以，故當(dāng)時(shí)，最大.練習(xí)21．2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落下帷幕，中國隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng)，某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取10個(gè)學(xué)生，問各抽取多少人？(2)在（1）條件下，再從這10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(3)以這100名參賽學(xué)生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識(shí)競賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)6人，4人(2)(3)分布列見解析，【分析】(1)結(jié)合頻率分布表，求出抽樣比，進(jìn)而即可得到答案；(2)結(jié)合超幾何分布即可求解；(3)結(jié)合已知條件，利用二項(xiàng)分布即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槌煽優(yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計(jì)，共人，抽樣比為，所以成績?yōu)椤傲己谩钡某槿∪耍煽優(yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取人．（2）抽取的6人中至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”可以分成兩類：3個(gè)優(yōu)3個(gè)良和4個(gè)優(yōu)2個(gè)良，故至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率.（3）由題意知，的可能取值，，，．由題可知，任意1名學(xué)生競賽得分“優(yōu)秀”的概率為，競賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為．若以頻率估計(jì)概率，則服從二項(xiàng)分布，；；；．故的分布列為數(shù)學(xué)期望.練習(xí)22．某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動(dòng)，為鼓勵(lì)更多的人積極參與到宣傳活動(dòng)中來，宣傳活動(dòng)現(xiàn)場設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)．在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案．抽獎(jiǎng)規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行．活動(dòng)開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是．”(1)求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；(2)為了增加抽獎(jiǎng)的趣味性，規(guī)定每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎(jiǎng)規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用X表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)“掃黑除惡利國利民”卡有n張，根據(jù)題意求出n，再計(jì)算抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率即可；（2）在新規(guī)則下，每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為，則X～B，寫出分布列和期望即可．【詳解】（1）設(shè)“掃黑除惡利國利民”卡有n張，由＝，得n＝4，故“普法宣傳人人參與”卡有5張，抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為＝．（2）在新規(guī)則下，每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為×＋×＝，所以X～B，則，（k＝0，1，2，3），X的分布列為X0123P所以E(X)＝3×＝．練習(xí)23．某試驗(yàn)機(jī)床生產(chǎn)了12個(gè)電子元件，其中8個(gè)合格品，4個(gè)次品．從中隨機(jī)抽出4個(gè)電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個(gè)數(shù)．(1)若有放回的抽取，求X的分布列與期望；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比練習(xí)與總體中合格品的比練習(xí)之差的絕對(duì)值不超過的概率．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.(2)【分析】（1）依題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可列出分布列、求出數(shù)學(xué)期望.（2）總體中合格品的比練習(xí)為，樣本中合格品的比練習(xí)與總體中合格品的比練習(xí)之差的絕對(duì)值不超過即樣品中合格品的比練習(xí)大于小于.(1)有放回的抽取，，根據(jù)題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4，所以,,,,.X的分布列為：P01234X所以X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意得總體中合格品的比練習(xí)為，因?yàn)闃颖局泻细衿返谋染毩?xí)與總體中合格品的比練習(xí)之差的絕對(duì)值不超過，所以樣本中樣品中合格品的比練習(xí)大于小于，即樣品中合格品的個(gè)數(shù)為2或3.,。所以練習(xí)24．甲、乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是，乙能答對(duì)其中的5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，至少得15分才能入選.甲乙兩人的答題情況相互獨(dú)立(1)求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲、乙兩人同時(shí)入選的概率；【答案】(1)分布列見解析，12(2)【分析】（1）由二項(xiàng)分布概率公式求解（2）由概率的加法與乘法公式求解【詳解】（1）設(shè)甲答對(duì)的題目數(shù)量為隨機(jī)變量X，則得分為隨機(jī)變量Y，，，，Y-1501530P（2）設(shè)乙入選的事件為，則甲入選的概率為甲乙同時(shí)入選的概率為練習(xí)25．某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過初試，已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對(duì)每個(gè)試題互不影響.（1）試通過概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（2）若答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列.【答案】（1）甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）見解析【分析】（1）根據(jù)條件答對(duì)3題或4題才能通過初試，再由8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，知甲通過初試的概率計(jì)算屬于超幾何分布概率計(jì)算，而乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為，知乙通過初試的概率計(jì)算屬于二項(xiàng)分布概率計(jì)算，根據(jù)各自的概率計(jì)算公式即可求解.（2）設(shè)乙答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為，得，由的可能取值及乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為知：，根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式及與的關(guān)系可得到的分布列.【詳解】解：（1）參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過初試，在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，甲通過自主招生初試的概率，參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過初試，在這8個(gè)試題中乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為，乙通過自主招生初試的概率，，甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）根據(jù)題意，乙答對(duì)題的個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，因?yàn)橐夷艽饘?duì)每個(gè)試題的概率為，所以，且，的概率分布列為：05101520【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布與二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，二項(xiàng)分布的分布列及性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟知二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別，根據(jù)條件能準(zhǔn)確識(shí)別.題型六 正態(tài)分布求概率例11．已知某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標(biāo)，單位為.該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在的數(shù)量為818600，則可以估計(jì)該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A．1587 B．2275 C．2700 D．1350【答案】D【分析】由正態(tài)分布得，，零件尺寸在的概率為，零件尺寸在15.15以上的概率為，根據(jù)已知求得其概率后可得所求零件數(shù)．【詳解】由已知，，，零件尺寸在15.15以上的概率為，設(shè)零件尺寸在15.15以上的零件數(shù)為，則，，故選：D．例12．一批燈泡的使用時(shí)間（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，則這批燈泡使用時(shí)間在內(nèi)的概率是．【答案】【分析】利用3原則即可得到概率.【詳解】因?yàn)?，，則故答案為：.練習(xí)26．甲?乙兩地舉行數(shù)學(xué)聯(lián)考，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：甲地學(xué)生的成績，乙地學(xué)生的成績.下圖分別是其正態(tài)分布的密度曲線，則（

