5.5 解三角形與其他知識的綜合運(yùn)用（精講）（教師版）

5.5解三角形與其他知識的綜合運(yùn)用（精講）一．仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).二．方位角從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).三．方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.四.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.考法一解三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用【例1-1】（2023·河北·模擬預(yù)測）釋迦塔俗稱應(yīng)縣木塔，建于公元1056年，是世界上現(xiàn)存最古老最高大之木塔，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”.2016年、釋迦塔被吉尼斯世界紀(jì)錄認(rèn)定為世界最高的木塔.小張為測量木塔的高度，設(shè)計了如下方案：在木塔所在地面上取一點(diǎn)，并垂直豎立一高度為的標(biāo)桿，從點(diǎn)處測得木塔頂端的仰角為60°，再沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，并垂直豎立一高度為的標(biāo)桿，再沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，此時恰好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)，在一條直線上.若小張眼睛到地面的距離，則小張用此法測得的釋迦塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn),則四邊形,,都是矩形,所以,所以.在Rt中,,所以,由已知得,所以,即,解得.故選：B.【例1-2】（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，某景區(qū)為方便游客，計劃在兩個山頭M，N間架設(shè)一條索道．為測量M，N間的距離，施工單位測得以下數(shù)據(jù)：兩個山頭的海拔高度，在BC同一水平面上選一點(diǎn)A，測得M點(diǎn)的仰角為，N點(diǎn)的人仰角為，以及，

則M，N間的距離為（

）

A． B．120m C． D．200m【答案】A【解析】由題意，可得，且，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，所以.故選：A.

【一隅三反】1．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，某學(xué)生社團(tuán)在公園內(nèi)測量某建筑的高度，為該建筑頂部.在處測得仰角，當(dāng)沿一固定方向前進(jìn)60米到達(dá)處時測得仰角，再繼續(xù)前進(jìn)30米到達(dá)處時測得仰角，已知該建筑底部A和、、在同一水平面上，則該建筑高度為（

）

A． B． C．45 D．90【答案】D【解析】設(shè)，由題意知，所以，同理，即.在和中，.

由余弦定理可得：，即，解得.故選：D2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.如圖，小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度約為(取)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在直角中，，因?yàn)樵谥校?，，所以，在中由正弦定理可得，又由，所以在直角中，可?故選：B3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測量其高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)處測得酒店頂端的仰角，則酒店的高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米【答案】B【解析】由題設(shè)，在△中，又，所以，又米.故選：B考法二解三角形與平面向量的綜合【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個向量，，共線，則形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】向量，共線，．由正弦定理得：．．，所以則．，即．同理由，共線，可得．形狀為等邊三角形．故選：A．【一隅三反】1．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)為的外心，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【解析】三個角所對的三邊分別為，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，，，所以，，，因?yàn)椋?，即，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即為鈍角三角形.故選：C.

2．（2022·廣東廣州·三模）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，.(1)若，，為邊的中點(diǎn)，求中線的長度；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵向量，，，∴，即，∴，∴，∵為邊的中點(diǎn)，，，∴，∴，又，，，∴，∴，即，∴中線的長度為；(2)∵為邊上一點(diǎn)，，∴，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故的最小值為考法三解三角形與三角函數(shù)性質(zhì)綜合【例3】（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）令，則所以，單調(diào)減區(qū)間是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，則，，，所以.【一隅三反】1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）．【解析】（1）．的最小正周期為：；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：；（2）因?yàn)?，所以，，，．設(shè)邊上的高為，所以有，由余弦定理可知：，，，（當(dāng)用僅當(dāng)時，取等號），所以，因此邊上的高的最大值.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】1）由條件可得：，∴，所以函數(shù)零點(diǎn)滿足，則，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡得：，又在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，則有.∴.3．（2023·安徽）已知函數(shù)，將的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位后得到的圖象，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.（1）求的值；（2）在銳角中，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位后得到的圖象，則，，，當(dāng)，即時，最大值，所以，；（2），，則，所以，，所以，，，是銳角三角形，由，解得，所以，，，則.考法四解三角形與各種心的綜合【例4】（2022·廣東·模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且.從下列①②③這三個條件中選擇一個補(bǔ)充在橫線處，并作答.①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)選①：；選②：；選③：.【解析】(1)因?yàn)?，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，則，所以，；(2)選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點(diǎn)，在中由余弦定理得，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，所以；選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，．選③O為的重心，如圖，分別是各邊上的中點(diǎn)，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性質(zhì)可得，，故.【一隅三反】1.（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點(diǎn)P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【解析】(1)在中，由余弦定理可知：,即故,,是等腰三角形，故在中，由余弦定理可知：即,在中，由正弦定理可知：因?yàn)闉殇J角，所以(2)由（1）知：是的重心，所以,故所以四邊形的面積為2．（2022·廣東廣州·三模）在①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.問題：已知中，分別為角所對的邊，__________.(1)求角的大?。?2)已知，若邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，求的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2)【解析】(1)若選①，，由正弦定理得，又，則，又，即，又，則；若選②，由正弦定理得，又，則，即，則，又，則；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，易得，由可得，則，則，則.3．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定