工程數(shù)學(xué) 積分變換 第四版 課后習(xí)題答案

工程數(shù)學(xué)積分變換（第四版張元林編）

課后習(xí)題答案編輯者：余小龍

第一章：Fourier變換

習(xí)題一解答

1、證：利用Fourier積分變換的復(fù)數(shù)形式，有

枚)=聽，%]/力

2"8氏J

J廣”1產(chǎn)00.

=——/(r)(cos6>r-/sintyr)JreJtdo)

2J-”7tJ,

1[a(co)-JZ?(6y)](coscot+jsincot)d(o

2

由于

a(c6)-a(-co)9b(a))=-b(-co),

所以

1f-KO1f-WO

/(/)=—ja(a))coscotdco+—jb(co)sincotdco

=Ia(3)coscotdco+「b(co)sincotdco。

注：本題也可以由Fourier積分公式的三角形式得到證明。

/岑:它是一個連續(xù)的偶

2、解：（1）此題亦可寫成/?）=）

函數(shù)，利用Euler公式和分部積分法，由Fourier積分公式的復(fù)

數(shù)形式，有

f(r)e~ioirdrejatdco=—-T2)COScozdve，"dco

sinCOT2rcosd)r2sinCOTr2sinCOT

kF*dco

4J-xco

0

I產(chǎn)2(sinco-cocosco)

=口dco

2產(chǎn)sin。一口8S69」..、，

=--------------(coscot+jsin(ot)aco

冗J-xCD

4sinco—o?coso),

=--------：-----coscotdco

乃J°a)3

(2)函數(shù)/⑺為一連續(xù)函數(shù)，用類似于(1)的方法，有

,")=?匚Tsin2^T0「dTejaMdco

sin2^_(1+>)rJrej(Mdco

1「工-o+?r，3)sin26一2cos2r}

eQ+iM

2%L{-(1+yty)|2+4edco

2

eiMda)

5-a)2+2jco

1f+o0(5—co")—j2s...、，

=—1-------------1~~；------1(cosdX+jsincot)dct)

)人力[(5-ey2)+j2<y|(5-<y2)-j2a)\

1「8(5一療)cosm+2口sin欣+j(5-co2)sincot-jlcocoscoi

da)

7CJ"(5一療＞+4療

2嚴(yán)(5—")cos創(chuàng)+23sina,

-----------—；----7-----dco

1J-*25-6<y3+co4

⑶可以看出了⑺為奇函數(shù)，且?1,0』為其間斷點。因此，在了⑺的連

續(xù)點處，有

f(r)e~itardre」"dco

/(r)sin<yzr/rei<adco=^-^^^

二「sincodco

N4JT-s[J。VJT

-j產(chǎn)1-COS@/..、，1產(chǎn)l-cos。.

=——-------(cos?+jsinot)d(o=--------sincotdcfo

reJ-，co乃co

2r+^l-costy..

=--------sincotdco

萬J。CD

而在/⑺的間斷點/。=-1,0,1處，左邊的f(t)應(yīng)以g(//+0)+/(r0-0))代

替。

注：以上三小題，都可利用Fourier積分公式的三角形式而求得結(jié)果。

3、解：(1)/⑺為一連續(xù)偶函數(shù)，由Fourier積分公式的三角形式,

有

/?)=十「[「/⑺8s麗一Qdrdco

弓「［口加(coscotcoscor+sincotsincor)dvdco

2cos叫0e~pTcoscovdrdco

2r8(-^cos67r+twsinCOT)

coscotdco

冗1+蘇

p0

=2r

―7---7cosojtdco

萬Jo02+蘇

由此可得「COS"

