7.2 離散型隨機(jī)變量及分布列（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】7.2離散型隨機(jī)變量及分布列（精講）考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的辨析【例1-1】（2022春·北京·高二期末）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)；②一個(gè)沿直線(xiàn)進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線(xiàn)進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線(xiàn)上的位置不能一一列舉出來(lái)，故②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來(lái)，故④不是離散型隨機(jī)變量；故選：C.【例1-2】（2022春·陜西渭南·高二渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)校考期中）袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中可以用隨機(jī)變量表示的是（

）．A．至少取到1個(gè)白球 B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到球的個(gè)數(shù)【答案】C【解析】選項(xiàng)A，B是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是定值2；選項(xiàng)C可能的取值為0，1，2，可以用隨機(jī)變量表示．故選：C．【一隅三反】1．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┫旅娼o出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿直線(xiàn)y＝2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線(xiàn)上的位置η；③某指揮臺(tái)5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)電話(huà)次數(shù)X；④某同學(xué)離開(kāi)哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機(jī)變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線(xiàn)y＝2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線(xiàn)上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)電話(huà)次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)離開(kāi)哈爾濱市第三中學(xué)的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③.故選：C2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．至少取到1個(gè)白球 B．取到白球的個(gè)數(shù)C．至多取到1個(gè)白球 D．取到的球的個(gè)數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項(xiàng)，其中A、C選項(xiàng)是事件，D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是個(gè)，ACD錯(cuò)誤；故選：B.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下面是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．電燈炮的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)C．測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置【答案】B【解析】對(duì)于A(yíng)，電燈炮的使用壽命是變量，但無(wú)法將其取值一一列舉出來(lái)，故A不符題意；對(duì)于B，小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)是變量，且其取值為，故X為離散型隨機(jī)變量，故B符合題意；對(duì)于C，測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無(wú)法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故C不符題意；對(duì)于D，一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置是變量，但無(wú)法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機(jī)變量，故D不符題意.故選：B.考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字．(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)求隨機(jī)變量的分布列．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【解析】（1）“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”記為事件，則為“取出的3個(gè)小球上有2個(gè)數(shù)字相同”，∴，∴．（2）由題意可知的可能取值為2，3，4，5，，，，．可得的分布列如表所示．2345【一隅三反】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示總檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，則．（2）X的可能取值為200，300，400，則，，．故X的分布列為X200300400P2．（2022春·吉林·高二校聯(lián)考期末）某數(shù)學(xué)興趣小組有5名同學(xué)，其中3名男生2名女生，現(xiàn)從中選2人去參加一項(xiàng)活動(dòng)．(1)求選出的2人中，恰有1名男生，1名女生的概率；(2)用X表示選出的2人中男生的個(gè)數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【解析】(1)解：某數(shù)學(xué)興趣小組有5名同學(xué)，其中3名男生2名女生，從中選2人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有（種）選法．設(shè)“選出的兩人中，恰有1名男生，1名女生”為事件A，則(2)解：根據(jù)題意，X可能的取值為0，1，2．，，．故X的分布列為X012P3．（2022春·重慶北碚·高二重慶市朝陽(yáng)中學(xué)校考期中）一個(gè)箱子里裝有5個(gè)大小相同的球，有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球．(1)求摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率；(2)用X表示摸出的2個(gè)球中的白球個(gè)數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）記“摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球”，3個(gè)白球、2個(gè)紅球分別記為白1，白2，白3，紅1，紅2，從中摸出2個(gè)球有（白1白2），（白1白3），（白1紅1），（白1紅2），（白2白3），（白2紅1），（白2紅2），（白3紅1），（白3紅2），（紅1紅2）共10種情況，從中摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球有（白1紅1），（白1紅2），（白2紅1），（白2紅2），（白3紅1），（白3紅2）共6種情況，所以，摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率為.（2）X表示摸出的2個(gè)球中的白球個(gè)數(shù)，則X可取，，，，則X的分布列為012考點(diǎn)三分布列的性質(zhì)【例3-1】（2022春·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）下表是離散型隨機(jī)變量X的概率分布，則常數(shù)的值是（

）X3456PA． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得.故選：C.【例3-2】（2022春·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得：故選：C．【例3-3】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：123456P其中，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，…，?gòu)成等差數(shù)列，所以，，因?yàn)椋?，即，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：【一隅三反】1．（2022春·福建泉州·高二泉州市城東中學(xué)?？计谥校┤綦x散型隨機(jī)變量的分布列如下圖所示．01則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C0．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列表中，可以作為某離散型隨機(jī)變量的分布列的是（其中）（

）A．123B．123C．123D．123【答案】C【解析】選項(xiàng)A中，所以選項(xiàng)A不滿(mǎn)足題意；選項(xiàng)B中概率之和為，事實(shí)上，所以選項(xiàng)B不滿(mǎn)足題意；選項(xiàng)D中，都不符合概率的意義．所以選項(xiàng)D不滿(mǎn)足題意；選項(xiàng)C中，，，，且，顯然有解．所以選項(xiàng)C滿(mǎn)足題意.故選：C3．（2022春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，（），則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A，由已知可得，，即，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.考點(diǎn)四兩點(diǎn)分布【例4-1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）．A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)XB．某射手射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分，射手的得分XC．從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋子中取1個(gè)球，定義：“取出白球”，“取出紅球”D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X【答案】CD【解析】?jī)牲c(diǎn)分布又叫0-1分布，試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)，并且隨機(jī)變量的取值只有0，1兩個(gè)，C，D滿(mǎn)足題意；拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)X可能的結(jié)果為1，2，3，4，5，6，共6個(gè)，不是兩點(diǎn)分布，A不滿(mǎn)足題意；某射手射擊一次的試驗(yàn)結(jié)果有兩個(gè)，但隨機(jī)變量X的取值是0，2，B不滿(mǎn)足題意．故選：CD【例4-2】（2022·高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量，Y服從兩點(diǎn)分布，若，，則（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】C【解析】隨機(jī)變量,，解得（舍去，注意：），．故選:C．【一隅三反】1．（2022春·山東菏澤·高二曹縣一中?？茧A段練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)為B．某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，命中得1分，不中得0分，為罰球一次的得分C．從裝有大小完全相同的5個(gè)紅球、3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，D．從含有3件次品的100件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，為抽到的次品件數(shù)【答案】BCD【解析】由兩點(diǎn)分布的定義可知：對(duì)于A(yíng)，X=1，2，3，4，5，6，所以不屬于兩點(diǎn)分布；對(duì)于B，X=0，1，屬于兩點(diǎn)分布；對(duì)于C，X=0，1，屬于兩點(diǎn)分布；對(duì)于D，抽取一次，則或?yàn)檎坊驗(yàn)榇纹?，故X=0，1，屬于兩點(diǎn)分布；