1.1.1集合（第2課時(shí)表示集合的方法）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第1章集合與邏輯

集合第2課時(shí)表示集合的方法湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標(biāo)要求1.掌握集合的兩種表示方法——列舉法和描述法.2.針對具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用符號(hào)語言刻畫集合.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一列舉法把集合中的元素

.這種表示法叫作列舉法.

一一列舉出來名師點(diǎn)睛用列舉法表示集合時(shí),必須注意以下幾點(diǎn):(1)元素與元素之間需用“,”隔開.(2)不必考慮元素出現(xiàn)的前后順序,但不能重復(fù).(3)一般地,列舉法適用于有限集:①元素個(gè)數(shù)有限且比較少時(shí),可以全部列舉出來,如{1,2,3};②元素個(gè)數(shù)有限且比較多時(shí),可以列舉一部分,中間用省略號(hào)表示,稱為中間省略列舉,如從1到1

000的所有正整數(shù)組成的集合,可以表示為{1,2,3,…,1

000}.(4)對于含有較多元素的無限集,如果元素的排列呈現(xiàn)一定的規(guī)律,在不發(fā)生誤解的情況下,也可列出幾個(gè)元素作為代表,其他元素用省略號(hào)表示.如自然數(shù)集N可以表示為{0,1,2,3,…},稱為尾端省略列舉.(5)這里集合的“{

}”已包含“所有”的意思.例如{整數(shù)},即整數(shù)集Z,所以不能寫成{全體整數(shù)}.過關(guān)自診1.[2024甘肅會(huì)寧第一中學(xué)校考期中]已知集合M={(x,y)|2x+y=2且x-y=1},則M=(

)A.{1,0} B.{(1,0)}C.(1,0) D.{1}B2.用列舉法表示下列集合:(1)方程x2-9=0的解構(gòu)成的集合;(2)不大于100的自然數(shù)構(gòu)成的集合.解

(1){-3,3}.(2){0,1,2,3,…,100}.知識(shí)點(diǎn)二描述法把集合中元素

,也只有該集合中元素才有的屬性描述出來,以確定這個(gè)集合.這種表示法叫作描述法.

名師點(diǎn)睛使用描述法表示集合時(shí)要注意:(1)寫清該集合中元素的代表符號(hào),如{x|x>1}不能寫成{x>1}.(2)用簡明、準(zhǔn)確的語言進(jìn)行描述,如方程、不等式、幾何圖形等.(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被說明,故此集合中的元素是不確定的.共有的(4)元素的取值(或變化)范圍,從上下文的關(guān)系來看,若x∈R是明確的,則x∈R可省略不寫,如集合D={x∈R|x<20}也可表示為D={x|x<20}.(5)多層描述時(shí),應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示元素之間關(guān)系的詞語,如{x|x<-1或x>1}.(6)“{

}”有“所有”“全體”的含義,如所有實(shí)數(shù)組成的集合可以用描述法表示為{x|x是實(shí)數(shù)},但如果寫成{x|x是所有實(shí)數(shù)}、{x|x是全體實(shí)數(shù)}、{x|x是實(shí)數(shù)集}都是錯(cuò)誤的,因?yàn)椤皗

}”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全體”的意思.此處是初學(xué)者容易犯的錯(cuò)誤,要注意領(lǐng)會(huì).過關(guān)自診1.不等式5x<2023在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集可表示為

.

2.用列舉法與描述法表示集合的區(qū)別是什么?提示

表示方法列舉法描述法一般形式{a1,a2,a3,…,an}{x∈I|p(x)}適用范圍有限集或規(guī)律性較強(qiáng)的無限集有限集、無限集均可特點(diǎn)直觀、明了抽象、概括知識(shí)點(diǎn)三區(qū)間的概念設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),a<b.定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間

開區(qū)間(a,b)

{x|a≤x<b}左閉右開區(qū)間[a,b)

{x|a<x≤b}

(a,b]

{x|x≥a}—

{x|x>a}—(a,+∞)

—(-∞,a]

{x|x<a}—(-∞,a)

