7.4 空間距離（精講）（教師版）

7.4空間距離（精講）一．點(diǎn)到線的距離1.概念：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離；設(shè)AP＝，直線l的一個(gè)單位方向向量為，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ二．兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長(zhǎng)度.三．點(diǎn)到平面的距離：已知平面α的法向量為，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長(zhǎng)度.因此四．直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離；五．兩個(gè)平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.一．求點(diǎn)面距常見方法方法一：作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離方法二：等體積法方法三：向量法二.向量法求兩異面直線的距離分別以這兩條異面直線上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，與這兩條異面直線都垂直的法向量為，則兩條異面直線間的距離就是在方向上的正射影向量的模，設(shè)為d，從而由公式求解.考點(diǎn)一點(diǎn)線距【例1-1】（2023春·江西南昌）如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到的距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，且為銳角，，點(diǎn)到的距離.故選：D.【例1-2】（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，直線的方程為，即，則直線的方向向量為，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，，則，故在上的射影為：，故點(diǎn)到直線的距離為：.故選：D.【一隅三反】1．（2023春·廣東茂名·高三?？茧A段練習(xí)）菱形的邊長(zhǎng)為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以為等邊三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為4，所以，所以直角梯形的面積為，設(shè)四棱錐的高為，則，得，所以，所以平面，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以所以，所以F到直線BC的距離為，故選：A

2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】在平行六面體中，不妨設(shè)，，．,，，，所以，，，所以E到直線的距離為，故選：A考點(diǎn)二線線距【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)直線與的公垂線的方向向量為則不妨令又則異面直線與之間的距離故選：D2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，可知此時(shí)到直線距離最短設(shè)，，則，，，，即，，即，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.考點(diǎn)三點(diǎn)面距【例3-1】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，為正三角形，則，面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如下圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，

設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，則，令，則，由，解得，則面的法向量為，，點(diǎn)到平面的距離.【例3-2】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體中，．點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，且，三棱錐的體積為．

(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，而平面，所以，由已知，所以，由平面平面，得平面平面，因此在平面?nèi)的射影就是直線，設(shè)在面的射影為，則在直線上，由題意知,則,所以，所以，又因?yàn)?，所以與重合，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為，．設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，即，所以點(diǎn)A到平面的距離．（2）設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，所以，由于平面與平面夾角范圍為，所以平面與平面夾角的余弦值是．【一隅三反】1．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點(diǎn)F的位置；②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.【答案】(1)證明見解析(2)①點(diǎn)的位置是線段上靠近的三等分點(diǎn)；②【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，,為等邊三角形,,面底面，面底面，面，面，，，，又，面，面，，

（2）①如圖以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間

直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，，,,，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量則有，令解得：因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為即解得，所以點(diǎn)的位置是線段上靠近的三等分點(diǎn)，②，，，點(diǎn)到平面的距離.2．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，其母線長(zhǎng)為6，邊長(zhǎng)為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，射線與底面圓周交于點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，所以面.又因?yàn)槊妫?，?因?yàn)闉橥饨訄A圓心，且為正三角形，所以.又因?yàn)榍?，面，所以面，因?yàn)槊?，所以面?（2）作交于，取中點(diǎn)為.因?yàn)椋?，所?因?yàn)槊妫?，面，所以?如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，所以，，所以，，，?由，得，，，，.設(shè)面的法向量為，則，取，則，，所以.設(shè)面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因?yàn)椋?，所以到面的距離.

考點(diǎn)四面面距【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)(2)【解析】1）解：因?yàn)槠矫?，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線與平面的距離為.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t平面與平面的距離為.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）法一:證明：連接分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四邊形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．中，，，，由等體積可得，．法二:設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，，平面與平面的距離為3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．【答案】(1)證明見詳解；(2)﹒【解析】（1）∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴連接AC得，EF∥AC，∵是平行四邊形，∴，又平面平面，∥平面，同理，連接可得，可得EG∥平面，與平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒（2）如圖：以D為原點(diǎn)，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz﹒則∴，設(shè)平面的法向量為，則，取，則平面與平面EFG間的距離為﹒4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).(1)在圖中作一個(gè)平面，使得，且平面.（不必給出證明過(guò)程，