電路原理習(xí)題答案第八章 相量法

第八章相量法

求解電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在數(shù)學(xué)上是求非齊次微分方程的特解。引用相

量法使求解微分方程特解的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)運(yùn)算，從兒大大簡化了正弦

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。

所謂相量法，就是電壓、電流用相量表示，RLC元件用阻抗或?qū)Ъ{表示，畫

出電路的相量模型，利用KCLKVL和歐姆定律的相量形式列寫出未知電壓、電流

相量的代數(shù)方程加以求解，因此，應(yīng)用相量法應(yīng)熟練掌握：(1)正弦信號(hào)的相量

表示；(2)KCL,KVL的相量表示；(3)RLC元件伏安關(guān)系式的相量形式；(4)復(fù)

數(shù)的運(yùn)算。這就是用相量分析電路的理論根據(jù)。

8-1將下列復(fù)數(shù)化為極坐標(biāo)形式：

⑴二=-5-凡⑵彳=-4+凡⑶彳=20+川；

(4)￡=⑸￡=-3；(6)今=2.78+慮20。

解：(1)=-5-^=azo

a=J(-5)2+(-5)2=55/2

_5

o=arctan_=-135。

M(因耳在第三象限)

故T的極坐標(biāo)形式為。=5辰-135。

(2)F=—4+j3=J(-4)2+32Narctan(3/-4)=5N143.13,(F在第一

象限)

(3)F=20+/40=7202+402Zarctan(4020)=44.72/63.43。

(4)F，=10j=10/90。

(5)《=-3=3/180,

(6)F=2.78+79.20=72.782+9.202Zarctan(9.2y2.78)=9.61Z73.19

注：一個(gè)復(fù)數(shù)可以用代數(shù)型表示，也可以用極坐標(biāo)型或指數(shù)型表示，即

尸=氣+凡=a/o=a叫它們相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系為：

_______0=arctan2

a=J32+aia

*121

和a=acosOa=asino

需要指出的，在轉(zhuǎn)換過程中要注意F在復(fù)平面上所在的象限，它關(guān)系到。的取值

及實(shí)部a1和虛部a2的正負(fù)。

8-2將下列復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式：

（1）F=10Z—730.（2）F=15/112.6。.（3）5=1.2/152。.

1*2‘3

（4）F=10/—90。.（5）F=5Z—180°.（6）F—10Z-135°o

解（1）F=10Z-73。=10xcos（-73。）+jlOxsin（-73。）=2.92-j9.56

（2）F=15/1126=15cosll26+15sinll2.6。=-5.76+/13.85

（3）F=1.2/152。=1.2cosl52。+1.2sin152。=-1.06+fi.56

（4）F=10/—90。=—jlO

=5/—180。

⑹1=10cos（-135。）+10sin（-135。）=-7.07-/7.07

=10/—135。

8-3若10°NO。+AN60。=175Z(P。求人和<P。

解：原式=100+4cos60+/asin60。="5cos（p+〃75sincp根據(jù)復(fù)數(shù)相等的

定義，應(yīng)有實(shí)部和實(shí)部相等，即

Acos60、+100=175cos（p

虛部和虛部相等>4sin60=175sin<p

把以上兩式相加，得等式

/42+100/4-20625=0

A=-100±71002+4x20625_102.07

解得2-202.069

..102.07x史

.Asm602lcl

sin<p=----------=----------------=0.505

所以175175

<P=30.34。

2*F6^JF/F6O

8-4求8—1題中的F

解：FxF6=(-4+J3)x(2.78+J9.20)=5Z143.13?x9.61N73.19。

=48.05Z216.32=48.05Z-143.68。

-4+；35/143.13。

=0.52Z69.94

2.78+J9.209.61/73.19。

8-5求8—2題中的云+尸5和々外。

融F+F=10/—73。+5Z-180

解：15

二10COS(-73。)+；10sin(-73-)-5

=-2.08-J9.56=9.78Z-102.27。

10/—73。

/F—________=2Z—73c+180：=2Z107°

1’55/-180。

8—6若已知。i=-5cos（314/+60）A,z=10sin（314r+60）A,

i=4cos（314/+60

3

（1）寫出上述電流的相量，并繪出它們的相量圖；

（2）與”2和4與’3的相位差；

（3）繪出"；的波形圖；

（4）若將《表達(dá)式中的負(fù)號(hào)去掉將意味著什么？

（5）求,；的周期T和頻率上

解：（1）/=-5cos（314/+60）=5cos（314r+60j-180）=5cos（314z-120J

i=10sin(314r+60?)=10cos(314r-30)

故。和’3的相量表達(dá)式為

5104

I=_Z-120A,/=_Z-30A,Z=—N6OA

1624i3質(zhì)

