江西省撫州市2025屆高三第一次大聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2025屆新高三第一次大聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．某高中為鼓勵(lì)全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽(yáng)光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查7名同學(xué)在某周周日校園跑的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：．則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）A．60，58 B．60，60 C．55，58 D．55，603．已知為實(shí)數(shù)，則（）A． B．2 C．1 D．4．曲線低點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．5．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．6．過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的離心率為（）A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知雙曲線，則（）A．的取值范圍是 B．時(shí)，的漸近線方程為C．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．可以是等軸雙曲線10．下列函數(shù)中，存在數(shù)列使得和都是公差不為0的等差數(shù)列的是（）A． B． C． D．11．已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．是以8為周期的周期函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為__________．13．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．14．已知三個(gè)正整數(shù)的和為8，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，則的期望__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）2024年全國(guó)田徑冠軍賽暨全國(guó)田徑大獎(jiǎng)賽總決賽于6月30日在山東省日照市落幕．四川田徑隊(duì)的吳絕妮以12秒74分的成績(jī)打破了100米女子跨欄的亞洲紀(jì)錄，并奪得了2024年全國(guó)田徑冠軍賽女子100米跨欄決賽的冠軍，通過(guò)跑道側(cè)面的高清軌道攝像機(jī)記錄了該運(yùn)動(dòng)員時(shí)間（單位：s）與位移（單位：m）之間的關(guān)系，得到如下表數(shù)據(jù)：2.82.933.13.22425293234畫出散點(diǎn)圖觀察可得與之間近似為線性相關(guān)關(guān)系．（1）求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）記，其中為觀測(cè)值，為頂測(cè)值，為對(duì)應(yīng)的殘差，求前3項(xiàng)殘差的和．參考數(shù)據(jù)：，參考公式：．16．（15分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）證明：；（2）若，求的周長(zhǎng)．17．（15分）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）求的取值范圍．18．（17分）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，將側(cè)面沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度至平面，其中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求四棱錐的體積；（2）當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，求的值．19．（17分）定義：若對(duì)于任意，數(shù)列滿足：①；②，其中的定義域?yàn)?，則稱關(guān)于滿足性質(zhì)．（1）請(qǐng)寫出一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，使得關(guān)于滿足性質(zhì)；（2）設(shè)，若關(guān)于滿足性質(zhì)，證明：；（3）設(shè)，若關(guān)于滿足性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

2025屆新高三第一次大聯(lián)考高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則1．【答案】D【解析】，故．故選D．2．【答案】B【解析】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為．易得中位數(shù)為60，平均數(shù)為．故選B．3．【答案】D【解析】由題意可得，由為實(shí)數(shù)．得，即，則．故．故選D．4．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線紏率為．所以切線方程為．即．故選C．5．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕⒁獾剑谏蠁握{(diào)遞減，從而，即．故選A．6．【答案】B【解析】由題意易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線．曲線是以為圓心．1為半徑的半圓（如圖所示）．設(shè)曲線的下端點(diǎn)為，要使與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．則應(yīng)位于直線和切線之間．所以．由，由．得．故直線斜率的取值范圍為．故選B．7．【答案】D【解析】設(shè)，由題意可知，線段的中點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立解得，另一方面．聯(lián)立得．易知，由韋達(dá)定理得，解得，所以．故離心率．故選D．8．【答案】B【解析】由知為銳角．又因?yàn)?，所以設(shè)，即，．由，得，又，故．則．因此，即．在中．由正弦定理，以及．整理計(jì)算得．故選B．9．【答案】ACD（每選對(duì)1個(gè)得2分）【解析】對(duì)于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對(duì)于B，時(shí)，雙曲線方程為，其漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A得，設(shè)C的半焦距為．則，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故C正確；對(duì)于D，若C為等軸雙曲線，則，故D正確，故選ACD10.【答案】AD（每選對(duì)1個(gè)得3分）【解析】該題可轉(zhuǎn)化為判斷選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題，過(guò)原點(diǎn)的直線與的對(duì)稱交點(diǎn)均滿足題意，故A正確；由于與一次函數(shù)不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；為偶函數(shù)，且與二次函數(shù)圖象形狀一致，與一次函數(shù)不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；過(guò)原點(diǎn)的直線可以與奇函數(shù)存在三個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選AD．11.【答案】ABC（每選對(duì)1個(gè)得2分）【解析】由題意，且，即①，用替換中的，得②．由①+②得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．且，故A正確；由，可得，．所以．所以是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；由①知，則，所以，故C正確；又因?yàn)?，所以，令，則有，令．則有，令，則有，所以．所以，故D錯(cuò)誤．故選ABC．12．【答案】15【解析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令得其展開式中的系數(shù)為．13．【答案】【解析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，可知，解得．14．【答案】【解析】設(shè)這三個(gè)正整數(shù)分別為，則題意可得，所以隨機(jī)變量可能取值為1和2．用隔板法可求得：事件總情況為種，當(dāng)時(shí)，分兩種情況：①三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)1，有種；②三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)1，有種．所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)．也分兩種情況：①三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)2，有種；②三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)2，有種，所以時(shí)，，所以．15．解：（1）依題意可得．（1分）所以關(guān)于的線性回歸方程為（6分）（2）根據(jù)（1）得到；（8分）所以【評(píng)分細(xì)則】第二問(wèn)中計(jì)算出一個(gè)殘差給2分．少算或算錯(cuò)一個(gè)扣2分．16．（1）證明：由，得，由正弦定理得．（5分）因?yàn)?，所以．?）解：因?yàn)?，所以，由余弦定理得．即．解得，所以的周長(zhǎng)為．【評(píng)分細(xì)則】第一問(wèn)未說(shuō)明的不扣分．17．（1）證明：由題意聯(lián)立得，．（2）解：設(shè)，由（1）得，，即，即整理得．將代入并整理得，，，且，解得或．（15分）【評(píng)分細(xì)則】第二問(wèn)若只解出一個(gè)參數(shù)范圍扣1分．18．解：（1）由題意平面平面，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，故，又，故平面，所以．?）如圖，易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題知，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得取，得，故，又，即，化簡(jiǎn)可得，解得或（舍去）．【評(píng)分細(xì)則】（1）求出給2分，求出給2分，體積正確給2分；（2）建系給2分．寫出點(diǎn)坐標(biāo)給1分，得出法向量再給3分．19．（1）解：示例：（注：所有的定義城為R的偶函數(shù)均符合題意）．（2）證明：因?yàn)?/p>