[a,b]{x|a<x<b}左開右閉區(qū)間[a,+∞){x|x≤a}名師點(diǎn)睛1.區(qū)間的左端點(diǎn)的值小于右端點(diǎn)的值.2.區(qū)間符號(hào)中的兩個(gè)端點(diǎn)(字母或數(shù)字)之間只能用“,”隔開.3.幾何表示時(shí),用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn),用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).過關(guān)自診1.(1)如圖,如何把滿足數(shù)軸上的數(shù)的集合表示出來?(2)能否用更為簡潔的符號(hào)表示A={x|-3<x≤2}?(3)區(qū)間與數(shù)集有何關(guān)系?提示

(1)A={x|-3<x≤2}(2)可以用區(qū)間表示為(-3,2].(3)①聯(lián)系:區(qū)間實(shí)際上是一類特殊的數(shù)集(連續(xù)的)的符號(hào)表示,是集合的另一種表達(dá)形式;②區(qū)別:不連續(xù)的數(shù)集不能用區(qū)間表示,如整數(shù)集、自然數(shù)集等.2.將下列集合用區(qū)間及數(shù)軸表示出來:(1){x|x<2};(2){x|x≥3};(3){x|-1≤x<5}.解

(1){x|x<2}用區(qū)間表示為(-∞,2),用數(shù)軸表示如下:(2){x|x≥3}用區(qū)間表示為[3,+∞),用數(shù)軸表示如下:(3){x|-1≤x<5}用區(qū)間表示為[-1,5),用數(shù)軸表示如下:重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一用列舉法表示集合【例1】

用列舉法表示下列集合:(1)36與60的公約數(shù)構(gòu)成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根構(gòu)成的集合;解

36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示為{1,2,3,4,6,12}.解

方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示為{2,4}.規(guī)律方法

列舉法應(yīng)用的解題策略(1)一般地,當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)較少時(shí),可采用列舉法;當(dāng)集合中元素較多或無限,且有一定規(guī)律時(shí),也可用列舉法表示,但必須把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)清楚,才能用省略號(hào).(2)要弄清楚集合中的元素是什么,是數(shù)還是點(diǎn),還是其他的元素,從而用相應(yīng)的形式寫出元素表示集合.變式訓(xùn)練1試用列舉法表示下列集合:(1)滿足-3≤x≤0,且x∈Z;(2)倒數(shù)等于其本身數(shù)的集合;解

∵-3≤x≤0,且x∈Z,∴x=-3,-2,-1,0.故滿足條件的集合為{-3,-2,-1,0}.(3)滿足x+y=3,且x∈N,y∈N的有序數(shù)對;(4)方程x2-4x+4=0的解.

解

∵x+y=3,且x∈N,y∈N,∴當(dāng)x=0時(shí),y=3;當(dāng)x=1時(shí),y=2;當(dāng)x=2時(shí),y=1;當(dāng)x=3時(shí),y=0.∴滿足條件的集合為{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.解

∵方程x2-4x+4=0的解為x=2,∴滿足條件的集合為{2}.探究點(diǎn)二用描述法表示集合【例2】

用描述法表示以下集合:(1)所有不小于2,且不大于20的實(shí)數(shù)組成的集合;解

集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}.

(3)200以內(nèi)的正奇數(shù)組成的集合;(4)方程x2-5x-6=0的解組成的集合.解

{x|x=2k+1,x<200,k∈N}.解

{x|x2-5x-6=0}.規(guī)律方法

用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意的問題(1)寫清楚該集合中的代表元素,即弄清代表元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他形式;(2)準(zhǔn)確說明集合中元素所滿足的特征;(3)所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號(hào)內(nèi),并且不能出現(xiàn)未被說明的符號(hào);(4)用于描述的語句力求簡明、準(zhǔn)確,多層描述時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語句之間的關(guān)系.變式訓(xùn)練2給出下列說法:①在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi),第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為{(x,y)|xy>0};②所有奇數(shù)組成的集合為{x|x=2n+1};③集合{(x,y)|y=1-x}與{x|y=1-x}是同一集合.其中正確的有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.0個(gè)A探究點(diǎn)三含參數(shù)問題【例3】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一個(gè)元素,試求實(shí)數(shù)k的值,并用列舉法表示集合A.解

