2020-2021學(xué)年江蘇省八校高一下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年江蘇省八校高一下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡即可判斷；【詳解】解：，故其虛部為故選：C2．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒夾谷28粒，則這批米谷約為（）A．134石 B．169石 C．338石 D．454石【答案】B【分析】根據(jù)條件“254粒夾谷28?！奔纯晒烙嬤@批米內(nèi)夾谷大約多少.【詳解】由題意可知：這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.【點睛】本題主要考查了用樣本估計總體，用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，屬于容易題.3．“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟市，該樓有三層，前對中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留，故有此名．下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計）從地面點看樓頂點的仰角為30°，沿直線前進(jìn)79米到達(dá)點，此時看點的仰角為45°，若，則樓高約為（）．A．65米 B．74米 C．83米 D．92米【答案】B【分析】設(shè)的高度為，在直角三角形中用表示出，由可求得得樓高．【詳解】設(shè)的高度為，則由已知可得，，，所以，解得，所以樓高（米）．故選：B．【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．4．歐拉是一位杰出的數(shù)學(xué)家，為數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)，著名的歐拉公式：，將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.結(jié)合歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二條限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先將歐拉公式代入，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡得到答案.【詳解】因為，所以所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查的是復(fù)數(shù)的運算，屬于比較常見的簡單題型.5．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：圖1圖2①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）．其中正確結(jié)論為（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根據(jù)圖形的特征進(jìn)行判斷即可.【詳解】由圖:正八邊形，因為與的夾角為，故①錯誤；因為，故②錯誤；因為,故③正確；因為在上的投影向量與向量反向，故④錯誤；故選：C【點睛】本題主要考查向量的加減法及向量的投影向量等，屬于簡單題.6．在下列條件中，可判定平面與平面平行的是A．，都平行于直線B．內(nèi)存不共線的三點到的距離相等C．，是內(nèi)的兩條直線，且，D．，是兩條異面直線，且，，，【答案】D【分析】試題分析：通過舉反例推斷A、B、C是錯誤的，即可得到結(jié)果．【詳解】解：A中：直線不在內(nèi)與交線平行，此時都與直線平行，但兩平面相交，A錯誤．B中：如果這三個點在平面的兩側(cè)，滿足不共線的三點到β的距離相等，這兩個平面相交，B錯誤．C中：如果這兩條直線平行，那么平面α與β可能相交，所以C錯誤．故選：D．7．在四棱錐中，四邊形是矩形，，動點在線段上，平面，則當(dāng)最小時，直線與平面所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將沿BC翻折到的位置，使得與四邊形ABCD共面，連接交BC于點M，此時最小，在三角形中求即為直線EM與平面ABCD所成的角．【詳解】解：由題意可知為直線EM與平面ABCD所成的角．由平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，可推證平面EAB，將沿BC翻折到的位置，使得與四邊形ABCD共面，連接交BC于點M，此時最小．又，，，在中，，所以，，又為直角三角形，所以EM與平面ABCD所成的角正切值為．故選：B．8．已知非零向量與滿足且，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得三角形為等腰三角形，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得，最后根據(jù)面積公式可得．【詳解】解：因為，所以的平分線與邊垂直，所以，取中點，連接，，因為，所以，于是，，所以．故選：A．二、多選題9．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．的虛部為C．復(fù)數(shù)是方程的一個虛根D．若復(fù)數(shù)滿足，則【答案】ACD【分析】復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），，利用復(fù)數(shù)的運算法則可得，進(jìn)而判斷出AB的正誤；把代入方程的左邊驗證是否等于0，即可判斷出C的正誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷出D的正誤．