專題9.7 求軌跡方程（解析版）

專題9.7求軌跡方程題型一直接法題型二定義法題型三相關(guān)點(diǎn)法題型四交軌法題型五參數(shù)法題型六點(diǎn)差法題型七利用韋達(dá)定理求軌跡方程題型一 直接法例1．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）若動點(diǎn)到定點(diǎn)和直線：的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．橢圓 D．拋物線【答案】B【分析】設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件列方程化簡可得點(diǎn)的軌跡方程，由方程確定軌跡.【詳解】設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．化簡得．故動點(diǎn)P的軌跡是直線．故選：B.例2．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，垂足為，且．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)提意思，設(shè)，得到，結(jié)合，利用距離公式化簡，即可求解曲線的方程；【詳解】（1）由題意，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，可得，設(shè)，則，因?yàn)椋傻?，即，整理?練習(xí)1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程為__________；的最小值為__________.【答案】【分析】設(shè)出，由題意列出方程組，化簡即可得到點(diǎn)的軌跡方程；【詳解】設(shè)，由題意可得，整理得，故動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程為，如圖所示，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)等號成立，所以的最小值為，故答案為：；練習(xí)2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡方程為____，與連線的斜率分別為，，則的最小值為____.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題意列出方程，化簡即可得出答案；利用兩點(diǎn)的斜率公式寫出，再利用的軌跡方程進(jìn)行化簡，最后利用重要不等式求出的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意可知，到的距離為，由題意得，化簡得，所以的軌跡方程為.又由題意，，則，又因?yàn)镻在曲線上，所以，化簡得，代入得，.又因?yàn)?，所以的最小值?故答案為：，練習(xí)3．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知平面內(nèi)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于．(1)求點(diǎn)P的軌跡連同點(diǎn)所構(gòu)成的曲線C的方程；【答案】(1)點(diǎn)的軌跡方程為，曲線的方程為.【分析】（1）由求軌跡的方程的步驟結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式，即可求得，通過基本不等式，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)為軌跡上任意一點(diǎn)，由題意得，則，，，故點(diǎn)的軌跡方程為，

所以點(diǎn)P的軌跡連同點(diǎn)所構(gòu)成的曲線C的方程為.練習(xí)4．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；【答案】(1)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，故.練習(xí)5．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，直線AM，BM交于點(diǎn)M，且直線AM與直線BM的斜率滿足：.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;【答案】(1)【分析】（1）設(shè)出，表達(dá)出AM與BM的斜率，得到方程，求出軌跡方程；【詳解】（1）設(shè)，又，則，整理得，可得點(diǎn)M滿足方程，則M的軌跡C的方程為.題型二 定義法例3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為__________．【答案】【分析】由的三邊a，b，c成等差數(shù)列，可得點(diǎn)B的軌跡滿足橢圓的定義，可求出橢圓方程，再結(jié)合和B、A、C三點(diǎn)構(gòu)成，可得頂點(diǎn)B的軌跡是此橢圓的部分，可得其軌跡方程.【詳解】因?yàn)榈娜卆，b，c成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以，即，所以點(diǎn)B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)锽、A、C三點(diǎn)構(gòu)成，所以B、A、C三點(diǎn)不能在一條直線上，所以，所以頂點(diǎn)B的軌跡方程為.故答案為：例4．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，點(diǎn).圓是的內(nèi)切圓，且延長線交于點(diǎn)，若.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】(1)【分析】（1）抓住內(nèi)切圓的性質(zhì)找到等量關(guān)系，再由定義法即可求結(jié)果；【詳解】（1）解：據(jù)題意，，從而可得，由橢圓定義知道，的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，所以所求的橢圓的方程為.練習(xí)6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【分析】根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到，再利用雙曲線的定義求解.【詳解】因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為.練習(xí)7．（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】(1)【分析】（1）利用橢圓定義即可求得動點(diǎn)的軌跡的方程；【詳解】（1）由題意：，動點(diǎn)是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓.設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，動點(diǎn)的軌跡的方程為.練習(xí)8．（2023·上?！とA師大二附中校考模擬預(yù)測）已知平面上的點(diǎn)滿足，則__________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線和圓的定義，求出所在曲線的的方程，聯(lián)立方程組，求出的橫坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)?分別在以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支和左支上，且，，所以，，所以雙曲線方程為；因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，即點(diǎn)在圓上，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，即點(diǎn)在圓上，聯(lián)立，因?yàn)?，可求，?lián)立，因?yàn)?，可求，因?yàn)?，，?故答案為：.