）（若隨機(jī)變量，則，，）

A．甲地?cái)?shù)學(xué)的平均成績比乙地的高 B．甲地?cái)?shù)學(xué)成績的離散程度比乙地的小C． D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)曲線比較兩地平均值可判斷A；根據(jù)曲線的特征比較成績的離散程度判斷B；根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判斷C，根據(jù)特殊區(qū)間的概率值可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正態(tài)曲線可知甲地?cái)?shù)學(xué)平均分為90分，乙地?cái)?shù)學(xué)平均分為100分，故甲地?cái)?shù)學(xué)的平均成績比乙地的低，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正態(tài)分布曲線可看出乙地?cái)?shù)學(xué)成績更集中，故甲地?cái)?shù)學(xué)成績的離散程度比乙地的大，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，D正確，故選：D練習(xí)27．某田地生長的小麥的株高服從正態(tài)分布，則（

）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，）A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性及所提供數(shù)據(jù)運(yùn)算即可.【詳解】由題知，，所以.故選：B練習(xí)28．（多選）已知在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，某校1000學(xué)生的成績服從正態(tài)分布，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則對(duì)于該校學(xué)生成績，下列說法正確的有(參考數(shù)據(jù)：①；②；③（

）A．標(biāo)準(zhǔn)差為100B．及格率超過C．得分在內(nèi)的人數(shù)約為997D．得分低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等【答案】CD【分析】利用正態(tài)分布中兩個(gè)量和的意義，以及曲線的對(duì)稱性即可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】由題意知，，A：標(biāo)準(zhǔn)差：，故A錯(cuò)誤；B：，，故B錯(cuò)誤；C：，人，故C正確；D：，因?yàn)槌煽兎臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，故D正確.故選：CD練習(xí)29．（多選）裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．（附：若，則，，）A．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.7685B．甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中C．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過5，則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大D．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為，則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率約為乙生產(chǎn)線的2倍【答案】BD【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)及對(duì)應(yīng)特殊區(qū)間上的概率計(jì)算分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，故A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中，故B正確．因?yàn)?，，所以，所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大，故C錯(cuò)誤．因?yàn)?，，所以D正確．故選：BD.練習(xí)30．假設(shè)某個(gè)地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：(1)不高于170的概率；(2)在區(qū)間內(nèi)的概率；(3)不高于180的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】利用正態(tài)分布將指定區(qū)間上的概率轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間上的概率求解.【詳解】（1）設(shè)該學(xué)生的身高為X，由題意可知易知.（2）因?yàn)榫禐?70，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而，所以.（3）由概率的加法公式可知.又由（2）以及正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，因此題型七 正態(tài)分布的對(duì)稱例13．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．0 C．2 D．6【答案】D【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，解得：.故選：D.例14．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，，則.【答案】/【分析】由題意可得，由可求出，而與關(guān)于對(duì)稱，由正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求出.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，又，所以，所以，而與關(guān)于對(duì)稱，所以.故答案為：練習(xí)31．（多選）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，若，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，以及正態(tài)分布的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，可知，，故A正確；根據(jù)對(duì)稱性可知，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知，，故D正確.故選：AD練習(xí)32．已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】1【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可解得實(shí)數(shù)的值；【詳解】由隨機(jī)變量，且，所以與關(guān)于對(duì)稱，即，解得；故答案為：1練習(xí)33．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，向量與向量的夾角為銳角的概率是，則．【答案】【分析】先由向量夾角為銳角求得，再利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可得解.【詳解】當(dāng)向量與向量的夾角為銳角時(shí)，且不共線，則，且，解得，又向量與向量的夾角為銳角的概率是，所以，又隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，故答案為：.練習(xí)34．已知隨機(jī)變量，且其正態(tài)曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且．(1)求參數(shù)，的值．(2)求．附：若，則，【答案】(1)，(2)0.1359【分析】（1）由題設(shè)及特殊區(qū)間的概率值得到，即可確定參數(shù)；（2）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求、，進(jìn)而求目標(biāo)概率值.【詳解】（1）由題設(shè)，而，則，可得.（2）由（1）知：，正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，即，所以，故，由，則，所以，綜上，.

