江西省撫州市2025屆高三第一次大聯(lián)考 數(shù)學試卷（含解析）

2025屆新高三第一次大聯(lián)考高三數(shù)學試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，請將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．某高中為鼓勵全校師生增強身體素質，推行了陽光校園跑的措施，隨機調查7名同學在某周周日校園跑的時長（單位：分鐘），得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：．則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）A．60，58 B．60，60 C．55，58 D．55，603．已知為實數(shù)，則（）A． B．2 C．1 D．4．曲線低點處的切線方程為（）A． B． C． D．5．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．6．過點的直線與曲線有兩個交點，則直線斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知橢圓的右焦點為，過且斜率為1的直線與交于兩點，若線段的中點在直線上，則的離心率為（）A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點的一點，且，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知雙曲線，則（）A．的取值范圍是 B．時，的漸近線方程為C．的焦點坐標為 D．可以是等軸雙曲線10．下列函數(shù)中，存在數(shù)列使得和都是公差不為0的等差數(shù)列的是（）A． B． C． D．11．已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（）A．的圖象關于點對稱 B．是以8為周期的周期函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．二項式的展開式中的系數(shù)為__________．13．已知函數(shù)在區(qū)間內恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為__________．14．已知三個正整數(shù)的和為8，用表示這三個數(shù)中最小的數(shù)，則的期望__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）2024年全國田徑冠軍賽暨全國田徑大獎賽總決賽于6月30日在山東省日照市落幕．四川田徑隊的吳絕妮以12秒74分的成績打破了100米女子跨欄的亞洲紀錄，并奪得了2024年全國田徑冠軍賽女子100米跨欄決賽的冠軍，通過跑道側面的高清軌道攝像機記錄了該運動員時間（單位：s）與位移（單位：m）之間的關系，得到如下表數(shù)據(jù)：2.82.933.13.22425293234畫出散點圖觀察可得與之間近似為線性相關關系．（1）求出關于的線性回歸方程；（2）記，其中為觀測值，為頂測值，為對應的殘差，求前3項殘差的和．參考數(shù)據(jù)：，參考公式：．16．（15分）已知的內角的對邊分別為，且．（1）證明：；（2）若，求的周長．17．（15分）已知直線交拋物線于兩點，為的焦點，且．（1）證明：；（2）求的取值范圍．18．（17分）如圖，在棱長為4的正方體中，將側面沿逆時針旋轉角度至平面，其中，點是線段的中點．（1）當時，求四棱錐的體積；（2）當直線與平面所成的角為時，求的值．19．（17分）定義：若對于任意，數(shù)列滿足：①；②，其中的定義域為，則稱關于滿足性質．（1）請寫出一個定義域為的函數(shù)，使得關于滿足性質；（2）設，若關于滿足性質，證明：；（3）設，若關于滿足性質，求數(shù)列的前項和．

2025屆新高三第一次大聯(lián)考高三數(shù)學參考答案及評分細則1．【答案】D【解析】，故．故選D．2．【答案】B【解析】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為．易得中位數(shù)為60，平均數(shù)為．故選B．3．【答案】D【解析】由題意可得，由為實數(shù)．得，即，則．故．故選D．4．【答案】C【解析】因為，所以在點處的切線紏率為．所以切線方程為．即．故選C．5．【答案】A【解析】因為．所以．注意到，而在上單調遞減，從而，即．故選A．6．【答案】B【解析】由題意易知直線的斜率存在且不為0，設直線．曲線是以為圓心．1為半徑的半圓（如圖所示）．設曲線的下端點為，要使與曲線有兩個交點．則應位于直線和切線之間．所以．由，由．得．故直線斜率的取值范圍為．故選B．7．【答案】D【解析】設，由題意可知，線段的中點是直線與直線的交點，聯(lián)立解得，另一方面．聯(lián)立得．易知，由韋達定理得，解得，所以．故離心率．故選D．8．【答案】B【解析】由知為銳角．又因為，所以設，即，．由，得，又，故．則．因此，即．在中．由正弦定理，以及．整理計算得．故選B．9．【答案】ACD（每選對1個得2分）【解析】對于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；對于B，時，雙曲線方程為，其漸近線方程為，故B錯誤；對于C，由A得，設C的半焦距為．則，故其焦點坐標為，故C正確；對于D，若C為等軸雙曲線，則，故D正確，故選ACD10.【答案】AD（每選對1個得3分）【解析】該題可轉化為判斷選項所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個交點，且其中一個交點是另外兩個交點的中點的相關問題，過原點的直線與的對稱交點均滿足題意，故A正確；由于與一次函數(shù)不可能有三個交點，故B錯誤；為偶函數(shù)，且與二次函數(shù)圖象形狀一致，與一次函數(shù)不可能有三個交點，故C錯誤；過原點的直線可以與奇函數(shù)存在三個交點，故D正確，故選AD．11.【答案】ABC（每選對1個得2分）【解析】由題意，且，即①，用替換中的，得②．由①+②得，所以的圖象關于點對稱．且，故A正確；由，可得，．所以．所以是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；由①知，則，所以，故C正確；又因為，所以，令，則有，令．則有，令，則有，所以．所以，故D錯誤．故選ABC．12．【答案】15【解析】由二項式的展開式的通項為，令得其展開式中的系數(shù)為．13．【答案】【解析】由題意可得，當時，，由函數(shù)在內恰有兩個極值點，可知，解得．14．【答案】【解析】設這三個正整數(shù)分別為，則題意可得，所以隨機變量可能取值為1和2．用隔板法可求得：事件總情況為種，當時，分兩種情況：①三個數(shù)中只有一個1，有種；②三個數(shù)中有兩個1，有種．所以時，；當時．也分兩種情況：①三個數(shù)中只有一個2，有種；②三個數(shù)中有兩個2，有種，所以時，，所以．15．解：（1）依題意可得．（1分）所以關于的線性回歸方程為（6分）（2）根據(jù)（1）得到；（8分）所以【評分細則】第二問中計算出一個殘差給2分．少算或算錯一個扣2分．16．（1）證明：由，得，由正弦定理得．（5分）因為，所以．（2）解：因為，所以，由余弦定理得．即．解得，所以的周長為．【評分細則】第一問未說明的不扣分．17．（1）證明：由題意聯(lián)立得，．（2）解：設，由（1）得，，即，即整理得．將代入并整理得，，，且，解得或．（15分）【評分細則】第二問若只解出一個參數(shù)范圍扣1分．18．解：（1）由題意平面平面，所以，又因為，得，所以，因為，所以，故，又，故平面，所以．（2）如圖，易知兩兩垂直，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，由題知，則，故，設平面的一個法向量為，由得取，得，故，又，即，化簡可得，解得或（舍去）．【評分細則】（1）求出給2分，求出給2分，體積正確給2分；（2）建系給2分．寫出點坐標給1分，得出法向量再給3分．19．（1）解：示例：（注：所有的定義城為R的偶函數(shù)均符合題意）．（2）證明：因為