練習(xí)9．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）（多選）設(shè)，圓（為圓心），為圓上任意一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作線段的垂線與直線相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的有（

）A．曲線的方程為 B．當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C．曲線的方程為 D．與無公共點(diǎn)【答案】ABC【分析】對于A，連接OQ，則可得，從而可得曲線的方程；對于B，圓B的方程與曲線的方程聯(lián)立求解即可；對于C，連接AR，則可得，從而可得點(diǎn)R的軌跡為雙曲線；對于D，求出曲線的方程，然后判斷.【詳解】如圖1、圖2，連接OQ．因?yàn)辄c(diǎn)Q為線段AP的中點(diǎn)，O為線段AB的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)Q的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，即曲線的方程為，故A正確；當(dāng)點(diǎn)Q在圓B上時(shí)，圓B的方程與曲線的方程聯(lián)立，可得，故B正確；連接AR，由于直線QR為線段AP的中垂線，所以，所以，所以點(diǎn)R的軌跡為以為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸的雙曲線，所以曲線的方程為，故C正確；由選項(xiàng)C可知，所以曲線的方程為，所以與有兩個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．

練習(xí)10．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知直線軸，垂足為軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，且，直線，垂足為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，結(jié)合拋物線定義可解；【詳解】（1）由題意可得，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離．因?yàn)椋缘姆匠虨?，，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故點(diǎn)的軌跡的方程為．

題型三 相關(guān)點(diǎn)法例5．（2023春·上海徐匯·高三上海市徐匯中學(xué)校考期中）已知雙曲線C的方程為．(1)直線截雙曲線C所得的弦長為，求實(shí)數(shù)m的值；(2)過點(diǎn)作直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，利用弦長公式即可求出值；（2）設(shè),，利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)公式即可得到，化簡即可.【詳解】（1）聯(lián)立,得，直線被雙曲線截得的弦長為,,設(shè)直線與雙曲線交于,則,由弦長公式得,解得.（2）設(shè),，則，，上式作差得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)雙曲線對稱性知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，但時(shí)，此時(shí)直線為直線，根據(jù)雙曲線對稱性知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，且時(shí)，，，，化簡得，其中，而點(diǎn)，適合上述方程，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是.

例6．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)已知求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)求出的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，又因?yàn)?，所以，由，得，所以，是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)，則,因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)．故答案為：.練習(xí)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足,求動點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】【分析】設(shè)，則，根據(jù)，求得，代入圓的方程，即可求解.【詳解】解：設(shè)，則，可得，由，所以，化簡得，因?yàn)?，代入可得，即，即為的軌跡的方程為.練習(xí)12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，線段，且兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；【答案】【分析】設(shè)，，由為線段的中點(diǎn)列關(guān)系式，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式表示，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程即可得的軌跡方程.【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，，，即，得.所以點(diǎn)的軌跡方程是．練習(xí)13．（2022秋·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)，求線段EF的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式結(jié)合圓的方程即得.【詳解】（1）由題可設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解之得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)M（x，y），，由及M為線段EF的中點(diǎn)得，解得,又點(diǎn)E在圓C：上，所以有，化簡得：,故所求的軌跡方程為．練習(xí)14．（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）設(shè)圓的圓心為A，點(diǎn)P在圓上，則PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是_______.【答案】【分析】設(shè)，P（x0，y0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，然后結(jié)合點(diǎn)在圓上即可求解.【詳解】圓可化為，則，設(shè)，P（x0，y0），所以整理得,即，將點(diǎn)代入圓的方程得，即為.故答案為：.練習(xí)15．（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎娣e為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法即可求得動點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】設(shè)，不妨令，正方形ABCD的面積為16，則，則，由，可得，即，則，整理得故選：B題型四 交軌法例7．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動點(diǎn)，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

