第01講 6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（解析版）

第01講6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①熟練掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。②靈活應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決數(shù)學(xué)與生活中的計(jì)數(shù)問(wèn)題。③理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系。④掌握分類(lèi)與分步的計(jì)數(shù)原則及分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。1.理解與掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的計(jì)數(shù)方法；2能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；知識(shí)點(diǎn)01：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理（1）定義：完成一件事有兩類(lèi)不同方案,在第1類(lèi)方案中有種不同的方法,在第2類(lèi)方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有類(lèi)不同方案,在第1類(lèi)方案中有種不同的方法,在第2類(lèi)方案中有種不同的方法,……在第類(lèi)方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）音樂(lè)播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任選一首歌曲進(jìn)行播放，有多少種不同的選法？【答案】【詳解】依題意一共有種選法.知識(shí)點(diǎn)02：分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）定義：完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……做第步有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）一種號(hào)碼撥號(hào)鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán)，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從0到9共10個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成個(gè)四位數(shù)號(hào)碼？．【答案】【詳解】按從左到右的順序撥號(hào)可以分四步完成：第1步，有10種撥號(hào)方式，第2步，有10種撥號(hào)方式，第3步，有10種撥號(hào)方式，第4步，有10種撥號(hào)方式，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)03：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題.區(qū)別：①分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事.②分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題,各個(gè)步驟中的方法相互依存,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.題型01利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題【典例1】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谥校┩瓿梢豁?xiàng)工作，有兩種方法，有6個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這10個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【答案】B【詳解】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，6+4=10.故選：B.【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛(ài)國(guó)主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團(tuán)員為總負(fù)責(zé)人，有種不同的選法．【答案】24【詳解】第一類(lèi)是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有8種不同的選法；第二類(lèi)是從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有10種不同的選法；第三類(lèi)是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有6種不同的選法；由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的選法．故答案為：24.【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中，要接通電源，使電燈發(fā)光的方法種數(shù)是．【答案】5【詳解】在電鍵組A中有2個(gè)電鍵，電鍵組B中有3個(gè)電鍵，應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有2＋3＝5種接通電源使電燈發(fā)光的方法．故答案為：5.【典例4】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺(tái)12個(gè)頻道、本地臺(tái)10個(gè)頻道和其他省市46個(gè)頻道的節(jié)目．(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時(shí)，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？(2)如果有3個(gè)頻道正在轉(zhuǎn)播同一場(chǎng)球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？【答案】(1)68(2)66【詳解】（1）當(dāng)所有頻道播放的節(jié)目互不相同時(shí)，一臺(tái)電視機(jī)選看的節(jié)目可分為3類(lèi)：第一類(lèi)，選看中央臺(tái)頻道的節(jié)目，有12個(gè)不同的節(jié)目；第二類(lèi)，選看本地臺(tái)頻道的節(jié)目，有10個(gè)不同的節(jié)目；第三類(lèi)，選看其他省市頻道的節(jié)目，有46個(gè)不同的節(jié)目．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看個(gè)不同的節(jié)目．（2）因?yàn)橛?個(gè)頻道正在轉(zhuǎn)播同一場(chǎng)球賽，即這3個(gè)頻道轉(zhuǎn)播的節(jié)目只有1個(gè)，而其余頻道共有個(gè)正在播放互不相同的節(jié)目，所以一臺(tái)電視機(jī)共可以選看個(gè)不同的節(jié)目．【變式1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值，則可表示條不同的直線．【答案】22【詳解】當(dāng)時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)時(shí)，A有5種選法，B有4種選法，可表示條不同的直線．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，知共可表示條不同的直線．故答案為：22【變式2】（2023上·陜西漢中·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，現(xiàn)從這三個(gè)班中任選1人去參加活動(dòng)，則不同的選法共有種.【答案】125【詳解】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有種．故答案為：125【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，組成數(shù)對(duì)，則其中的數(shù)對(duì)有多少個(gè)?【答案】15【詳解】的數(shù)對(duì)可以分類(lèi)來(lái)解：當(dāng)時(shí)，，有種結(jié)果；當(dāng)時(shí)，，有種結(jié)果；當(dāng)時(shí)，，有種結(jié)果；當(dāng)時(shí)，，有種結(jié)果；當(dāng)時(shí)，，有5種結(jié)果.綜上所述，共有（個(gè)）滿足條件的數(shù)對(duì).題型02利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題【典例1】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)計(jì)劃從3本不同的文學(xué)書(shū)和4本不同的科學(xué)書(shū)中各選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．81種 B．64種 C．12種 D．7種【答案】C【詳解】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有種.故選：C【典例2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）某公司員工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人．從4種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，不同的選法種數(shù)為（）A．1200 B．600 C．300 D．26【答案】A【詳解】分四步：第一步，選O型血的人有10種選法；第二步，選A型血的人有5種選法；第三步，選B型血的人有8種選法；第四步，選AB型血的人有3種選法．故共有10×5×8×3【典例3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在圖中的電路中，僅合上2只開(kāi)關(guān)接通電路，有多少種不同的方法？