【詳解】解：復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），，，的虛部為，可得A正確，B不正確；，因此是方程的一個虛根，可得C正確．對于D，復(fù)數(shù)滿足，設(shè)，，，則表示點與圓上的點之間的距離，則，復(fù)數(shù)滿足，則，因此D正確．故選：ACD．10．關(guān)于平面向量、、，下列說法不正確的是（）A．若，，則B．C．若，且，則D．若，則【答案】ABD【分析】本題可通過為零向量判斷出A錯誤以及D錯誤，然后通過與方向不一定相同判斷出B錯誤，最后通過向量的數(shù)量積公式求出平面向量、之間的夾角，C正確.【詳解】A項：若為零向量，則不一定與平行，A錯誤；B項：與是實數(shù)，與方向不一定相同，B錯誤；C項：，令平面向量、之間的夾角為，則，即，，，，C正確；D項：若為零向量，則不一定等于，D錯誤，故選：ABD.11．2019年4月，我省公布新高考改革“”模式．“3”即語文、數(shù)學(xué)、外語為必考科目．“1”即首選科目，考生須在物理、歷史中二選一．“2”即再選科目，考生在化學(xué)、生物、思想政治、地理中四選二．高校各專業(yè)根據(jù)本校培養(yǎng)實際，對考生的物理或歷史科目提出要求．如圖所示，“僅物理”表示首選科目為物理的考生才可報考，且相關(guān)專業(yè)只在物理類別下安排招生計劃；“僅歷史”表示首選科目為歷史的考生才可報考，且相關(guān)專業(yè)只在歷史類別下安排招生計劃；“物理或歷史”表示首選科目為物理或歷史的考生均可報考，且高校要統(tǒng)籌相關(guān)專業(yè)在物理歷史類別下安排招生計劃根據(jù)圖中數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是（）A．選物理或歷史的考生均可報的大學(xué)專業(yè)占49.64%B．選物理的考生可報大學(xué)專業(yè)占47.53%C．選歷史的考生大學(xué)錄取率為2.83%D．選歷史的考生可報大學(xué)專業(yè)占52.47%【答案】AD【分析】由已知逐個驗證選項即可．【詳解】解：A：由圖表可知選物理或歷史的考生均可報的大學(xué)專業(yè)占，故A正確；B：由圖表可知選物理的考生可報大學(xué)專業(yè)占，故B錯誤；C：題目中未給出錄取率相關(guān)數(shù)據(jù)，故C錯誤；D：由圖表可知：選歷史的考生可報大學(xué)專業(yè)占，故D正確．故選：AD．12．已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD相交于點O．將△ABD沿BD折起，使頂點A至點M，在折起的過程中，下列結(jié)論正確的是（）A．BD⊥CMB．存在一個位置，使△CDM為等邊三角形C．DM與BC不可能垂直D．直線DM與平面BCD所成的角的最大值為60°【答案】ABD【分析】畫出圖形，利用直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系判斷選項的正誤即可．【詳解】對A，菱形中，，與相交于點．將沿折起，使頂點至點，如圖：取的中點，連接，，可知，，所以平面，可知，故A正確；對B，由題意可知，三棱錐是正四面體時，為等邊三角形，故B正確；對C，三棱錐是正四面體時，與垂直，故C不正確；對D，平面與平面垂直時，直線與平面所成的角的最大值為，故D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查空間幾何體的直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合判斷、命題的真假的判斷，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力．三、填空題13．?dāng)?shù)據(jù)，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為______．【答案】7或【分析】結(jié)合方差的概念得到，然后化簡整理得到，又因為數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，帶入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】數(shù)據(jù)，，的方差為，平均數(shù)為，因為數(shù)據(jù)，，的方差為，所以，，而，所以，即，故，即，數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，即或故答案為：7或14．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】由條件可知，且除去與共線時的的值.【詳解】與均為非零向量，且夾角為銳角，，即.當(dāng)與共線時，存在實數(shù)m，使，即，即當(dāng)時，與共線.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：15．如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，，設(shè)∥，若，則的值為______．【答案】【詳解】試題分析：因為所以.又∥，可設(shè)從而.因為，所以.【解析】向量共線表示四、雙空題16．已知長方體的頂點都在球的表面上，且，則球的表面積為______.若與所成的角為，則與所成角的余弦值為______.【答案】或【分析】空1：根據(jù)長方體外接球的性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式進(jìn)行求解即可；空2：根據(jù)異面直線所成角的定義，分類討論，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】空1：如圖，在長方體中，因為，所以.因為為球的一條直徑，所以球的半徑，所以球的表面積為.