題解8—6圖

（2）<P=<P-<P=-120-（-30）=-90

（p=<p-（p=-120。-60。=780。

1313

（3）\（t）的波形圖見題解圖（b）所示。

（4）若將'（t）中的負(fù)號(hào)去掉，意味著’的初相位超前了180。。即7的

111

參考方向反向。

（5）[（t）的周期和頻率分別為

72KOjr

/===0.02s=20儂

3314

1co1

f=~=—==5QHz

T2兀0.02

注：定義兩個(gè)同頻率的正弦信號(hào)的相位差等于它們的初相之差，因此在

比較相位差時(shí)，兩個(gè)正弦量必須滿足（1）同頻率；（2）同函數(shù)，即都是正

弦或都是余弦；（3）同符合，即都為正號(hào)或都為負(fù)號(hào)，才能進(jìn)行比較。

8-7若已知兩個(gè)同頻正弦電壓的相量分別為

匕=50/30。匕。2=-100/-150V,其頻率f=100Hz。求：

(1)寫出々,〃2的時(shí)域形式；(2)匕與“2的相位差。

⑴?(/)=5072cos(2ny?+30)=5072cos(628/+30)V

u⑺=-100V2COS(2TC^-150)=100j2cos(628f-150=180)V

2

=100^cos(628/+30)V

(2)因?yàn)閁〔二50/30。V,(72=-100Z-150?V=100/30。V

故相位差為①=30-30。=0。，即％與外同相位。

8—8已知：(0=220-72cos(314r-120)V

u(/)=220V2cos(314/+30)V

2

(l)畫出它們的波形圖，求出它們的有效值、頻率/和周期T；

(2)寫出它們的相量和畫出其相量圖，求出它們的相位差；

(3)如果把電壓〃2的參考方向反向，重新回答(D，(2)o

解：(1)波形如題解8—8圖(a)所示。

題解8-8圖

uu22Wu

有效值為y=2=2

314

f=f===5QHz

頻率122兀2兀

T=T=1_=_L=0.02.S

周期12/50

（2）々和以的相量形式為

U=220/-120。VU=220/30V

12

故相位差為中=Q一、=-120-30。=-150

相量圖見題解圖（b）所示。

（3）〃2的參考方向反向，冤（t）變?yōu)橐?2（t）,有效值、頻率和周期均

（t）的相量為.=220Z30-180=200Z-150V

不變,—u2

故&和〃2的相位差為9=9-92=-120-（-150）=30

波形圖和向量圖見題解圖（a）和（b）0

8-9已知一段電路的電壓、電流為:

w=10sin(103r-20)V

Z=2COS(103/-50=)A

（1）畫出它們的波形圖和向量圖；（2）求出它們的相量差。

解⑴〃=10前（103-20。）=108s故u和i的相量分別為

題解8-9圖

（2）相位差<P=<Pu-9=-110-（-50J=-60^說明電壓落后于電流60。。

8-10已知圖示三個(gè)電壓源的電壓分別為:

u=220j2cos(wr+10)Vu=220j2cos((or-110-)V

arb，

u=22Qj2cos(o)r+1300V

c，

求：(1)3個(gè)電壓的和；(2)“一，.；(3)畫出它們的相量圖。

題解8-10圖

解：，，。的相量為

U=220N10。V

a

U=220Z-110^

b

U=220/130。V

c

(1)應(yīng)用相量法有

U+U+U=220/10。+220/-110。+220/130,

abc

=0

即三個(gè)電壓的和〃#)+〃？)+〃w=o

If=u-U=220/10。-220N-110。

(2)u心?b

=220-j3Z40V

U=U-U=220/-110。-220/1300

behc

=220j3Z-80V

（3）相量圖如題解8-10圖所示。

題解8-10圖

8-11已知圖(a)中電壓表讀數(shù)為匕：30乙1：6°匕圖(b)中的匕：15%

V:80匕V:100Vo(電壓表的讀數(shù)為正弦電壓的有效值。)求圖中電壓4。

Q)0>)

題8-11圖

解法一：

(a)圖：設(shè)回路中電流/=/NO。，根據(jù)元件的電壓、電流相量關(guān)系，可得

題8-11圖

U=Rl'=RIZQ=30Z0V

R

U=jX/=X//90。=60/90"

LLL

則總電壓丸=乙+乙=30+；60V

U

所以匕的有效值為s々302+602=67.08V

(b)圖：設(shè)回路中電流相量/=，/0。4,因?yàn)?/p>

U=6=R/NO=15NO”

R

V=jXi=X/Z90=80Z90V

兀懺和重天東日雙但天樂不日似天樂和重囹

電阻RU=RIU=RI0=0

RRRRui

U=-jXi=XZZ-90=100Z-90V

ccc

所以總電壓U5=UR+UL+UC=15+；80-100J=15-J20V

U=1132+202=25-

故，的有效值為s

解法二：利用相量圖求解。設(shè)電流/=/NO。為參考相量，電阻電壓與

/同相位，電感電壓小.超前/90、電容電壓小要滯后/90,總電壓山與各元

件電壓向量構(gòu)成一直角三角形。題解8T1圖(a)和(b)為對(duì)應(yīng)原圖(a)和(b)

的相量圖v由題解圖(a)可得V^----------7---------

U=U2+U2=302+602=67.08V

SRL

由題解圖(b)可得

JJ

U=U2+(U-U)2=152+(100-80)2=258V

題解8-11圖

注：這一題的求解說明，R,L,C元件上電壓與電流之間的相量關(guān)系、有效

值和相位關(guān)系(如下表所示)是我

們分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基礎(chǔ)，必須很好地理解和掌握。

t

電感LU=jXIU=jxi0=0+90。\Ur

LLLLL“i

----------------?

