蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典專題3.1勾股定理特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題3.1勾股定理【名師點(diǎn)睛】勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2變形有：a=c2?b（4）由于a2+b2=c2【典例剖析】【考點(diǎn)1】勾股定理的有關(guān)計(jì)算【例1】（2021秋?蘇州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于點(diǎn)D．求：（1）CD的長(zhǎng)；（2）BD的長(zhǎng)．【變式1】（2021秋?盱眙縣期中）如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥CD；（2）若AB＝50，CD＝48，求MN的長(zhǎng)．【考點(diǎn)2】勾股定理的證明【例2】（2020秋?姜堰區(qū)期中）圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若圖①中大正方形的面積為61，小正方形的面積為1，求（m+n）2；（2）若將圖①中的四個(gè)直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖中實(shí)線部分）．【變式2】（2020秋?宿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE、DE，DE的延長(zhǎng)線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．【考點(diǎn)3】勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例3】（2021秋?溧陽市期中）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門的意思）一尺，不合二，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），求門檻AB的長(zhǎng)．【變式3】（2021秋?靖江市期中）筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測(cè)得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長(zhǎng)．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?東臺(tái)市期末）如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長(zhǎng)為8，則BE的長(zhǎng)為（）A．17 B．10 C．6 D．72．（2021秋?泗陽縣期末）如圖是一正方體的平面展開圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．63．（2021秋?宜興市期末）在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長(zhǎng)是13，一條直角邊的長(zhǎng)為5，那么這個(gè)直角三角形的面積是（）A．30 B．40 C．50 D．604．（2021秋?海門市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的面積為（）A．66 B．126 C．54或44 D．126或665．（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）A．5 B．6 C．12 D．136．（2021秋?如皋市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝13，則正方形ADEC與正方形BCFG的面積之和為（）A．25 B．144 C．150 D．1697．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則AB＝（）A．12 B．13 C．14 D．158．（2021秋?江寧區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙＝S丙+S丁 D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁9．（2022春?海安市月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，則S2＝（）A．6 B．2 C．11 D．2410．（2021春?安徽期中）如圖，“趙爽弦圖”是用四個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形無縫隙地鋪成一個(gè)大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項(xiàng)中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24二．填空題（共8小題）11．（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個(gè)銳角度數(shù)之比為1：5，則較小的銳角度數(shù)為．12．（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是．13．（2021秋?大豐區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6cm，BC＝8cm，則CD的長(zhǎng)為cm．14．（2021秋?錫山區(qū)期末）在Rt△ABC中，斜邊BC＝3，則AB2+BC2+AC2的值為．15．（2022春?平輿縣期末）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格格點(diǎn)的位置上，則△ABC的中線BD的長(zhǎng)為．16．（2021春?武漢期中）一豎直的木桿在離地面4米處折斷，木桿頂端落在地面離木桿底端3米處，木桿折斷之前的高度為米．17．（2021春?天津期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，BC，AB為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，若S3＝9π，則S1+S2等于．18．（2021春?瑤海區(qū)期中）如圖，一系列等腰直角三角形（編號(hào)分別為①、②、③、④、…）組成了一個(gè)螺旋形，其中第1個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)為1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積為．三．解答題（共6小題）19．（2022春?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)C作CF∥AB，AE與CF相交于點(diǎn)D．（1）依題意，補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠ADC與∠ACB互余．20．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足為D．（1）△ABC的面積是．（2）求BC、AD的長(zhǎng)．21．（2018秋?臺(tái)兒莊區(qū)校級(jí)月考）“交通管理?xiàng)l例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀正前方50米處，過了6秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？22．（2021秋?