空2：因為與所成的角為，，所以或，若，則.因為，所以.又，所以為與所成的角（或補角）.在中，，.由余弦定理可得，若，所以有，則，同理可求得，所以與所成的余弦角為或.故答案為：；或【點睛】本題考查了求長方體外接球表面積，考查了異面直線的所成角問題，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.五、解答題17．已知復(fù)數(shù)，是實數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的根，求實數(shù)b和c的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡得，結(jié)合是實數(shù)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)是方程的根，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，列出方程，即可求解.【詳解】（1）因為，可得，又由是實數(shù)，可得，解得，所以．（2）因為是方程的根，所以，即，可得，解得.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，以及復(fù)數(shù)相等的概念求參數(shù)，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運算法則，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.18．如圖，四邊形為正方形，平面，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）通過說明四邊形為平行四邊形，得到，從而得到平面；（2）利用勾股定理得到，結(jié)合，得到平面．【詳解】證明：（1）取中點，連接，，在中，，分別為，的中點，∴，且，由已知中，，，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵四邊形為正方形，∴，又∵正方形與梯形所在的平面互相垂直，且平面，∴平面，∵平面，∴，在直角梯形中，，，可得，在中，，，∴，即，又，、平面，∴平面．19．某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布表和頻率分布直方圖：分組（日銷售量）頻率（甲種酸奶）[0，10]0．10（10，20]0．20（20，30]0．30（30，40]0．25（40，50]0．15（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖中的的值，并作出甲種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖；（Ⅱ）記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為，，試比較與的大??；（只需寫出結(jié)論）（Ⅲ）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計乙種酸奶在未來一個月（按30天計算）的銷售總量．【答案】（Ⅰ）a=0．015；（Ⅱ）（Ⅲ）795【詳解】試題分析：（Ⅰ）由各小矩形面積和為1可得到，（Ⅱ）由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比較集中散，而乙較為分散，故；（Ⅲ）乙種酸奶平均日銷售量為：（箱），乙種酸奶未來一個月的銷售總量為：（箱）試題解析：（Ⅰ）；（Ⅱ）．（Ⅲ）乙種酸奶平均日銷售量為：（箱）．乙種酸奶未來一個月的銷售總量為：（箱）．【解析】概率與統(tǒng)計20．在；；這三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上并作答.問題:在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，求的面積.【答案】條件性選擇見解析，【分析】選①，由正弦定理得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得，即可得出面積.選②,由兩角和差的余弦公式，可得，再由余弦定理可得，即可得出面積.選③，切化弦可得，再由余弦定理可得，即可得出面積.【詳解】選①，由正弦定理得，因為，所以，所以，化簡得，所以，因為，所以，因為，所以，所以；選②因為，所以，所以，因為為三角形的內(nèi)角，所以，因為，所以，所以；選③因為，所以由正弦定理可得:，可得，可得，因為，所以解得，因為，所以，因為，所以，所以.21．如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點，PN⊥AB．（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理證出平面ABCD，再利用已知條件求，觀察圖像可得，即可得出結(jié)論；（2）取DN中點E，連接ME，過E作，利用已知條件得出即為該二面角的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識求出二面角的平面角即可.【詳解】（1），又，，AB、平面，平面ABCD，，，M為PD中點，，；（2）取DN中點E，連接ME，、E為中點，，平面ABCD，平面ABCD，過E作，,平面，，即為該二面角的平面角，，，，，，，.即該二面角的正切值為.【點睛】本題主要考查了用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及求二面角的平面角與幾何體的體積.屬于中檔題.22．在中，、、分別為角、、的對邊，若.（1）判斷的形狀，并證明；（2）若，，為滿足題設(shè)條件的所有中線段上任意一點（可與端點重合），求的最小值.【答案】（1）為直角三角形，證明見解析；（2）.【分析】（1）由等式結(jié)合正弦定理邊角互化