蘇科版九年級數(shù)學上冊壓軸題攻略專題02一元二次方程的解法壓軸題四種模型全攻略特訓(原卷版+解析)

專題02一元二次方程的解法壓軸題四種模型全攻略【類型一解一元二次方程——直接開平方法】例題：（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙夥匠蹋海?）x(x+5)=x-4（2）4（x﹣1）2＝9．(3)；(4)100（x－1）2＝121．【變式訓練1】（2022·全國·九年級單元測試）解方程(x－3)2＝4，最合適的方法是（）A．直接開平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【變式訓練2】（2021·廣東·梅州市學藝中學八年級期末）一元二次方程（x-1）2=4的根是______________.【變式訓練3】（2022·廣東·模擬預測）方程的解是_______．【類型二解一元二次方程——配方法】例題：（2022·河南安陽·九年級期末）解下列方程：(1)；(2)【變式訓練1】（2022·云南·紅河縣教育科學研究室九年級期末）用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【變式訓練2】（2022·遼寧大連·模擬預測）解方程：．【變式訓練3】（2022·上海·八年級開學考試）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．【類型三根據(jù)判別式判斷一元二次方程解得情況】例題：（2022·山東青島·二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則值為__________．【變式訓練1】（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫铝幸辉畏匠虥]有實數(shù)根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0【變式訓練2】（2022·四川成都·九年級期末）已知方程，則該方程的根的情況為（

）A．方程沒有實數(shù)根 B．方程有兩個相等的實數(shù)根C．方程有兩個不相等的實數(shù)根 D．方程的根無法判定【變式訓練3】（2022·河北·一模）新定義運算：，例如，則方程的根的情況為（

）A．沒有實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【類型四解一元二次方程——公式法】例題：（2022·云南文山·九年級期末）按要求解方程．(1)2x2-5x+1＝0(公式法)(2)．（公式法）【變式訓練1】（2022·重慶·西南大學附中八年級期中）計算解方程：【變式訓練2】（2022·重慶市育才中學八年級期中）解方程：(1)；(2)【變式訓練3】（2022·山東煙臺·八年級期中）已知關(guān)于x的方程是一元二次方程．(1)求m的值；(2)解這個一元二次方程．【類型五解一元二次方程——因式分解法】例題：（2022·四川成都·九年級期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【變式訓練1】（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）解方程：(1)；(2)．【變式訓練2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校八年級期中）解下列方程：(1)(2)【變式訓練3】（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校八年級期中）解方程：(1)(2)【課后訓練】一、選擇題1．（2022·四川成都·九年級期末）方程x（x﹣3）＝0的根是（

）A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣32．（2022·海南三亞·一模）一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南周口·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)m的取值有關(guān)C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根4．（2022·重慶·西南大學附中八年級期中）若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且5．（2022·全國·九年級單元測試）若對于任意實數(shù)a，b，c，d，定義