P1+C02

(2)/⑺為連續(xù)偶函數(shù)，有Fourier積分公式的三角形式，有

/(r)=—￡^^j^/(r)cosco(t-T)dTdco

?4<C

ir[Eencosr(coscotcosCOT+sin(otsinCOT)drdco

4f[￡(4<CMcosrcoscotcoscordr\clco

工re~^cosrcoscovdrcoscotdco

=-ffe~T-(cosfe?+l)r+cos(69—V)v}dTcoscotdco

萬Jo[Jo2

e~T(-cos(d)+l)r+(0+l)sin3+l)r)e~r(-cos(ty-l)r+(啰一l)sin((y-l)r)

4-coscotdco

1+(。+1+(。-1產(chǎn)

,2r+o°co2+2

——coscotaco=——；---coscotdco

笈J。11+3+1)l+(6y-l)~幾3。a)4+4

由此可得

8+2?7C\兀一團

coscotdco=—=—e11cosr

/+4

(3)/⑺為一連續(xù)的奇函數(shù)，由Fourier積分公式的三角形式，有

/")二/『[匚dC°

=—￡[j/(TXCOScotCOSCOT+sincotsinCOT)drdco

=-l^sinrsin6yzz/rsincjtdco

lrx《「g(cos(ty-l)r-cos(d>+l)r)Jrsincotdco

萬Jo

sin(6w-l)sin(<y+l)

sincotda)

4r69-1o刃+1o

sin(。-l);rsin(o+l)乃

)sin(i)tda)

4r(CD-\ty+1

2產(chǎn)sincon.,

=------sincotaco

%J。1-3-

由此可得

7T.w?肛

r+^sin(07V.,乃人、—sinr,

JoYersin^=-/(/)=2

1/＞乃」

0,

注：以上三小題都可以由Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式獲得結(jié)果。

4、解：根據(jù)Fourier正弦積分公式，并利用分部積分法，有

削=汨I*/(r)sintyzz/rsincotdco

■KO

e-//rsincoTdisincadco

48

2產(chǎn)?一"(PsinCOT-COCOSCOT)

sincotdco

份+心

2產(chǎn)3,,

――T---------------sincotdco.

萬J。,2+蘇

根據(jù)Fourier余弦積分公式，同理可得

1廣[)/(r)cos&Mrcoscotdco

萬JO

21??foe

口e~pTcos(Didicos(otdeo

2產(chǎn)e-"(3sinG「一￡cos0r),

=----------------Y--------COSCOtdCD

萬|_￡2+020

2產(chǎn)〃,

=——r2-~-coscotdco.

萬J。J32+CD2

習(xí)題二解答

1、解：根據(jù)Fourier變換的定義，有

F(M=.冗/(，)]

=J：f⑺"向力="加大=-^-(1-df.

2、證：因為/⑺與F（⑷是一個Fourier變換對，即

尸3）=口⑺產(chǎn)dr,

/”）=與「F（M，力。

2萬J

如果F（o）為奇函數(shù),即尸（一0）=-尸（⑼，則

=—P-F[-co)ei{-m}tdco

2乃J-3

(令-69=〃)=—「＞(〃)""點

21J+8

（換積分變量u為①）=-尸（⑼e”3

=一，?）。

所以/⑺亦為奇函數(shù)。

如果/⑺為奇函數(shù)，即/（-）=—/（，），則

F{-co)=匚/⑺"八一⑼"

二匚一/(一。/以一')4

(令—=〃)=rf(u)e-iM：du

J+00

（換積分變量〃為f）=-匚/⑺*陶力

=—F(co')

所以F（⑼亦為奇函數(shù)。

同理可證/⑺與尸（⑼同為偶函數(shù)。

3、解：（1）由Fourier變換的定義，有

-H0

e+oo,+ooe+8/y。-(b+jW

F(co)=J.f(t)e/山=￡ae^e^dt=e^^dt=；八@

0

aa(fi-jco)

p+jCOp1+C01

由Fourier積分公式，并利用奇偶函數(shù)的積分性質(zhì),在/⑺的連續(xù)點處,

有

e^dco

9匚"2

0)