練習(xí)35．（多選）若，則，．已知，且，則（

）．A． B．C． D．【答案】AC【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，再由原則求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得．．故選：AC．題型八 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用例15．零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個(gè)數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.(1)分別求，的值；(2)試估計(jì)這批零件直徑在的概率；(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的個(gè)數(shù).參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.【答案】(1)，;(2)0.8186;(3)1637．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差的公式即可求解.（2）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)分布在三個(gè)常見的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解.（3）根據(jù)區(qū)間上的概率計(jì)算即可.【詳解】（1）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式分別得：故，.（2）設(shè)表示零件直徑，則，即.，由對(duì)稱性得，，即.同理，，，即..故這批零件直徑在的概率為0.8186.（3）由（2）知，，所以在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的有個(gè).例16．某校舉辦顛乒乓球比賽，現(xiàn)從高一年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生統(tǒng)計(jì)成績，其中24名女生平均成績?yōu)?0個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差為4；16名男生平均成績?yōu)?0個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差為6.(1)高一年級(jí)全員參加顛球比賽的成績近似服從正態(tài)分布，若用這40名參賽的同學(xué)的樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（四舍五入取整數(shù)）分別作為，，估計(jì)高一年級(jí)顛球成績不超過60個(gè)的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；(2)顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學(xué)爭奪冠亞軍，如果甲每局比賽獲勝的概率為，在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率.附：若，則，，.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、方差公式求出、，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可估計(jì)人數(shù)；（2）設(shè)事件表示“甲獲勝”，事件表示“甲前局獲勝”，求出、，再利用條件概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意，即，，所以，同理，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，且，所以，所以，即估?jì)顛球成績不超過個(gè)的人數(shù)為.（2）設(shè)事件表示“甲獲勝”，事件表示“甲前局獲勝”，甲獲勝有，，三類，對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，所以，，所以，所以在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率為.練習(xí)36．河北省高考從2018年秋季高中入學(xué)的新生開始新模式，即模式；2021年開始，高考總成績由語數(shù)外＋物理、歷史（選1門）＋化學(xué)、生物、政治、地理（選2門）等六門科目構(gòu)成．現(xiàn)將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、、B、、C、、D、E共8個(gè)等級(jí)．參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比練習(xí)分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．選考科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績，依照等比練習(xí)轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績．某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測試，其中化學(xué)考試原始成績基本服從正態(tài)分布．(1)求化學(xué)原始成績在區(qū)間的人數(shù)；(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成績在區(qū)間的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（附：若隨機(jī)變量，則，，）【答案】(1)1637（人）(2)分布列見解析，．【分析】（1）根據(jù)物理原始成績，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可；（2）由題意，再列出分布列，結(jié)合二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槲锢碓汲煽?，所以．所以化學(xué)原始成績在的人數(shù)為（人）．（2）由題意得，隨機(jī)抽取1人，其成績在區(qū)間內(nèi)的概率為．所以隨機(jī)抽取三人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，且，所以，，，．所以X的分布列為X0123P所以數(shù)學(xué)期望．練習(xí)37．根據(jù)以往大量的測量知某加工廠生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑尺寸X服從正態(tài)分布，并把鋼管內(nèi)徑在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，鋼管內(nèi)徑在內(nèi)的產(chǎn)品稱為二等品，一等品與二等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品回收．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1000件，測得鋼管內(nèi)徑的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：

(1)通過檢測得樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用樣本平均數(shù)x作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，根據(jù)所給數(shù)據(jù)求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的鋼管內(nèi)徑尺寸范圍；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2個(gè)一等品和個(gè)二等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同，則該箱產(chǎn)品記為A，否則該箱產(chǎn)品記為B．①試用含n的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為，求當(dāng)n為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值．參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)(2)①；②當(dāng)時(shí)，取得最大值【分析】（1）運(yùn)用頻率分布直方圖求得平均數(shù)，得出的值即可求解；（2）①運(yùn)