6.2.2 組合及組合數(shù)（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】6.2.2組合及組合數(shù)（精講）考點(diǎn)一組合概念的理解【例1-1】（2022湖南）下列問(wèn)題中，組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是（

）①?gòu)娜?0人中選出5人組成班委會(huì)；②從全班50人中選出5人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；③從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求積；④從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求差或商.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，從50人中選出5人組成班委會(huì)，不考慮順序是組合問(wèn)題.②為排列問(wèn)題.對(duì)于③，從1，2，3，…，9中任取兩個(gè)數(shù)求積是組合問(wèn)題.因?yàn)槌朔M足交換律，而減法和除法不滿足，故④為排列問(wèn)題.所以組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：B.【例1-2】（2022河北）以下四個(gè)問(wèn)題，屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地【答案】C【解析】只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題，而A,B,D均與順序有關(guān).故選：C.【一隅三反】1．（2023湖南）以下5個(gè)命題，屬于組合問(wèn)題的有（

）①?gòu)?，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)；②從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，然后把這3個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和，這樣的和的個(gè)數(shù)；③從，，，四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作的選法；④5個(gè)人規(guī)定相互通話一次，通電話的次數(shù)；⑤5個(gè)人相互寫一封信，所有信的數(shù)量．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】①當(dāng)取出3個(gè)數(shù)字后，如果改變3個(gè)數(shù)字的順序，會(huì)得到不同的三位數(shù)，所以此問(wèn)題不但與取出元素有關(guān)，而且與元素的安排順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；②取出3個(gè)數(shù)字之后，無(wú)論怎樣改變這3個(gè)數(shù)字的順序，其和均不變，此問(wèn)題只與取出的元素有關(guān)，而與元素的安排順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題；③兩名學(xué)生完成的是同一份工作，沒有順序，是組合問(wèn)題；④甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無(wú)順序區(qū)別，為組合問(wèn)題；⑤發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，是排列問(wèn)題，綜上，屬于組合問(wèn)題的有3個(gè).故選：B．2．（2022北京）給出三個(gè)事件：①10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種不同的分法？②從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，由小到大排列構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？③10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候，共需握手多少次？其中是組合問(wèn)題的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】①10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，與順序無(wú)關(guān)，所以為組合問(wèn)題.②從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，由小到大排列構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)只需選出3個(gè)數(shù)字，選出后順序固定，不需要排序，所以為組合問(wèn)題.③10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候，因?yàn)閮扇酥g只握手一次即可，所以該問(wèn)題與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.所以①②③均與順序無(wú)關(guān)，所以都是組合問(wèn)題.故選：D3．（2023重慶）給出下列問(wèn)題：①?gòu)募?乙?丙名同學(xué)中選出名分別去參加兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法？②有張電影票，要在人中確定人去觀看，有多少種不同的選法？③某人射擊槍，擊中槍，且命中的槍均為槍連中，則不同的結(jié)果有多少種？其中屬于組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于①，選出名同學(xué)后，分配到兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)涉及到順序問(wèn)題，是排列問(wèn)題；對(duì)于②，選出人觀看不涉及順序問(wèn)題，是組合問(wèn)題；對(duì)于③，射擊命中不涉及順序問(wèn)題，是組合問(wèn)題.故選：C.考點(diǎn)二組合數(shù)的計(jì)算【例2-1】（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選:B.【例2-2】（2022遼寧）已知，則x=（）A．3或10 B．3 C．17 D．3或17【答案】A【解析】因?yàn)?，故或，即或故選：A【例2-3】（2022春·安徽滁州·高二校聯(lián)考期中）計(jì)算得到結(jié)果為（

）A．210 B．165 C．126 D．120【答案】A【解析】．故選：A．【例2-4】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）使不等式（n為正整數(shù)）成立的的取值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，為正整數(shù)，，在中，為正整數(shù)，，因?yàn)?，則有，即，解得，因此有，為正整數(shù)，所以的取值可以是或或．故選：D．【例2-5】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第十七中學(xué)?？计谀╆P(guān)于排列組合數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，故A正確；，故B正確；，而，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：C.【一隅三反】1．（2022春·河北·高二階段練習(xí)）（多選）下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由組合數(shù)性質(zhì)可得，故A正確；由組合數(shù)性質(zhì)可知，故B正確；，故，故C正確；，所以，故D錯(cuò)誤，故選：ABC2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高校考階段練習(xí)）（多選）（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】.故選：CD．3．（2022春·江蘇鹽城·高二濱?？h五汛中學(xué)校考期中）下列四個(gè)命題中，假命題為（