【答案】【分析】首先判斷點(diǎn)是的重心，代入重心坐標(biāo)公式，利用代入法，即可求點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點(diǎn)C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標(biāo)公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.例8．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且該雙曲線離心率小于等于，點(diǎn)和是雙曲線上關(guān)于軸對稱非重合的兩個(gè)動點(diǎn)，為雙曲線左右頂點(diǎn)，恒成立．(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線的定義可得，然后利用兩邊之和大于第三邊以及可得，即可求得方程；（2）設(shè)，則，得到直線，的方程，兩條方程與可得到，然后算出的范圍即可【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由及雙曲線的定義，得，解得，由可得，又恒成立，所以，解得．因?yàn)樵撾p曲線離心率小于等于，所以，即，解得，所以，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)只能在雙曲線的右支上，

設(shè)，則，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，易得，所以直線的斜率為，直線的方程為①，同理可求得直線的方程為②，由①×②得③，將代入③得，化簡得，令①=②即，化簡得，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵之處是得到直線，的方程，與相結(jié)合，通過消元的方法得到軌跡方程練習(xí)16．（2022秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線交拋物線與兩點(diǎn)（在軸的同側(cè)），求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，，利用三點(diǎn)共線，解得，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解；（2）設(shè)，，，根據(jù)題意可得，由此解出與，與的關(guān)系，進(jìn)而得到直線與直線的方程，聯(lián)立即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以,所以，整理可得，所以，所以．（2）設(shè)，，，由題意，，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，，所以，整理得．因?yàn)樵谳S同側(cè)，所以，同理可得，所以直線的方程為，同理的方程為，兩式聯(lián)立代入，可得，由題意可知交點(diǎn)不能在x軸上，所以交點(diǎn)的軌跡方程為．練習(xí)17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為_______．【答案】（）．【分析】設(shè)，直線和的交點(diǎn)為，根據(jù)三點(diǎn)共線及三點(diǎn)共線，可得兩個(gè)式子，兩式相乘，再結(jié)合在橢圓上即可得出答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)闄E圓的長軸端點(diǎn)為，設(shè)直線和的交點(diǎn)為，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，兩式相乘得，（）,因?yàn)椋?，即，所以，整理得（），所以直線和的交點(diǎn)的軌跡方程（）.故答案為：（）.練習(xí)18．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過三點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過右焦點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)，求直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設(shè)橢圓方程，代入橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；（2）首先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解交點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程E：+=1由AC兩點(diǎn)可知：，解得=16，=12，所以橢圓方程為；（2）設(shè)，M（，）N（，）聯(lián)立（3+12my-36=0直線AM：=直線BN：=消去：，因斜率不為0，該直線方程：.練習(xí)19．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，動直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B到直線的距離為(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線與雙曲線交于異于的兩點(diǎn)時(shí)，記直線的斜率為，直線的斜率為.（i）是否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（ii）求直線和交點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)（i）存在，；（ii）【分析】（1）注意到直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，l平行于漸近線可解；（2）利用韋達(dá)定理結(jié)合即可求得，再根據(jù)和的直線方程消去斜率即可得交點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）故當(dāng)直線過與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)與的漸近線平行設(shè)直線，即，則點(diǎn)到直線的距離為即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（i）由題可知，直線斜率不為0設(shè)直線由得：成立.所以存在實(shí)數(shù)，使得成立.（ii）直線，直線聯(lián)立得：所以直線和交點(diǎn)的軌跡方程為：練習(xí)20．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，若交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】或【分析】由題可得拋物線方程，利用切線幾何意義可得切線斜率，即可表示出切線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再將拋物線與直線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得軌跡方程.【詳解】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，可得拋物線.由可得，故，故在處的切線方程為，即，同理在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，即.聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，由題或.由韋達(dá)定理，，得，其中或，故點(diǎn)的軌跡方程為：或.故答案為：或題型五 參數(shù)法例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，為直線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，動點(diǎn)滿足，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求動點(diǎn)的軌跡的方程．