----------------?

電容Cu=-jxiU=XI0=0-90。

q

ccccccui［必

8-12已知圖示正弦電流電路中，電流表的讀數(shù)分別為:20A；

43：254。求（1）圖中電流表A的讀數(shù)；（2）如果維持％的讀數(shù)不變，而把電

題8-12圖

解法一：

(1)R,L,C并聯(lián)，設(shè)元件的電壓為

u=U=U=U=UNO。

RLC

根據(jù)元件電壓、電流的相豺皂可得

I=U=U_5Z0A

RRR—

j=U=UN—90CA=-J20A

：Tj

/=0r=Z90=25Z90=；25A

0-A

cr

應(yīng)用KLC的相量形式，總電流相量為7

/=/停+/j20+./25=5+J5=52Z45M

RLC

故總電流表的讀數(shù)=/=52=7.07A

(2)設(shè)九=%=，二°=UR-----

當(dāng)電流的頻率提高一倍后，由于"RR不變，所以^"=^不

X-_L

變，而。=2m上增大.倍，c23c減小一倍，因此，有

I=U二UJ如

L巴J2oL2

'===2x25Z90=50Z90A

cTx一_L

,2(0c

/+I+1=5-J10+j'50=5+j40

所以1RLC

即，電流表的讀數(shù)

=U

解法二：利用相量圖求解。設(shè)U=UNO。=U=U為參考向量，根

RLC

據(jù)元件電壓、電流的相位關(guān)系知，心和同相位,/）超前9@，/：滯后仃90。,

相量圖如題解8—12圖所示，總電流/與二，乙和。組成一個(gè)直角三角形。故

電流表的讀數(shù)為⑥J

12+(/-I)2A

砂VRCL

即⑴④二,2+(23-20)2=7.07A

52+(25—10)2=40.314

注：從8—11題的解法二，可以體會(huì)到應(yīng)用向量圖分析電路的要點(diǎn)，那就是

首先要選好一個(gè)參考相量，這個(gè)參考相量的選擇，必須能方便地將電路中其它電

壓、電流相量，根據(jù)電路的具體結(jié)構(gòu)及參數(shù)特點(diǎn)逐一畫出，把所給的條件轉(zhuǎn)化成相

量圖中的幾何關(guān)系。最后根據(jù)相量圖中的相量關(guān)系，使問題得到解決。一般對(duì)串聯(lián)

電路，選電流作參考方向較方便，如8—11題。對(duì)并聯(lián)電路，則選電壓作參考相量

較方便，如8-12題。有些問題通過相量圖分析將很直觀和簡便。

8-13對(duì)RL串聯(lián)電路作如下兩次測(cè)量：（1）端口加90V直流電壓（s=。）時(shí)，

輸入電流為3A；（2）端口加f=50〃z的正弦電壓90V時(shí)，輸入電流為1.8A。求

R和L的值。

題解8—13圖

解：由題意畫電路如題解8—13圖所示。

(1)當(dāng)'1為90V直流月壓時(shí)，電感L看作短路，則電阻

也30。

R=-

3

（2）當(dāng)〃，為90V交流電壓時(shí)，設(shè)電流/=/N0、=1.8N0°A,根據(jù)相量法,

有

U=R1+jXI=30x1.8+jXx1,8

U=90=1.8x^302+X2

X=J(一)2-30240Q

LV1.8=

XX40…

Lr=L=L==0.1：

根據(jù)乙=泣，解得CD2nf10071

8-14某一元件的電壓、電流（關(guān)聯(lián)方向）分別為下述4種情況時(shí)，它可能是

什么元件?

/M=10COS(10/+45^)V|w=10sin(100r)V

⑴[z=2sin(10r+135^)A(2)[z=2cos(100r)A

|w=-10cosrV(〃=10cos(314/+45)V

(3)Ii=-sintA⑷[Z=2cos(314/)/A

解⑴把電流變?yōu)橛嘞倚问接衖=2c°s(1°,+135°-90°)=28s(18+45°)。,

”和，的相量為

U='45"/=A

V2,W

U

y=5Z0Q

則

即電壓、電流同相位，根據(jù)元件電壓、電流相位關(guān)系可知這是一個(gè)5。的電阻元

件。

(1)把電壓變?yōu)橛嘞倚问接?=cos(100r-；90)V

1匕452

u=7=—Z0M

(2)〃和i的相量為V2鬼

U5

=5/45。=詆(1+j)=R+jX

則

X==_LQ

即這是一個(gè)噩的電阻和L點(diǎn)的電感的串聯(lián)組合。

8-15電路由電壓源",=100c。s(1O3^)V及R和L=oo25H串聯(lián)組成。電感端電

壓的有效值為25VO求R值和電流的表達(dá)式。

解：由題意畫電路的相量模型如題解8-15圖(a)所示，相量圖如題解圖

(b)所示。由于

U二吧/0。

,企

X=(□￡=103x0.025=25Q