【答案】6【詳解】在圖中，按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：第一步，合上A中的1只開(kāi)關(guān)；第二步，合上B中的1只開(kāi)關(guān).根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所以共有種不同的方法.答：在圖中的電路中，僅合上2只開(kāi)關(guān)接通電路，有6種不同的方法．【變式1】（2023上·江西南昌·高二江西師大附中?？计谥校┯?，2，3，4可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【詳解】先從4個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在百位，有4種；然后從剩下的3個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在十位，有3種；最后從剩下的2個(gè)數(shù)中選1個(gè)排在個(gè)位，有2種；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.【變式2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)共有4個(gè)門(mén)，若從一個(gè)門(mén)進(jìn)，另一個(gè)門(mén)出，不同走法的種數(shù)是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【詳解】分兩步完成，第一步：從4個(gè)門(mén)中選擇一個(gè)門(mén)進(jìn)有4種方法，第二步：從余下的3個(gè)門(mén)中選一個(gè)出有3種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理，共有種.故選：C＝1200（種）不同的選法．故選：A【變式3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人.若需1名老師和1名學(xué)生參加評(píng)選會(huì)議，則不同的選法種數(shù)為（）A．39 B．24C．15 D．16【答案】A【詳解】先從3名老師中任選1名，有3種選法，再?gòu)?3名學(xué)生中任選1名，有13種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39.故選：A題型03兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上中的某一個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)），則頂點(diǎn)處的數(shù)字都大于頂點(diǎn)處的數(shù)字的標(biāo)注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種【答案】D【詳解】按頂點(diǎn)處標(biāo)注的數(shù)字分類(lèi)，有如下幾種情況：若處都標(biāo)注的是4，則處的標(biāo)注方法有（種）；若處都標(biāo)注的是3，則處的標(biāo)注方法有（種）；若處都標(biāo)注的是2，則處的標(biāo)注方法有1種；若處標(biāo)注的是4和3兩個(gè)數(shù)字，則處的標(biāo)注方法有（種），不同的標(biāo)注方法共有（種）；若處標(biāo)注的是4和2兩個(gè)數(shù)字，則處的標(biāo)注方法有1種，不同的標(biāo)注方法共有（種）；若處標(biāo)注的是3和2兩個(gè)數(shù)字，則處的標(biāo)注方法有1種，不同的標(biāo)注方法共有（種）.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，頂點(diǎn)處的數(shù)字都大于頂點(diǎn)處的數(shù)字的標(biāo)注方法共有（種）.故選:D.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【詳解】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有（個(gè)）.故選：D【典例3】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成，現(xiàn)要從該班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動(dòng)，要求至少要有1位女同學(xué)參加，則不同的選法共有多少種？【答案】7【詳解】按照選擇的女同學(xué)人數(shù)分為兩種情況，即2名都是女同學(xué)和只有1名女同學(xué)．第1類(lèi)：2名都是女同學(xué)的選法顯然只有1種．第2類(lèi)：只有1名女同學(xué)的選法，可以分為兩步完成：先從2名女同學(xué)中選出1人，有2種選法；再?gòu)?位男同學(xué)中選出1人，有3種選法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的安排方法種．依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有種．【變式1】（2023上·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計(jì)，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：D.【變式2】（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球每個(gè)球有不同編號(hào)，現(xiàn)從中取出2個(gè)球．(1)至少有一個(gè)白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意分2類(lèi)完成任務(wù)：第一類(lèi)：白球紅球各一個(gè)有種，第二類(lèi)：均為白球，種，所以共有種；（2）根據(jù)題意分2類(lèi)完成任務(wù)：第一類(lèi)：均為白球，種，第二類(lèi)：均為紅球，種，所以共有種．【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）從a、b、c、d、e這5個(gè)元素中取出4個(gè)，放在4個(gè)不同的格子中，且元素b不能放在第二個(gè)格子里．問(wèn)：一共有多少種不同的放法？【答案】【詳解】元素b不被取出，不同的放法有種，當(dāng)元素b被取出，則元素b有三個(gè)位置，不同的放法有種，所以一共有種不同的放法.題型04用計(jì)數(shù)原理解決涂色（種植）問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個(gè)不同區(qū)域），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方法有（