裕華區(qū)期末）如圖，一架2.5m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在墻AC上，梯子的頂端A離地面的高度為2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，則梯子的頂部下滑多少米？23．（2020秋?蘇州期末）三國(guó)時(shí)代東吳數(shù)學(xué)家趙爽（字君卿，約公元3世紀(jì)）在《勾股圓方圖注》一書中用割補(bǔ)的方法構(gòu)造了“弦圖”（如圖1），并給出了勾股定理的證明．已知，圖2中涂色部分是直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的4個(gè)直角三角形，請(qǐng)根據(jù)圖2利用割補(bǔ)的方法驗(yàn)證勾股定理．24．（2020?隨州）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b與c的關(guān)系為，a與d的關(guān)系為．【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題3.1勾股定理【名師點(diǎn)睛】勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2變形有：a=c2?b（4）由于a2+b2=c2【典例剖析】【考點(diǎn)1】勾股定理的有關(guān)計(jì)算【例1】（2021秋?蘇州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于點(diǎn)D．求：（1）CD的長(zhǎng)；（2）BD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理AB＝，代入求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，代入計(jì)算即可求出CD的長(zhǎng)．（2）在Rt△BCD中，直接根據(jù)勾股定理可求出BD的長(zhǎng)．【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，由勾股定理可得，AB＝＝＝25，∴AB的長(zhǎng)是25；∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，∴AC?BC＝AB?CD，∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴20×15＝25CD，∴CD＝12，∴CD的長(zhǎng)是12．（2）∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，由勾股定理可得，BD＝＝＝9，∴BD的長(zhǎng)為9．【變式1】．（2021秋?盱眙縣期中）如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥CD；（2）若AB＝50，CD＝48，求MN的長(zhǎng)．【分析】（1）連接MC，MD，依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可得到MC＝MD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)MN⊥CD，利用勾股定理即可求得Rt△MND中，MN的長(zhǎng)．【解析】（1）如圖所示，連接MC，MD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是AB的中點(diǎn)．∴Rt△ABC中，CM＝AB，Rt△ABD中，DM＝AB，∴MC＝MD，又∵N是CD的中點(diǎn)，∴MN⊥CD．（2）∵AB＝50，∴MD＝×50＝25，∵CD＝48，∴ND＝×48＝24，又∵M(jìn)N⊥CD，∴Rt△MND中，MN＝＝＝7．【考點(diǎn)2】勾股定理的證明【例2】（2020秋?姜堰區(qū)期中）圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若圖①中大正方形的面積為61，小正方形的面積為1，求（m+n）2；（2）若將圖①中的四個(gè)直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖中實(shí)線部分）．【分析】（1）由題意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，推出2mn＝60，可得（m+n）2＝m2+n2+2mn＝121．（2）由（1）可知，求出m，n的值，再利用勾股定理求解即可．【解析】（1）由題意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，∴2mn＝60，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；（2）由（1）可知，∴，∴AC＝5，BC＝6，∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，∴AD＝＝＝13，∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)＝4（13+6）＝76．【變式2】（2020秋?宿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE、DE，DE的延長(zhǎng)線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．【分析】（1）利用“8字型”證明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出結(jié)論．【解析】（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC與Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝?c?DF﹣?c?EF＝?c?（DF﹣EF）＝?c?DE＝c2，∴a2+b2＝c2．【考點(diǎn)3】勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例3】（2021秋?溧陽市期中）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門的意思）一尺，不合二，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），求門檻AB的長(zhǎng)．【分析】取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理解答即可求出OA，進(jìn)而得到AB的長(zhǎng)．【解析】取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，即門檻AB的長(zhǎng)為101寸．【變式3】（2021秋?靖江市期中）筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測(cè)得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）設(shè)AC＝AB＝x千米，則AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解這個(gè)方程，得x＝，答：原來的路線AC的長(zhǎng)為千米．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?東臺(tái)市期末）如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長(zhǎng)為8，則BE的長(zhǎng)為（）A．17 B．10 C．6 D．7【分析】由正方形的性質(zhì)得BC2＝15，∠ABC＝90°，則∠EBC＝90°，再由勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可．