【答案】【分析】根據(jù)題意將動點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出，垂直轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量數(shù)量積為0，再轉(zhuǎn)化平行條件從而得到動點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)、、，則，，，由，得，且點(diǎn)、均不在軸上，故，且，．由，得，即．由，得，即．∴，∴動點(diǎn)的軌跡的方程為：.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，是滿足的一個(gè)動點(diǎn)．求垂心的軌跡方程.【答案】（）或（）【分析】求出外心坐標(biāo)，外接圓半徑同，得頂點(diǎn)C的軌跡方程，再利用相關(guān)點(diǎn)法可求垂心H的軌跡方程．【詳解】設(shè)的外心為，半徑為R，則有，又，所以，即，或，當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)．設(shè)，，有，即有（），由，則有，由，則有，所以有，，則，則有（），所以垂心H的軌跡方程為（）.同理當(dāng)當(dāng)坐標(biāo)為時(shí)．H的軌跡方程為（）.綜上H的軌跡方程為（）或（）．練習(xí)21．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線，定點(diǎn)，B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有，當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出這個(gè)軌跡為那種曲線．【答案】詳見解析【分析】設(shè)，根據(jù)，利用分點(diǎn)公式得到，再根據(jù)點(diǎn)B在拋物線上求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，所以，即，所以軌跡是拋物線.練習(xí)22．（2021·貴州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ），為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可得答案；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，進(jìn)而得直線的方程，與橢圓聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理，用替換點(diǎn)的坐標(biāo)得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以與橢圓聯(lián)立方程得，即，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€與的斜率之和為，所以直線的斜率為，同理，用替換點(diǎn)的坐標(biāo)得點(diǎn)的坐標(biāo)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以點(diǎn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）消去參數(shù)得點(diǎn)的軌跡方程，由解得，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)直線的斜率為，進(jìn)而結(jié)合題意，與橢圓聯(lián)立方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而消參數(shù)即可得答案.練習(xí)23．（2011秋·遼寧·高二統(tǒng)考期中）如圖，過拋物線（＞0）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB．⑴設(shè)OA的斜率為k，試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)⑵求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程【答案】⑴A（，），B（，）．⑵，即為M點(diǎn)軌跡的普通方程．【詳解】試題分析：⑴．∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0∴設(shè)直線OA的方程為（）∴聯(lián)立方程解得；以代上式中的，解方程組解得∴A（，），B（，）．6分⑵．設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得消去參數(shù)k，得，即為M點(diǎn)軌跡的普通方程．12考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系，“參數(shù)法”求軌跡方程．點(diǎn)評：中檔題，研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往通過建立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡化解題過程．“參數(shù)法”是求曲線方程的常見方法，通過引入適當(dāng)?shù)摹爸虚g變量”，將動點(diǎn)的坐標(biāo)相互聯(lián)系起來．練習(xí)24．（2021秋·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，的焦點(diǎn)為．（1）若直線過焦點(diǎn)，且，求的值；（2）已知點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，且，當(dāng)直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)在直線上，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）；（2）（除掉點(diǎn)）.【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式可直接求得結(jié)果；（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立后得到韋達(dá)定理的形式，代入中整理可求得，驗(yàn)證取值后得到所過定點(diǎn)；由知，知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，確定圓心和半徑后即可得到軌跡方程，驗(yàn)證可知軌跡中的不符合題意，由此得到最終結(jié)果.【詳解】（1）由拋物線方程知：，準(zhǔn)線方程為：．，，.（2）依題意可設(shè)直線，由得：，則，…①，…②由①②化簡整理可得：，則有，解得：或．當(dāng)時(shí)，，解得：或，此時(shí)過定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，對于恒成立，直線過定點(diǎn)，.，，且四點(diǎn)共線，，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓．設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的軌跡方程為．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，的方程為，不符合題意，的軌跡方程為（除掉點(diǎn)）．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問考查了動點(diǎn)軌跡方程的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)，利用韋達(dá)定理構(gòu)造出關(guān)于變量的方程，確定直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系確定軌跡為圓.