專題7.2 等比數(shù)列及求和（原卷版）

專題7.2等比數(shù)列及求和題型一基本量的計(jì)算題型二等比中項(xiàng)及等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)題型三等比數(shù)列的判定與證明題型四等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)題型五等比數(shù)列中的單調(diào)，最值問題題型六等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型七等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用題型一 基本量的計(jì)算例1．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則“”是“數(shù)列的公比為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，公比為q，前n項(xiàng)和為.(1)，，求n；(2)，求及.練習(xí)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.練習(xí)2．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則=（

）A．64 B．81 C．128 D．192練習(xí)3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列滿足，，若的前n項(xiàng)和，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8練習(xí)4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，若其前k項(xiàng)和為86，則________．練習(xí)5．（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8題型二 等比中項(xiàng)及等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，求.例4．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列.(1)若，且，求的值；(2)若數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，，求，的等比中項(xiàng).練習(xí)6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列練習(xí)7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列、滿足.其中是等差數(shù)列，若，則_____________.練習(xí)8．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，前項(xiàng)滿足，，則正整數(shù)m＝______.練習(xí)9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列前n項(xiàng)和為______.練習(xí)10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和?前項(xiàng)和?前項(xiàng)和分別為??，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．題型三 等比數(shù)列的判定與證明例5．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；練習(xí)11．（2023春·湖北·高三武漢市第四十九中學(xué)校聯(lián)考期中）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，給出以下條件，其中一定可以推出數(shù)列為等比數(shù)列的條件是（

）．A． B． C． D．是等比數(shù)列練習(xí)12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；練習(xí)13．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.練習(xí)14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若．(1)證明：為等比數(shù)列．(2)求的通項(xiàng)公式．練習(xí)15．（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）（多選）數(shù)列中，．則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．C． D．題型四 等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.例8．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則________.練習(xí)16．（2022春·遼寧·高三遼陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，，…為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列，，，，…為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列，，，…為等比數(shù)列練習(xí)17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）（多選）已知等比數(shù)列中，滿足，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中，，，仍成等比數(shù)列練習(xí)18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求由其奇數(shù)項(xiàng)所組成的數(shù)列的前項(xiàng)和．練習(xí)19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（

）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列練習(xí)20．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期中）已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的值為（

）A．85 B．64 C．84 D．21題型五 等比數(shù)列中的單調(diào)，最值問題例9．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，_______________．例10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等比數(shù)列公比為，若，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件練習(xí)21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值和最小值．練習(xí)22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值練習(xí)23．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則取最大值時(shí)的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11練習(xí)24．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列練習(xí)25．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為題型六 等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用例11．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．例12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）小明的父母在他入讀初中一年級(jí)起的9月1日向銀行教育儲(chǔ)蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當(dāng)天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續(xù)存6年，每年到期利息連同本金自動(dòng)轉(zhuǎn)存，在小明高中畢業(yè)的當(dāng)年9月1日當(dāng)天一次性取出，假設(shè)教育儲(chǔ)蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業(yè)的當(dāng)年9月1日當(dāng)天，一次性取出的金額總數(shù)（單位：千元）為（

）．A． B．C． D．練習(xí)26．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┲袊?guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.練習(xí)27．（2023·貴州遵義·?？寄M預(yù)測(cè)）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗練習(xí)28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個(gè)熱氣球，在氣球上寫著“9年耕耘，碩果累累”8個(gè)大字，已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經(jīng)過（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘練習(xí)29．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“勾股樹”，也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形．如圖所示，以正方形的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個(gè)正方形，且，則這127個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為（

）A． B．C． D．練習(xí)30．（2023春·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地出臺(tái)了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)濟(jì)”.個(gè)體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求.據(jù)測(cè)算：他每月月底獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2023年5月底他的年所得收入（扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸款）為（

）元（參考數(shù)據(jù)：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000題型七 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例13．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若是與的等差中項(xiàng)，則數(shù)列的公比______.例14．（2023·北京·北京八十中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是首項(xiàng)為正數(shù)，公比不為的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，那么（

）A． B． C． D．的大小關(guān)系不能確定練習(xí)31．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若分別從下表的第一、二、三列中各取一個(gè)數(shù)，依次作為等比數(shù)列{}的，，；分別從下表的第一、二、三行中各取一個(gè)數(shù)，依次作為等差數(shù)列的，，．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)請(qǐng)寫出數(shù)列{}，{}的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{}單調(diào)遞增，設(shè)，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為．求證：．練習(xí)32．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2