【解析】∵正方形ABCD的面積為15，∴BC2＝15，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝7，故選：D．2．（2021秋?泗陽縣期末）如圖是一正方體的平面展開圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】首先求出正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而得出正方體A、B兩點(diǎn)間的距離即可．【解析】∵AB＝6，∴該正方體的棱長(zhǎng)為3＝，∴把正方形組合起來之后會(huì)發(fā)現(xiàn)A、B在同一平面的對(duì)角線上，所以該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為3，故選：B．3．（2021秋?宜興市期末）在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長(zhǎng)是13，一條直角邊的長(zhǎng)為5，那么這個(gè)直角三角形的面積是（）A．30 B．40 C．50 D．60【分析】由勾股定理得，另一條直角邊長(zhǎng)為：，即可計(jì)算面積．【解析】由勾股定理得，另一條直角邊長(zhǎng)為：，∴這個(gè)直角三角形的面積為5×12÷2＝30，故選：A．4．（2021秋?海門市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的面積為（）A．66 B．126 C．54或44 D．126或66【分析】由勾股定理求出BD、CD的長(zhǎng)，再分兩種情況分別計(jì)算即可．【解析】如圖1，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝20，AD＝12，∴BD＝＝＝16，又∵AC＝13，∴CD＝＝＝5，∴BC＝BD+CD＝21，∴△ABC的面積＝×21×12＝126；如圖2，BC＝BD﹣CD＝11，∴△ABC的面積＝×11×12＝66；綜上所述，△ABC的面積為126或66，故選：D．5．（2021秋?高淳區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）A．5 B．6 C．12 D．13【分析】根據(jù)勾股定理求出AB2，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，則AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，∴正方形的面積＝AB2＝13，故選：D．6．（2021秋?如皋市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝13，則正方形ADEC與正方形BCFG的面積之和為（）A．25 B．144 C．150 D．169【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到AC2+BC2＝AB2＝13，然后即可得到正方形ADEC與正方形BCFG的面積之和，本題得以解決．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2＝13，∵正方形ADEC的面積是AC2，正方形BCFG的面積是BC2，∴正方形ADEC與正方形BCFG的面積之和為：AC2+BC2，∴正方形ADEC與正方形BCFG的面積之和是169，故選：D．7．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則AB＝（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根據(jù)勾股定理直接求即可．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝．故選：B．8．（2021秋?江寧區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙＝S丙+S丁 D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理可得甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，依此即可求解．【解析】連接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，故選：C．9．（2022春?海安市月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，則S2＝（）A．6 B．2 C．11 D．24【分析】根據(jù)題意，可以得到BC2＝5，AB2＝16，然后根據(jù)勾股定理即可得到AC2的值，從而可以求得S2的值．【解析】∵以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，∴BC2＝5，AB2＝16，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，∴AC2＝16﹣5＝11，即S2＝11，故選：C．10．（2021春?安徽期中）如圖，“趙爽弦圖”是用四個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形無縫隙地鋪成一個(gè)大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項(xiàng)中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】根據(jù)題意可得：x2+y2＝25，故B錯(cuò)誤，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D錯(cuò)誤，∴（x﹣y）2＝1，故A錯(cuò)誤，∴x2﹣y2＝7，故C正確；故選：C．二．填空題（共8小題）11．（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個(gè)銳角度數(shù)之比為1：5，則較小的銳角度數(shù)為15°．【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列出方程，解方程得到答案．【解析】設(shè)較小的一個(gè)銳角為x，則另一個(gè)銳角為5x，則x+5x＝90°，解得：x＝15°，則較小的一個(gè)銳角為15°，故答案為：15°．12．（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是5．【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分線的性質(zhì)得CD＝DE，再利用面積法求出CD的長(zhǎng)，從而解決問題．【解析】作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝，∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝+＝，∴6CD+10CD＝48，∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，故答案為：5．13．（2021秋?大豐區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6cm，BC＝8cm，則CD的長(zhǎng)為5cm．【分析】首先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得，AB＝（cm），∵點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝5cm，故答案為：5．14．（2021秋?錫山區(qū)期末）在Rt△ABC中，斜邊BC＝3，則AB2+BC2+AC2的值為18．【分析】由直角三角形結(jié)合勾股定理得到AB2+AC2的值，即可得出結(jié)果．