）A． B．C． D．【答案】D【【解析】，A為真命題；，B為真命題；，C為真命題；，D為假命題.故選：D4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：______．【答案】16【解析】故答案為：16.5．（2022·云南）若，則正整數(shù)x的值是________．【答案】1或4【解析】∵，∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1或x＝4滿足題意.故答案為：1或4．6．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可得，即，解得，故答案為：.7．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則m=___________.【答案】4或14【解析】因?yàn)椋?，所以或，又，解得或，故答案為?或14.考點(diǎn)三組合的實(shí)際應(yīng)用【例3】（2023甘肅）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)．其中：（1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？（3）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？（4）隊(duì)中至少有2名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生，有幾種選法？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）根據(jù)題意，某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，在剩下的7人中再選3人即可，有種選法；（2）甲乙均不能參加，在剩下的7人中選5人即可，有種選法；（3）在9人中選出5人，有種選法，甲乙均不能參加的選法有種，則甲乙兩人至少有一人參加的選法有種選法；（4）由題意，分3中情況討論：①隊(duì)中有2名內(nèi)科醫(yī)生和3名外科醫(yī)生，有種選法；②隊(duì)中有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生，有種選法；③隊(duì)中有4名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生，有種選法，由分類計(jì)數(shù)原理，可得種不同的選法.【一隅三反】1．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）沈陽(yáng)二中24屆籃球賽正如火如荼地進(jìn)行中，全年級(jí)共20個(gè)班，每四個(gè)班一組，如1—4班為一組，5—8班為二組……進(jìn)行單循環(huán)小組賽（沒有并列），勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，最后勝出的三個(gè)班級(jí)再進(jìn)行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設(shè)沒有并列）決出最終的冠亞季軍，請(qǐng)問(wèn)此次籃球賽學(xué)校共舉辦了多少場(chǎng)比賽？（

）A．51 B．42 C．39 D．36【答案】D【解析】先進(jìn)行單循環(huán)賽，有場(chǎng)，勝出的5個(gè)班級(jí)和從余下隊(duì)伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個(gè)班級(jí)共6支球隊(duì)按抽簽的方式進(jìn)行淘汰賽，6支球隊(duì)打3場(chǎng)，決出最后勝出的三個(gè)班，最后3個(gè)班再進(jìn)行單循環(huán)賽，由場(chǎng).所以共打了場(chǎng).故選：D.2．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和靜高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取3件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先取一件次品是，再取2件正品是，根據(jù)乘法原理得：故選：B3．（2022·陜西渭南·高二?？计谥校榱藦?qiáng)化安全意識(shí)，某校擬在周一至周四的4天中隨機(jī)選擇2天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的兩天恰好是間隔1天的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意四天隨機(jī)選兩天，共有種取法，兩天恰好是間隔1天的取法為（一，三）（二，四）共2種，∴選擇的兩天恰好是間隔1天的概率是，故選：C.4．（2022秋·福建莆田·高二校考期末）已知甲袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，若從甲、乙兩個(gè)袋子中各取出2個(gè)球，則取出的4個(gè)球中恰有2個(gè)紅球的不同取法共有（

