專題7.5 數(shù)列的其他應(yīng)用（原卷版）

專題7.5數(shù)列的其他應(yīng)用題型一分段遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式題型二公共項(xiàng)數(shù)列題型三插項(xiàng)數(shù)列題型四數(shù)列中的新定義問(wèn)題題型五數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良題型六遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題型一 分段遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式例1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_____.例2．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中校考階段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．B．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為練習(xí)1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．練習(xí)2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．練習(xí)3．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，，令.(1)寫(xiě)出，，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前10項(xiàng)和.練習(xí)4．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為,數(shù)列的前項(xiàng)和小于實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)5．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：①；②.則的通項(xiàng)公式______；設(shè)為的前項(xiàng)和，則______.（結(jié)果用指數(shù)冪表示）題型二 公共項(xiàng)數(shù)列例3．（2023春·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為和，設(shè)這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成集合A，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．167 B．168 C．169 D．170例4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足．將數(shù)列與的公共項(xiàng)按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列．(1)證明：(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．練習(xí)6．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為_(kāi)_________．練習(xí)7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.練習(xí)8．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列由與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列而成，求數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．練習(xí)9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．練習(xí)10．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)值剩二，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所以被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，所有被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，把和的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，則（

）A． B． C． D．題型三 插項(xiàng)數(shù)列例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，可以形成一個(gè)新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法可以不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，3進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，4，3；第2次得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列1，．記，若成立，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例6．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．練習(xí)11．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)_____．練習(xí)12．（2023·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.練習(xí)13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值（用數(shù)字作答）．練習(xí)14．（2023春·遼寧錦州·高三?？计谥校┯洖楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.練習(xí)15．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序依次插入數(shù)列中，在任意的，之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.題型四 數(shù)列中的新定義問(wèn)題例7．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式，求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的首項(xiàng)是1，且滿足，證明數(shù)列為等差為數(shù)列.例8．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）所有的有理數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)的比，例如如何表示成兩個(gè)整數(shù)的比值呢？代表了等比數(shù)列的無(wú)限項(xiàng)求和，可通過(guò)計(jì)算該數(shù)列的前項(xiàng)的和，再令獲得答案.此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即可得.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．為無(wú)限循環(huán)小數(shù)C．為有限小數(shù)D．?dāng)?shù)列的無(wú)限項(xiàng)求和是有限小數(shù)練習(xí)16．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，定義，且記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．練習(xí)17．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對(duì)任意，如果，那么稱數(shù)對(duì)構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7練習(xí)18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）①若，則為“回旋數(shù)列”；②設(shè)為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；③設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，若為“回旋數(shù)列”，則；④若為“回旋數(shù)列”，則對(duì)任意，總存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4練習(xí)19．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃ǘ噙x）在數(shù)列中，（，為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列練習(xí)20．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）（多選）若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”.則下列數(shù)列是“數(shù)列”的有（

）A． B．C． D．題型五 數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良例9．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．例10．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①，且；②；③，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問(wèn)題：(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的最小值.注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.練習(xí)21．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：(1)已知數(shù)列滿足______，求的通項(xiàng)公式；(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．練習(xí)22．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和.(1)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；①；②；③.(2)在（1）的條件下，若，求.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.練習(xí)23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）在①；②這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充下面橫線處，并解答下列問(wèn)題.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，___________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.練習(xí)24．（2023秋·云南昆明·高三統(tǒng)考期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，①，，②，且，③，請(qǐng)從①②③中選擇一個(gè)條件進(jìn)行求解.注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.練習(xí)25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知數(shù)列中，，_____，其中．從①數(shù)列的前項(xiàng)和，②，③且，這三個(gè)條件中一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.注：若選作多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和．題型六 遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）農(nóng)歷是我國(guó)古代通行歷法，被譽(yù)為“世界上最突出和最優(yōu)秀的智慧結(jié)晶”.它以月相變化周期為依據(jù)，每一次月相朔望變化為一個(gè)月，即“朔望月”，約為29.5306天.由于歷法精度的需要，農(nóng)歷設(shè)置“閏月”，即按照一定的規(guī)律每過(guò)若干年增加若干月份，來(lái)修正因?yàn)樘鞌?shù)的不完美造成的誤差，以使平均歷年與回歸年相適應(yīng)設(shè)數(shù)列滿足，其中均為正整數(shù)，且，，，，，，…，那么第n級(jí)修正是“平均一年閏個(gè)月”，已知我國(guó)農(nóng)歷為“19年共閏7個(gè)月”，則它是（

）A．第3級(jí)修正 B．第4級(jí)修正 C．第5級(jí)修正 D．第6級(jí)修正例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）1202年，斐波那契在《算盤(pán)全書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒(méi)有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來(lái)，成為熱門(mén)的研究課題，記為該數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．為偶數(shù)C． D．練習(xí)26．（2022秋·福建漳州·高三統(tǒng)考期末）（多選）被譽(yù)為“閩南第一洞天”的風(fēng)景文化名勝——漳州云洞巖，有大小洞穴四十余處，歷代書(shū)法題刻二百余處.由于巖石眾多，造就了云洞巖石頭上開(kāi)鑿臺(tái)階的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石頭上爬，旁邊有鐵索可以拉，十分驚險(xiǎn).某游客爬天梯，一次上1個(gè)或2個(gè)臺(tái)階，設(shè)爬上第個(gè)臺(tái)階的方法數(shù)為，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．練習(xí)27．（2021秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）阿司匹林（分子式，分子質(zhì)量180）對(duì)血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的發(fā)病風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于急性心肌梗死疑似患者，建議第一次服用劑量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小時(shí)服用200.阿司匹林口服后經(jīng)胃腸道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解為主要代謝產(chǎn)物水楊酸（分子式，分子質(zhì)量138），降解過(guò)程生成的水楊酸的質(zhì)量為阿司匹林質(zhì)量的，水楊酸的清除半衰期（一般用物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱作半衰期）約為12小時(shí).（考慮所有阿司匹林都降解為水楊酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服藥48小時(shí)后第3次服藥前血液中水楊酸的含量（單位）；(2)證明：急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會(huì)超過(guò)230.練習(xí)28．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）某地出現(xiàn)了蟲(chóng)害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲(chóng)害指數(shù)”數(shù)列{I}，