）

A．48種 B．64種 C．96種 D．144種【答案】C【詳解】根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域?yàn)?，，，，，，如圖所示，

先對(duì)區(qū)域涂色，有3種方法，再對(duì)，，，，這5個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，∵，，，，這5個(gè)區(qū)域都與相鄰，∴每個(gè)區(qū)域都有2種涂色方法，∴共有種涂色方法．故選C．【典例2】（2023下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有（

）A．48種 B．72種 C．64種 D．256種【答案】A【詳解】從A開(kāi)始擺放花卉，A有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法，B有2種顏色花卉擺放方法；由D區(qū)與A，B花卉顏色不一樣，與C區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，則D有2種顏色花卉擺放方法.故共有種綠化方案.故選：A【典例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用5種不同的顏色給圖中的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，則共有多少種不同的涂色方法？1234【答案】260【詳解】第一類(lèi)，1號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域同色，此時(shí)可分三步來(lái)完成，第一步，涂1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域，有5種涂法；第二步，涂2號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂3號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可，因此也有4種涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×4×4=80種涂法．第二類(lèi)，1號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域不同色，此時(shí)可分四步來(lái)完成，第一步，涂1號(hào)區(qū)域，有5種涂法；第二步，涂4號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂2號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可，因此有3種涂法；第四步，涂3號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可，因此也有3種涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×4×3×3=180種涂法．依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，不同涂色的方法種數(shù)為80+180=260.【變式1】（2023下·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)校考期中）在如圖所示的四個(gè)區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個(gè)區(qū)域只能種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有種（用數(shù)字作答）【答案】240【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理得種,故答案為：240.【變式2】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.【答案】180【詳解】如圖：ABDC從A開(kāi)始擺放花卉，A有5種顏色花卉擺放方法，B有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法；由D區(qū)與B，C花卉顏色不一樣，與A區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，則D有3種顏色花卉擺放方法.故共有種涂色方法.故答案為：180【變式3】（2023下·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的一圓形花圃，擬在A，B，C，D區(qū)域種植花苗，現(xiàn)有3種不同顏色的花苗，每個(gè)區(qū)域種植1種顏色的花苗，且相鄰的2塊區(qū)域種植顏色不同的花苗，則不同的種植方法總數(shù)為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：(1)對(duì)于塊，可以在3種不同的花中任選1種，有種情況；(2)對(duì)于塊，可以在剩下的2種不同的花中任選1種，有種情況；(3)對(duì)于C、D塊，分2種情況：若D塊與塊相同，則C塊可以在其余的2種不同的花中任選1種，有種情況，若D塊與塊不相同，則塊有1種情況，塊有1種情況，此時(shí)C、D有1種情況，則C、D共有種情況；綜合可得：一共有種不同的種法.故選：B【變式4】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌涂色，要求在A，B，C，D四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的涂色方法？【答案】480(種)【詳解】方法一:分類(lèi)計(jì)數(shù)，第一類(lèi)，A，D涂同色，有6×5×4＝120(種)涂法，第二類(lèi)，A，D涂異色，有6×5×4×3＝360(種)涂法，共有120＋360＝480(種)涂法．方法二:分步計(jì)數(shù)，先涂B區(qū)，有6種涂法，再涂C區(qū)，有5種涂法，最后涂A，D區(qū)域，各有4種涂法，所以共有6×5×4×4＝480(種)涂法．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）甲?乙兩人從3門(mén)課程中各選修1門(mén)，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（