＝ad－bc，按照定義，若＝0，則x的值為（

）A． B． C．3 D．二、填空題6．（2022·浙江寧波·一模）代數(shù)式與4x的值相等，則x的值為________．7．（2022·廣西梧州·一模）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是__________．8．（2022·四川成都·九年級期末）若時，代數(shù)式的為0，則代數(shù)式________．9．（2022·陜西西安·三模）對于任意實數(shù)、，定義一種運算：，若，則的值為________．10．（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是__________．三、解答題11．（2022·浙江紹興·八年級期中）解方程：(1)(2)12．（2022·云南·紅河縣教育科學研究室九年級期末）（1）．（2）．13．（2021·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）解下列方程：(1)；(2)．14．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級期末）解方程：(1)；(2)．15．（2022·全國·九年級單元測試）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2－x－1＝0；(2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－2x＋1＝0；(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．16．（2022·四川成都·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．17．（2022·河北承德·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有一個根為0，求p的值及另一個根；(2)若，求方程的解；18．（2022·北京海淀·二模）關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)當m取最小的整數(shù)時，求此時的方程的根．專題02一元二次方程的解法壓軸題四種模型全攻略【類型一解一元二次方程——直接開平方法】例題：（2022·上海·八年級期末）解方程：（1）x(x+5)=x-4（2）4（x﹣1）2＝9．(3)；(4)100（x－1）2＝121．【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)，；(4)x1＝，x2＝－【解析】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后選取適當?shù)姆椒纯汕蠼猓驹斀狻拷猓海?），，，．（2）4（x﹣1）2＝9，則（x﹣1）2＝，故x﹣1＝±，解得：x＝或x＝﹣．(3)移項得：，開平方得：，解得：，；(4)解∶（x－1）2＝，x－1＝±，即x1＝，x2＝－．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法是關(guān)鍵．【變式訓練1】（2022·全國·九年級單元測試）解方程(x－3)2＝4，最合適的方法是（）A．直接開平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【答案】A【解析】【分析】觀察方程特點確定出適當?shù)慕夥纯桑驹斀狻拷猓悍匠?x－3)2＝4，最合適的方法是直接開平方法；故答案為：A【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．【變式訓練2】（2021·廣東·梅州市學藝中學八年級期末）一元二次方程（x-1）2=4的根是______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直接開平方法解一元二次方程即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】（2022·廣東·模擬預測）方程的解是_______．【答案】【解析】【分析】先移項化為，再利用直接開平方的方法解方程即可.【詳解】解：即或故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵.【類型二解一元二次方程——配方法】例題：（2022·河南安陽·九年級期末）解下列方程：(1)；(2)【答案】(1)，；(2)【解析】【分析】（1）先移項，然后配方，再開平方，求出方程的解即可；（2）先移項，然后分解因式，最后求出方程的解即可．(1)解：，移項得：，配方得：，即，開平方得：，∴，．(2)，，，，，解得．【點睛】本題主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟練進行配方和因式分解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】（2022·云南·紅河縣教育科學研究室九年級期末）用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先將二次項配成完全平方式，再將常數(shù)項移項，即得答案．【詳解】解：∵，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．【變式訓練2】（2022·遼寧大連·模擬預測）解方程：．【答案】,【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．【詳解】解：x2+4x=8，x2+4x+4=8+4，，，，．【點睛】本題考查利用配方法解一元二次方程，解決問題的關(guān)鍵是降次．【變式訓練3】（2022·上海·八年級開學考試）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．【答案】x1＝2+，x2＝2﹣【解析】【分析】根據(jù)配方法即可求解．【詳解】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．【類型三根據(jù)判別式判斷一元二次方程解得情況】例題：（2022·山東青島·二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則值為__________．【答案】1【解析】【分析】由題意知，，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的個數(shù)與判別式的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于明確當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．【變式訓練1】（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫铝幸辉畏匠虥]有實數(shù)根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0【答案】C【解析】【分析】分別計算四個方程的根的判別式Δ＝b2﹣4ac，然后根據(jù)△的意義分別判斷方程根的情況．【詳解】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以A選項不符合題意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，B選項不符合題意；C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有沒有的實數(shù)根，所以C選項符合題意；D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，則Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以D選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．【變式訓練2】（2022·四川成都·九年級期末）已知方程，則該方程的根的情況為（

）A．方程沒有實數(shù)根 B．方程有兩個相等的實數(shù)根C．方程有兩個不相等的實數(shù)根 D．方程的根無法判定【答案】A【解析】【分析】求出一元二次方程根的判別式的值，判斷即可．【詳解】解：方程x2-2x+4=0，∵a=1，b=-2，c=4，∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0，則方程沒有實數(shù)根．故選：A．【點睛】此題考查了根的判別式，根的判別式大于0，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式等于0，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式小于0，一元二次方程沒有實數(shù)根．【變式訓練3】（2022·河北·一模）新定義運算：，例如，則方程的根的情況為（

）A．沒有實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】D【解析】【分析】根據(jù)新定義，列出方程，再利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，整理得：，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：D【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．【類型四解一元二次方程——公式法】例題：（2022·云南文山·九年級期末）按要求解方程．(1)2x2-5x+1＝0(公式法)(2)．（公式法）【答案】(1)x1＝，x2＝；(2)，【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法，可得方程的解；（2）先計算根的判別式，再利用公式法解方程即可．(1)解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝．(2)解：則解得：【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法與公式法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練1】（2022·重慶·西南大學附中八年級期中）計算解方程：【答案】x1＝，x2＝．【解析】【分析】利用公式法解方程即可．解：，Δ＝，∴，解得：x1＝，x2＝．【點睛】本題考查了公式法解一元二次方程，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式訓練2】（2022·重慶市育才中學八年級期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．（1），，，，，，，，(2)解：方程中的，，則，故．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題關(guān)鍵．【變式訓練3】（2022·山東煙臺·八年級期中）已知關(guān)于x的方程是一元二次方程．(1)求m的值；(2)解這個一元二次方程．【答案】(1)-1(2)，【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義求解即可，一元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可．(1)關(guān)于x的方程是一元二次方程，解得(2)方程為，即，，解得，【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解一元二次方程，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【類型五解一元二次方程——因式分解法】例題：（2022·四川成都·九年級期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通過移項，分解因式，化為一元一次方程，即可求解；（2）通過移項，分解因式，化為一元一次方程，即可求解．(1)解：x2﹣4x＝5，移項得：x2﹣4x-5=0，分解因式得：（x-5）（x+1）=0，∴x-5=0或x+1=0，解得：；(2)解：2（x+1）2＝x（x+1），移項得：2（x+1）2-x（x+1）=0，分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，∴x+1=0或2x+2-x=0，解得：．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)或；(2)或【解析】【分析】（1）運用公式法解一元二次方程即可；（2）運用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵∴解得：或；(2)∵∴，解得：或．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校八年級期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：∴，(2)∴，【點睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法，因式分解是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練3】（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校八年級期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)，．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)解：，即，∴方程的根為：，；(2)解：，提取因式可得：，∴方程的根為：，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【課后訓練】一、選擇題1．（2022·四川成都·九年級期末）方程x（x﹣3）＝0的根是（

