山西省懷仁市第一中學(xué)校2025屆高三上學(xué)期8月開學(xué)摸底考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024～2025學(xué)年懷仁一中高三年級(jí)摸底考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交。5．本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙共3名航天員開展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)艙安排一個(gè)人，則不同的安排方法一共有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種3．與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程為（）A． B． C． D．4．設(shè)，則，，，的極差是（）A． B． C． D．5．記單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則（）A．70 B．65 C．55 D．506．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圖為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡與圓有且僅有三條公切線，則（）A． B．1 C．2 D．37．已知且，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，為的重心，則的面積的取值范圍為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為方程的兩個(gè)根，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A． B．C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限 D．10．如圖，已知三棱柱，平面，，，分別是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面 B．平面C．直線與直線的夾角為 D．若，則平面與平面的夾角為11．已知函數(shù)，則（）A．在上是增函數(shù)B．的極大值點(diǎn)為，C．有唯一的零點(diǎn)D．的圖象與直線相切的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．樣本數(shù)據(jù)24，8，35，23，7，10，11，30的分位數(shù)為______．13．若實(shí)數(shù)，且，則的最小值為______．14．已知數(shù)列滿足，，對(duì)有為正整數(shù)，使成立的的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知中角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求的周長(zhǎng)的最大值，并求出此時(shí)角，角的大小．16．（本小題滿分15分）某大學(xué)研究機(jī)構(gòu)選擇了網(wǎng)絡(luò)游戲這一項(xiàng)目進(jìn)行研究，來(lái)了解網(wǎng)絡(luò)游戲?qū)Υ髮W(xué)生的影響．該機(jī)構(gòu)共在某高校發(fā)放50份問(wèn)卷調(diào)查，有34名男同學(xué)，16名女同學(xué)參加了這次問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng)，調(diào)查的結(jié)果如下圖：（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為大學(xué)生喜歡玩網(wǎng)游與性別有關(guān)？玩過(guò)網(wǎng)游沒(méi)玩過(guò)網(wǎng)游總計(jì)男生女生總計(jì)（2）視本次問(wèn)卷中的頻率為概率，在該校所有學(xué)生中任意抽查5名學(xué)生，記其中玩過(guò)網(wǎng)游的人數(shù)為，求和．附，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．（本小題滿分15分）如圖，平面，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）證明：平面；（2）求與平而所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，定義域?yàn)椋?）討論的單調(diào)性；（2）求當(dāng)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍．19．（本小題満分17分）如圖，已知雙曲線的兩條漸近線分別為和，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)（在的上方），過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為4的直線與雙曲線交于點(diǎn)在的上方），再過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn)，，證明：（1）共線；（2）為定值，，．2024～2025學(xué)年懷仁一中高三年級(jí)摸底考試?數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．B，，，故選B．2．D由題意可知共有種方式．故選 D．3．C由題意，，，所求橢圓方程．4．A因?yàn)?，得到，所以極差為．故選A．5．B設(shè)，為公差，由于，則，化簡(jiǎn)得，由于數(shù)列單調(diào)遞增，因此，解出，因此，則．故選B．6．D由題意設(shè)，易知，即可得，整理得點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡與圓有且僅有三條公切線，因此兩圓外切，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因此，解出．故選D．7．A若函數(shù)為偶函數(shù)，，因此在定義域上恒成立，則，即，因此是的充分不必要條件。故選A．8．C設(shè)，，，設(shè)，與聯(lián)立得，且，所以，，則，因?yàn)闉榈闹匦模?，求出，則，點(diǎn)到直線的距離，因此．故選C．9．ABD不妨令的兩個(gè)根為，，因此，故A正確；，故B正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限或者第四象限，故C錯(cuò)誤；由于，故D正確．故選ABD．10．ABD因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，則平面，故A正確；因?yàn)槠矫?，所以平面，即，又，且，，平面，則平面，即，又，且，，平面，則平面，故B正確；由于為中點(diǎn)，且，，因此是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，則，故C錯(cuò)誤；連接，由于，，易知平面，則，因此平面與平面的夾角為，由于，因此，則，因此，故D正確．故選ABD．11．BC由題意知，令，則，因此函數(shù)存在減區(qū)間，故A錯(cuò)誤；由上述可知，其極大值點(diǎn)為，故B正確；函數(shù)，由上述可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，其中，，，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此有唯一的零點(diǎn)，故C正確；設(shè)切點(diǎn)為，則，因此切線為，于是，故．故D錯(cuò)誤．故選BC．12．23將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為7，8，10，11，23，24，30，35，其中，所以分位數(shù)為從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，即為23．13．4由可得，因?yàn)?，所以，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4．14．32由于，則，解出，同理，，，，，因此數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，則，解出．15．解：（1）由于，利用正弦定理知，且．因此．因?yàn)闉榈膬?nèi)角，，則．又因?yàn)椋式菫?；?）利用正弦定理．因此的周長(zhǎng)由于，因此當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取最大值．16．解：（1）完成列聯(lián)表如下：玩過(guò)網(wǎng)游沒(méi)玩過(guò)網(wǎng)游總計(jì)男生221234女生8816總計(jì)302050零假設(shè)為：大學(xué)生喜歡網(wǎng)游與性別無(wú)關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立，即認(rèn)為大學(xué)生喜歡玩網(wǎng)游與性別無(wú)關(guān)；（2）視頻率為概率，該校任意一學(xué)生玩過(guò)網(wǎng)游的概率為，由，有，．17．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，由于分別為的中點(diǎn)，因此．且，由題意可知且．因此．即四邊形為平行四邊形．所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，則平面；（2）解：由于平面，且，因此兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，于是，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，有不妨令，則，內(nèi)為，所以與平面所成角的正弦值為．18．解：（1）由題意知．當(dāng)時(shí)．顯然在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)對(duì)稱軸，令，則，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在恒成立．因此在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)．二次函數(shù)對(duì)稱軸．令，則，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，顯然無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即為，因此．設(shè)，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．因此則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又易知在上恒成立，因此，則，故，綜上所述，．19．（1）解：由題意得解得所