）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種【答案】A【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】甲?乙兩人從3門(mén)課程中各選修1門(mén)，由乘法原理可得甲?乙所選的課程不相同的選法有（種）.故選：A2．（2023下·安徽池州·高二校聯(lián)考期中）“聲東擊西”是游擊戰(zhàn)爭(zhēng)的一種戰(zhàn)術(shù)：聲東可以擊東、南、西、北中的任意一個(gè)方向，以此靈活地打擊或消滅敵人.同樣還有“聲南擊北”等不同的戰(zhàn)術(shù)，由此可知這類(lèi)戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為（

）A．16 B．12 C．4 D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意，分析聲和擊的情況，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意，聲的情況有4種，擊的情況也有4種，所以這類(lèi)戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為.故選：A.3．（2023下·福建泉州·高二?？计谀┯?名學(xué)生報(bào)名參加3項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為（

）A．243 B．125 C．60 D．120【答案】A【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】每名學(xué)生都有種選擇方法，所以不同的報(bào)名方法的種數(shù)為.故選：A4．（2023下·黑龍江大慶·高二?？计谥校┩瓿梢患掠腥?lèi)不同方案，在第類(lèi)方案中有種不同的方法，在第類(lèi)方案中有種不同的方法，在第類(lèi)方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，其中（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理直接求解即可.【詳解】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：.故選：A.5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算作答.【詳解】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有（個(gè)）.故選：D6．（2023下·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）有序數(shù)對(duì)滿足，且使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則這樣的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．14 C．13 D．10【答案】A【分析】分情況討論即可計(jì)算有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有為實(shí)根，則有4種可能；（2）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，所以，所以.當(dāng)時(shí)，有4種.當(dāng)時(shí)，有4種.當(dāng)時(shí)，有3種.所以，有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.故選：A.7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上中的某一個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)），則頂點(diǎn)處的數(shù)字都大于頂點(diǎn)處的數(shù)字的標(biāo)注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種【答案】D【分析】按頂點(diǎn)處標(biāo)注的數(shù)字分類(lèi)討論，利用分類(lèi)加法和乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】按頂點(diǎn)處標(biāo)注的數(shù)字分類(lèi)，有如下幾種情況：若處都標(biāo)注的是4，則處的標(biāo)注方法有（種）；若處都標(biāo)注的是3，則處的標(biāo)注方法有（種）；若處都標(biāo)注的是2，則處的標(biāo)注方法有1種；若處標(biāo)注的是4和3兩個(gè)數(shù)字，則處的標(biāo)注方法有（種），不同的標(biāo)注方法共有（種）；若處標(biāo)注的是4和2兩個(gè)數(shù)字，則處的標(biāo)注方法有1種，不同的標(biāo)注方法共有（種）；若處標(biāo)注的是3和2兩個(gè)數(shù)字，則處的標(biāo)注方法有1種，不同的標(biāo)注方法共有（種）.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，頂點(diǎn)處的數(shù)字都大于頂點(diǎn)處的數(shù)字的標(biāo)注方法共有（種）.故選:D.8．（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末）根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)勞動(dòng)人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù).算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來(lái)表示數(shù)字，如圖所示.如果用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出一共擺出的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，再求出個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算即可.【詳解】用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，共可以擺出個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位和十位上的算籌都為1有種，個(gè)位和十位上的算籌都為2有種，個(gè)位和十位上的算籌都為3有種，個(gè)位和十位上的算籌都為4有種，個(gè)位和十位上的算籌都為5有種，共有種，所以個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的有種，所以個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為.