）A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：x（x﹣3）＝0解得：x1＝0，x2＝3故選C【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·海南三亞·一模）一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用完全平方公式變形，進而求解即可．【詳解】，，，，故選：D．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南周口·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)m的取值有關(guān)C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【解析】【分析】先求出判別式的值，再根據(jù)根的判別式判斷即可．【詳解】解：，b2-4ac，不論為何值，，b2-4ac，方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程、、為常數(shù)，，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．4．（2022·重慶·西南大學附中八年級期中）若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【解析】【分析】討論：當k=0時，方程為一元一次方程，有一個實數(shù)解；當k≠0時，Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0時有實數(shù)解，此時k≥-且k≠0，然后綜合兩種情況得到k的取值范圍．【詳解】解：當k=0時，方程化為-x-1=0，解得x=-1；當k≠0時，根據(jù)題意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥-且k≠0，綜上所述，k的取值范圍為k≥-．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．5．（2022·全國·九年級單元測試）若對于任意實數(shù)a，b，c，d，定義

＝ad－bc，按照定義，若＝0，則x的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)新定義可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：由題意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），整理得：x2=3，兩邊直接開平方得：x=±，故選：D．【點睛】此題主要考查了新定義，一元二次方程的解法--直接開平方法，關(guān)鍵是正確理解題意，列出方程．二、填空題6．（2022·浙江寧波·一模）代數(shù)式與4x的值相等，則x的值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：x2-2x=4x，整理得：x2-6x=0，分解因式得：x（x-6）=0，所以x=0或x-6=0，解得：x1=0，x2=6，故答案為：x1=0，x2=6．【點睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法的方法步驟．7．（2022·廣西梧州·一模）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】a≤2【解析】【分析】關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+a=0有實數(shù)根，則根的判別式△≥0，據(jù)此可以列出關(guān)于a的不等式，通過解不等式即可求得a的值．【詳解】解：由題意，得Δ=42-4×2a≥0，解得a≤2．故答案是：a≤2．【點睛】本題考查了根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．8．（2022·四川成都·九年級期末）若時，代數(shù)式的為0，則代數(shù)式________．【答案】或##2或-6【解析】【分析】把代入，=0，先求解m的值，再分情況代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：時，代數(shù)式的為0，解得：當時，當時，故答案為：或．【點睛】本題考查的是解一元二次方程，代數(shù)式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．9．（2022·陜西西安·三模）對于任意實數(shù)、，定義一種運算：，若，則的值為________．【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)定義即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【詳解】解：根據(jù)題意得：得解得故答案為：-1【點睛】本題考查了新定義運算，一元二次方程的解法，理解題意，列出方程是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】當時，解一元一次方程可得出方程有解；當時，利用根的判別式，即可求出k的取值范圍．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】當，即時，方程為，解得，符合題意；②當，即時，，即，解得：且．綜上即可得出k的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式，分二次項系數(shù)為零和非零兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·浙江紹興·八年級期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）提取公因式利用因式分解的方法解方程即可；（2）在方程兩邊都加上4，利用配方法解方程即可．(1)解：∵，∴，∴x=0，或3x-2=0，，∴，(2)解：∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是因式分解法，配方法解一元二次方程，掌握“因式分解法與配方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·云南·紅河縣教育科學研究室九年級期末）（1）．（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先移項，再直接開平方即可求解；（2）采用十字相乘將等號左側(cè)進行因式分解，求解即可．【詳解】（1）解：，∴，∴．（2）解：，∴或，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法等，選擇合適的方法是解題關(guān)鍵．13．（2021·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移項，利用因式分解法解方程即可；(1)解：∵，，．∴，∴．∴，．(2)原方程可變形為，因式分解為．，或，∴，．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋瑢儆谥锌汲？碱}型．14．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）方程直接用開平方法求解即可；（2）方程移項后，運用因式分解法求解即可．(1)，，，∴；(2)，，，，∴．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法、結(jié)合方程的特點選擇合適簡捷的方法是解題的關(guān)鍵．15．（2022·全國·九年級單元測試）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2－x－1＝0；(2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－2x＋1＝0；(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．【答案】(1)，(2)x1＝，x2＝2(3)x1＝，x2＝(4)x1＝－4，x2＝－5【解析】【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∴x＝＝即原方程的根為x1＝，x2＝(2)解：移項，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∴x1＝，x2＝2．(3)解：配方，得（x－）2＝1，∴x－＝±1．∴x1