當(dāng)k=0時(shí),原方程變?yōu)?8x+16=0,x=2.此時(shí)集合A={2},滿足題意.當(dāng)k≠0時(shí),要使關(guān)于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有兩個(gè)相等實(shí)根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此時(shí)方程的解為x1=x2=4,集合A={4},滿足題意.綜上所述,實(shí)數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k=0時(shí),A={2};當(dāng)k=1時(shí),A={4}.變式探究(1)本例中,若集合A中含有2個(gè)元素,試求k的取值集合.(2)本例中,若集合A中至多有一個(gè)元素,試求k的取值集合.解得k<1,且k≠0,即{k|k<1,且k≠0}.(2)當(dāng)集合A中含有1個(gè)元素時(shí),由例3知,k=0或k=1;當(dāng)集合A中沒有元素時(shí),方程kx2-8x+16=0無解,規(guī)律方法

1.解答與描述法有關(guān)的問題時(shí),明確集合中代表元素及其共同特征是解題的切入點(diǎn)及關(guān)鍵點(diǎn).2.本題因kx2-8x+16=0是否為一元二次方程,而分為k=0和k≠0兩種情況進(jìn)行討論,從而做到不重不漏.3.解集合與含有參數(shù)的方程的綜合問題時(shí),一般要求對方程中最高次項(xiàng)的系數(shù)的取值進(jìn)行分類討論,確定方程的根的情況,進(jìn)而求得結(jié)果.需特別關(guān)注判別式在一元二次方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的討論中的作用.探究點(diǎn)四區(qū)間概念的理解及應(yīng)用【例4】

(1)若集合M是一個(gè)數(shù)集,且可應(yīng)用區(qū)間(a,3a-1)表示,則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為

.

(3)若區(qū)間(5,a)的長度是12,則實(shí)數(shù)a的值是

.

解析

由區(qū)間長度的定義可知a-5=12,即a=17.

17變式訓(xùn)練3(1)若區(qū)間[2,a]的長度不超過5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為

.(2,7]解析

由題意可知a-2≤5,且a>2,所以2<a≤7,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,7].學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練123456789101.由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是(

)A.{x|-3<x<11,x∈Q}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N+}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}D123456789102.集合{x∈N|x-2<2}用列舉法表示是(

)A.{1,2,3} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4} D.{0,1,2,3}D解析

{x∈N|x-2<2}={x∈N|x<4}={0,1,2,3}.

123456789103.若用列舉法表示集合A={(x,y)|2y-x=7且x+y=2},則下列表示正確的是(

)A.{x=-1,y=3} B.{(-1,3)}C.{3,-1} D.{-1,3}B所以A={(x,y)|2y-x=7且x+y=2}={(-1,3)}.故選B.

123456789104.設(shè)集合A={x|x2-3x+a=0,a∈R},若4∈A,則a=

,集合A用列舉法表示為

.

-4{-1,4}解析

∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.123456789105.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝袑ο髽?gòu)成的集合:(1)絕對值不大于2的所有整數(shù);(2)直線y=x+1與直線x+y=1的交點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成的集合;(3)函數(shù)y=圖象上的所有點(diǎn).12345678910解

(1)由于|x|≤2,且x∈Z,所以x的值為-2,-1,0,1,2.所以絕對值不大于2的所有整數(shù)構(gòu)成的集合,用列舉法可表示為{-2,-1,0,1,2},用描述法可表示為{x||x|≤2,x∈Z}.12345678910B級(jí)關(guān)鍵能力提升練6.(多選題)已知x,y為非零實(shí)數(shù),則集合M={m∣m=}中的元素可以為(

)A.0 B.-1 C.1 D.3BD解析

當(dāng)x>0,y>0時(shí),m=3;當(dāng)x<0,y<0時(shí),m=-1;當(dāng)x>0,y<0時(shí),m=-1;當(dāng)x<0,y>0時(shí),m=-1.故M中元素可以為-1,3.12345678910A.{(x,y)|x+y=3且x-y=1} B.{(x,y)|x=2且y=1}C.(2,1)