）A．9種 B．18種 C．27種 D．36種【答案】C【解析】甲、乙各取1個(gè)紅球，有種方法；乙取兩個(gè)紅球，有種方法；共有18+9＝27種方法.故選：C.5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在100件產(chǎn)品中有合格品90件，次品10件，現(xiàn)從中抽取4件檢查．(1)都不是次品的取法有多少種？(2)至少有1件次品的取法有多少種？(3)不都是次品的取法有多少種？【答案】(1)種(2)種(3)種【解析】（1）根據(jù)題意，抽取的4件都不是次品，即4件都為合格品，故有種；（2）根據(jù)題意，抽取的4件里面至少有1件次品，可以先考慮對(duì)立情況，即4件都為合格品，共有（種），總共有（種），則至少有1件次品有（種）.（3）根據(jù)題意，抽取的4件不都是次品，可以先考慮對(duì)立情況，即4件都是次品，共有（種），則不都是次品的取法有（種）.考點(diǎn)四分組分配問(wèn)題【例4-1】（2023·山東）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.【解析】（1）先從6本書中選1本，有種分配方法；再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本，有種分配方法剩余的就是2本書，有種分配方法所以總共有種分配方法．（2）由（1）可知分組后共有60種方法，分別分給甲乙丙后的方法有種．（3）從6本書中選擇2本書，有種分配方法；再?gòu)氖Ｓ?本書中選擇2本書，有種分配方法；剩余的就是2本書，有種分配方法;所以有種分配方法．但是，該過(guò)程有重復(fù)．假如6本書分別為A、B、C、D、E、F，若三個(gè)步驟分別選出的是．則所有情況為，，，，，．所以分配方式共有種（4）由（3）可知，將三種分配方式分別分給甲乙丙三人，則分配方法為種（5）從6本書中選4本書的方法有種從剩余2本書中選1本書有種因?yàn)樵谧詈髢杀緯x擇中發(fā)生重復(fù)了所以總共有種（6）由（5）可知，將三種分配情況分別分給甲乙丙三人即可，即種．【例4-2】．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和靜高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年9月3日某市新冠疫情暴發(fā)以來(lái)，某住宿制中學(xué)為做好疫情防控工作，組織5名教師組成志愿者小組，分配到高中三個(gè)年級(jí)教學(xué)樓樓門口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由于高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)較多，要求高二教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個(gè)樓門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．80 D．180【答案】C【解析】5人可分為“”和“”，型：先將5人分組，然后把一人組先安排，剩下的2組全排列：型：先將5人分組，然后最多的3人分給高二，剩下的全排列：綜上所述：故選：C【例4-3】（2023新疆）（1）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，恰有一個(gè)盒子空，共有多少種放法；（3）10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，每個(gè)盒子不空，共有多少種放法；（4）4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，恰有兩個(gè)盒子空，共有多少種放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【解析】（1）每個(gè)小球有4種方法，共有種放法；（2）先選1個(gè)空盒，再把4個(gè)小球分成3組，最后分到3個(gè)盒子，共有種放法；（3）9個(gè)空中插入3個(gè)板即可，種放法；（4）先選2個(gè)空盒，再3個(gè)空中插入1個(gè)板即可，共有種放法.【一隅三反】1．（2022秋·四川南充）從今年8月開始，南充高中教師踴躍報(bào)名志愿者參加各街道辦、小區(qū)、學(xué)校的防疫工作，彰顯師者先行、師德?lián)?dāng)?shù)木?，防疫工作包含掃描健康碼、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)三項(xiàng)工作，現(xiàn)從8名教師自愿者中，選派5人擔(dān)任掃描健康碼、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)工作，要求每項(xiàng)工作都有自愿者參加不同的選派方法共有（

）種A． B． C． D．【答案】D【解析】選派5人中有三人擔(dān)任同一項(xiàng)工作，不同的選派方法有種，選派5人中有兩人擔(dān)任同一項(xiàng)工作，另兩人擔(dān)任另外同一項(xiàng)工作，不同的選派方法有種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選派方法共有種.故選：D.2．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，社區(qū)有5名醫(yī)務(wù)人員到某學(xué)校的高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)協(xié)助防控和宣傳工作.若每個(gè)年級(jí)至少分配1名醫(yī)務(wù)人員，則不同的分配方法有（）A．25種

B．50種

C．300種

D．150種【答案】D【解析】當(dāng)5個(gè)人分為2，2，1三小組，分別來(lái)自3個(gè)年級(jí)，共有種；②當(dāng)5個(gè)人分為3，1，1三小組時(shí)，分別來(lái)自3個(gè)年級(jí)，共有種.綜上，選法共有.故選:D.3．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考期中）2022年10月16日中國(guó)共產(chǎn)黨二十大報(bào)告中指出“我們經(jīng)過(guò)接續(xù)奮斗，實(shí)現(xiàn)了小康這個(gè)中華民族的千年夢(mèng)想，打贏人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，歷史性地解決絕對(duì)貧困問(wèn)題，為全球減貧事業(yè)作出了重大貢獻(xiàn)”，為進(jìn)一步了解和鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某縣選派7名工作人員到A，B，C三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研活動(dòng)，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少去1人，恰有兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式共有（

）A．1176 B．2352 C．1