數(shù)學(xué)必修二學(xué)案第一章空間幾何體章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截而成的.這三種幾何體都是多面體.(2)圓柱、圓錐、圓臺、球分別是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱為旋轉(zhuǎn)體.在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問題時，常需作它們的軸截面或截面.(3)由柱、錐、臺、球組成的簡單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實質(zhì)是將它們分解成多個基本幾何體.2.空間幾何體的三視圖與直觀圖(1)三視圖是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖三種.畫圖時要遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則.注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線用虛線畫出.熟記常見幾何體的三視圖.畫組合體的三視圖時可先拆，后畫，再檢驗.(2)斜二測畫法：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法.它的主要步驟：(1)畫軸；(2)畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；(3)截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化，這也是高考考查的重點；根據(jù)三視圖的畫法規(guī)則理解三視圖中數(shù)據(jù)表示的含義，從而可以確定幾何體的形狀和基本量.3.幾何體的側(cè)面積和體積的有關(guān)計算柱體、錐體、臺體和球體的側(cè)面積和體積公式面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3方法一幾何體的三視圖和直觀圖空間幾何體的三視圖、直觀圖以及兩者之間的轉(zhuǎn)化是本章的難點，也是重點.解題需要依據(jù)它們的概念及畫法規(guī)則，同時還要注意空間想象能力的運(yùn)用.【例1】將正方體如圖(1)所示截去兩個三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側(cè)面作垂線.D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線.答案B【訓(xùn)練1】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是()解析所給選項中，A、C選項的正視圖、俯視圖不符合，D選項的側(cè)視圖不符合，只有B選項符合.答案B方法二幾何體的表面積與體積幾何體的表面積和體積的計算是現(xiàn)實生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，如制作物體的下料問題、材料最省問題等.這里應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系.在計算中，要充分利用平面幾何知識，特別注意應(yīng)用柱體、錐體、臺體的側(cè)面展開圖.組合體的表面積和體積，可以通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為柱體、錐體、臺體等的表面積和體積.【例2】如圖所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，側(cè)面B′BCC′的面積是S，點A′到側(cè)面B′BCC′的距離是a，求三棱柱ABC－A′B′C′的體積.解連接A′B，A′C，如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐.設(shè)所求體積為V，顯然三棱錐A′－ABC的體積是eq\f(1,3)V.而四棱錐A′－BCC′B′的體積為eq\f(1,3)Sa，故有eq\f(1,3)V＋eq\f(1,3)Sa＝V，即V＝eq\f(1,2)Sa.【訓(xùn)練2】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.16＋8π B.8＋8πC.16＋16π D.8＋16π解析將三視圖還原為原來的幾何體，再利用體積公式求解.原幾何體為組合體：上面是長方體，下面是圓柱的一半(如圖所示)，其體積為V＝4×2×2＋eq\f(1,2)π×22×4＝16＋8π.答案A方法三轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想尋求解題途徑，常用如下幾種策略：(1)已知與未知的轉(zhuǎn)化.由已知想可知，由未知想需知，通過聯(lián)想，尋找解題途徑.(2)正面與反面的轉(zhuǎn)化.在處理某一問題時，按照習(xí)慣思維方式從正面思考遇到困難，甚至不可能時，用逆向思維的方式去解決，往往能達(dá)到以突破性的效果.(3)一般與特殊的轉(zhuǎn)化.特殊問題的解決往往是比較容易的，可以利用特殊問題內(nèi)含的本質(zhì)聯(lián)系，通過演繹，得出一般結(jié)論，從而使問題得以解決.(4)復(fù)雜與簡單的轉(zhuǎn)化.把一個復(fù)雜的、陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題來解決，這是解數(shù)學(xué)問題的一條重要原則.【例3】如圖所示，圓臺母線AB長為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點，求這條繩子長度的最小值.解如圖所示，作出圓臺的側(cè)面展開圖及其所在的圓錐.連接MB′，P、Q分別為圓臺的上、下底面的圓心.在圓臺的軸截面中，∵Rt△OPA∽Rt△OQB，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(PA,QB)，∴eq\f(OA,OA＋20)＝eq\f(5,10).∴OA＝20(cm).設(shè)∠BOB′＝α，由扇形弧eq\o(BB′,\s\up8(︵))的長與底面圓Q的周長相等，得2×10×π＝2×OB×π×eq\f(α,360°)，即20π＝2×(20＋20)π×eq\f(α,360°)，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝eq\r(OM2＋OB′2)＝eq\r(302＋402)＝50(cm)，即所求繩長的最小值為50cm.【訓(xùn)練3】圓柱的軸截面是邊長為5cm的正方形ABCD，從A到C圓柱側(cè)面上的最短距離為()A.10cm B.eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC.5eq\r(2)cm D.5eq\r(π2＋1)cm解析如圖所示，沿母線BC展開，曲面上從A到C的最短距離為平面上從A到C的線段的長.∵AB＝BC＝5，∴A′B＝eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)×2π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴A′C＝eq\r(A′B2＋BC2)＝eq\r(\f(25,4)π2＋25)＝5eq\r(\f(π2,4)＋1)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm).答案B1.(2016·全國卷Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π解析由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長均為4π，圓錐的母線長l＝eq\r(（2\r(3)）2＋22)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)＝eq\f(1,2)×4π×4＝8π，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)＝4π×4＝16π，所以組合體的表面積S＝8π＋16π＋4π＝28π，故選C.答案C2．(2016·全國Ⅲ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81解析由題意知，幾何體為平行六面體，邊長分別為3，3，eq\r(45)，幾何體的表面積S＝3×6×2＋3×3×2＋3×eq\r(45)×2＝54＋18eq\r(5).答案B3.(2015·全國Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析由題意知：米堆的底面半徑為eq\f(16,3)(尺)，體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)πR2·h≈eq\f(320,9)(立方尺).所以堆放的米大約為eq\f(320,9×1.62)≈22(斛).答案B4.(2015·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A.8cm3 B.12cm3 C.eq\f(32,3)cm3 D.eq\f(40,3)cm3解析先由三視圖還原幾何體，再利用相應(yīng)的體積公式計算.由三視圖可知，該幾何體是由一個正方體和一個正四棱錐構(gòu)成的組合體.下面是棱長為2cm的正方體，體積V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面邊長為2cm，高為2cm的正四棱錐，體積V2＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)(cm3).所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝eq\f(32,3)(cm3).答案C5.(2015·陜西高考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.3π B.4πC.2π＋4 D.3π＋4解析由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為：S＝2×eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.答案D6.(2014·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A.90cm2 B.129cm2C.132cm2 D.138cm2解析該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3cm，4cm，5cm，所以表面積S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3))＝99＋39＝138(cm2).答案D7．(2016·北京高考)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．解析由三視圖知該四棱柱為直四棱柱，底面積S＝eq\f(（1＋2）×1,2)＝eq\f(3,2)，高h(yuǎn)＝1，所以四棱柱體積V＝S·h＝eq\f(3,2)×1＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)8．(2016·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.解析由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而成，上面正方體的邊長為2cm，下面長方體是底面邊長為4cm，高為2cm，其直觀圖如右圖：其表面積S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．體積V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．答案80409.(201