故選：B二、多選題9．（2023下·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法【答案】ABD【分析】利用排列知識(shí)計(jì)算得到選項(xiàng)ABD正確；若要選出不同顏色的2個(gè)球，有種不同的選法，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.【詳解】解：A.從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；B.若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；C.若要選出不同顏色的2個(gè)球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD10．（2023下·山東棗莊·高二棗莊八中?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種【答案】ABC【分析】利用加法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)A；利用乘法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)B；利用乘法及加法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)C；利用間接法并結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)：，故A正確；對(duì)于B，每組選1名組長(zhǎng)的選法：，故B正確；對(duì)于C，2人需來(lái)自不同的小組的選法：，故C正確；對(duì)于D，依題意：若不考慮限制，每個(gè)人有4種選擇，共有種選擇，若第一組沒(méi)有人選，每個(gè)人有3種選擇，共有種選擇，所以不同的選法有：，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.三、填空題11．（2023上·山東日照·高二日照一中?？茧A段練習(xí)）某次足球比賽共12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行（1）小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；（2）半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場(chǎng)交叉淘汰賽（每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng)決出勝者；（3）決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加決賽一場(chǎng)，決出勝負(fù)．則全部賽程共需比賽場(chǎng)．【答案】【分析】分別計(jì)算出小組賽、半決賽、決賽需要比賽場(chǎng)數(shù)即可得.【詳解】小組賽中每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則需比賽場(chǎng)，半決賽中共需場(chǎng)，決賽需場(chǎng)，故共需場(chǎng).故答案為：.12．（2023下·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谥校┮阎本€中的a，b，c是取自集合中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．【答案】11【分析】設(shè)傾斜角為，由，對(duì)分情況討論，利用計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【詳解】設(shè)傾斜角為，，則，不妨設(shè)，則，若，a有2種取法，b有2種取法，排除1個(gè)重復(fù)(與)，故這樣的直線有條；若，a有2種取法，b有2種取法，c有2種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有條，從而，符合要求的直線有條．故答案為：11．四、解答題13．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知某容器中，H有3種同位素，Cl有2種同位素，Na有3種同位素，O有4種同位素，試問(wèn)一共可以組成多少種HCl和NaOH的分子？【答案】一共可以組成6種HCl分子，和36種NaOH的分子【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】因?yàn)镠Cl由H和Cl組成，且H有3種同位素，Cl有2種同位素，故可以組成種HCl.因?yàn)镹aOH由Na和OH組成，且Na有3種同位素，O有4種同位素，H有3種同位素，故OH有種情況，故可以組成種NaOH的分子.14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用6種不同顏色的彩色粉筆寫(xiě)黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆.若允許同一種顏色多次使用，則該板報(bào)有多少種書(shū)寫(xiě)方案?

【答案】600【分析】根據(jù)分步相乘計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】第一步，選英語(yǔ)角用的彩色粉筆，有6種不同的選法;第二步，選語(yǔ)文學(xué)苑用的彩色粉筆，不能與英語(yǔ)角相同，有5種不同的選法;第三步，選理綜世界用的彩色粉筆，與英語(yǔ)角和語(yǔ)文學(xué)苑用的顏色都不相同，有4種不同的選法;第四步，選數(shù)學(xué)天地用的彩色粉筆，只要與理綜世界不同即可，有5種不同的選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的書(shū)寫(xiě)方案.B能力提升1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門(mén)鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱(chēng)為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個(gè) B．720個(gè) C．810個(gè) D．891個(gè)【答案】D【分析】5位“回文數(shù)