練習(xí)25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的中心作兩條互相垂直的射線，交雙曲線于、兩點(diǎn)，試求：（1）弦的中點(diǎn)的軌跡方程；【答案】（1）見解析；【詳解】（1）設(shè)、、，則有，①..②.由得.③.②①得，④.②①得.⑤.由式③、④解得，代入式⑤得，其中.上式即為所求軌跡方程.題型六 點(diǎn)差法例11．（2023春·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線，過點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，進(jìn)而得到方程，與雙曲線聯(lián)立檢驗(yàn)即可確定結(jié)果.【詳解】設(shè)，且，由得：，即，為中點(diǎn)，，，，直線方程為：，即；由得：，則，滿足題意；直線的方程為：.故選：A.例12．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線l的方程為_______________．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直可得圓的切線方程為，進(jìn)而在橢圓中，根據(jù)點(diǎn)差法可得，根據(jù)中點(diǎn)弦的斜率即可代入求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接,由于,所以,進(jìn)而,設(shè)，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，由于是圓的切線，所以,所以，令則，所以，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè),則，兩式相減可得，所以,又，,所以，解得，進(jìn)而故直線l的方程為，即，故答案為：練習(xí)26．（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法求解.【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A練習(xí)27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】【分析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)差法得出軌跡方程，利用點(diǎn)M在橢圓內(nèi)即可得出取值范圍.【詳解】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．由題意知，則，∴點(diǎn)的軌跡方程為．又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.練習(xí)28．（2022秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)作拋物線的弦AB，恰被點(diǎn)Q平分，則弦AB所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】解：設(shè)，，由題意可知，則，兩式相減，得，因?yàn)槭窍褹B的中點(diǎn)，所以，，所以，即，直線AB的斜率為2，所以弦AB所在直線的方程為，即，故選：C.練習(xí)29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線和斜率為的直線l交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l變化時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的方程是________.【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法及直線的斜率可得出中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，則兩式相減，得.因?yàn)?，的坐?biāo)為，所以，又直線的斜率為，所以，即.故答案為：練習(xí)30．（2022秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是___.【答案】【分析】利用點(diǎn)差法即可求得過點(diǎn)且被點(diǎn)P平分的弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)該直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，則又，，兩式相減得則，則，則所求直線方程為，即經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：題型七 利用韋達(dá)定理求軌跡方程例13．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)P，Q，求以O(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】（或）【分析】設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得、和的范圍，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分和消參法可得答案.【詳解】設(shè)，，，由題意過點(diǎn)的直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，，且可得且，所以由可得，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，即，可得，因?yàn)椋?，可得或，所以的軌跡方程為（或）.

例14．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預(yù)測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的軌跡長度為_________．【答案】/【分析】設(shè)斜率為直線方程為，聯(lián)立方程組，寫出韋達(dá)定理，然后求出線段的中點(diǎn)為的參數(shù)方程，消參后得到的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合方法分析即可.【詳解】設(shè)斜率為直線方程為：，代入橢圓中，消元整理得：，線段的中點(diǎn)為，設(shè)，則，所以，，所以，消去得：，所以線段的中點(diǎn)為的軌跡方程為：，如圖所示：的軌跡即為線段，由或，所以，所以的軌跡長度為：，故答案為：.練習(xí)31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，直線過點(diǎn).若與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】，（且）【分析】設(shè)，，，令，由已知可得，由，得，求出由韋達(dá)定理代入，進(jìn)而求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】解法一：設(shè)，，，不妨令，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，即，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，故，故，且，，.由，得，即，故，即，，且，故，且，故點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.解法二：設(shè)，，，不妨令，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，即，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，故，，且，，.點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，故，，，故.，且，故，且，故點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.