【解析】∵Rt△ABC中，斜邊BC＝3，∴AB2+AC2＝BC2＝32＝9，∴AB2+BC2+AC2＝2BC2＝2×9＝18，故答案為：18．15．（2022春?平輿縣期末）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格格點(diǎn)的位置上，則△ABC的中線BD的長(zhǎng)為．【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB，BC，AC的長(zhǎng)度，然后由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，則根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求解即可．【解析】如圖，AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AC2＝42+32＝25．∴AB2+BC2＝AC2．∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°．∵BD是斜邊AC上的中線，∴BD＝AC＝＝．故答案是：．16．（2021春?武漢期中）一豎直的木桿在離地面4米處折斷，木桿頂端落在地面離木桿底端3米處，木桿折斷之前的高度為9米．【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運(yùn)用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度．【解析】∵一豎直的木桿在離地面4米處折斷，頂端落在地面離木桿底端3米處，∴折斷的部分長(zhǎng)為＝5（米），∴折斷前高度為5+4＝9（米）．故答案為：9．17．（2021春?天津期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，BC，AB為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，若S3＝9π，則S1+S2等于9π．【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式，可以得到S1+S2的值，從而可以解答本題．【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×，∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3，∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案為：9π．18．（2021春?瑤海區(qū)期中）如圖，一系列等腰直角三角形（編號(hào)分別為①、②、③、④、…）組成了一個(gè)螺旋形，其中第1個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)為1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積為2n﹣2．【分析】分別求出第1、2、3個(gè)直角三角形的直角邊的長(zhǎng)，找到規(guī)律，從而寫出第n個(gè)直角三角形的直角邊的長(zhǎng)，求出面積即可．【解析】∵第1個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)為1，∴第2個(gè)三角形直角邊長(zhǎng)為，第3個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)為2＝（）2，……第n個(gè)直角三角形直角邊為（）n﹣1，∴S①＝＝2﹣1S②＝＝1＝20，S③＝，……∴第n個(gè)等腰直角三角形的面積為：＝2n﹣2．故答案為：2n﹣2．三．解答題（共6小題）19．（2022春?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)C作CF∥AB，AE與CF相交于點(diǎn)D．（1）依題意，補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠ADC與∠ACB互余．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠B+∠ACB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)、同角的補(bǔ)角相等得到∠ADC＝∠B，證明結(jié)論．【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示；（2）證明：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵AE∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CF∥AB，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠ACB＝90°，即∠ADC與∠ACB互余．20．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足為D．（1）△ABC的面積是150．（2）求BC、AD的長(zhǎng)．【分析】（1）由直角三角形的面積公式直接求解即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式得出BC?AD＝150，然后即可求出AD．【解析】（1）△ABC的面積是：?AB?AC＝＝150．故答案是：150；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝＝25，∵S△ABC＝150＝BC?AD，∴300＝25AD，∴AD＝12．21．（2018秋?臺(tái)兒莊區(qū)校級(jí)月考）“交通管理?xiàng)l例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀正前方50米處，過了6秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間求出小汽車的速度，然后化為千米/小時(shí)的單位即可得解．【解析】由勾股定理得，BC＝＝＝120米，v＝120÷6＝20米/秒，∵20×3.6＝72，∴20米/秒＝72千米/小時(shí)，72＞70，∴這輛小汽車超速了．22．（2021秋?裕華區(qū)期末）如圖，一架2.5m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在墻AC上，梯子的頂端A離地面的高度為2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，則梯子的頂部下滑多少米？【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】由題意得，AB＝DE＝2.5，AC＝2.4，BD＝1.3，∵∠C＝90°，∴BC＝＝＝0.7，∴CD＝BC+BD＝2，∵CE＝＝＝1.5，∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9，答：梯子的頂部下滑0.9米．23．（2020秋?蘇州期末）三國(guó)時(shí)代東吳數(shù)學(xué)家趙爽（字君卿，約公元3世紀(jì)）在《勾股圓方圖注》一書中用割補(bǔ)的方法構(gòu)造了“弦圖”（如圖1），并給出了勾股定理的證明．已知，圖2中涂色部分是直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的4個(gè)直角三角形，請(qǐng)根據(jù)圖2利用割補(bǔ)的方法驗(yàn)證勾股定理．【分析】由面積的和差關(guān)系可求解．【解答】證明：∵，∴c2+ab＝ab+b2+a2+ab，∴c2＝a2+b2．24．（2020?隨州）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《