5.1 任意角和弧度制透課堂-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計(jì)劃系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）

2021-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計(jì)劃系列(人教A版2019必修第一冊(cè))第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】考點(diǎn)一：任意角1．角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角α的頂點(diǎn)．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3．角的分類：名稱定義圖示正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角考點(diǎn)二角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考點(diǎn)三象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．考點(diǎn)四終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．考點(diǎn)五：度量角的兩種單位制1．角度制：(1)定義：用度作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角．考點(diǎn)六：弧度數(shù)的計(jì)算考點(diǎn)七：角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)考點(diǎn)八：弧度制下的弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR. (2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.【考題透析】透析題組一：任意角的概念1．（2021·安徽·蚌埠二中高一期中）下列說法中，正確的是（）A．銳角是第一象限的角 B．終邊相同的角必相等C．小于的角一定為銳角 D．第二象限的角必大于第一象限的角2．（2021·河南·鄭州四中高一月考）已知集合第二象限角，鈍角，小于180°的角，則A，B，C關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．3．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）下列說法：①終邊相同的角必相等；②銳角必是第一象限角；③小于的角是銳角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角是第三或第四象限角，其中錯(cuò)誤的是（）A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤4．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）與1°角終邊相同的角的集合是（）A． B．C． D．透析題組二：終邊相同的角5．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）以下命題正確的是（）A．第二象限比第一象限角大B．，，則C．若（），則為第一或第二象限角D．終邊在x軸上的角可表示為（）6．（2019·福建·莆田第十五中學(xué)高一期中）下列命題正確的是（）A．小于的角一定是銳角B．終邊相同的角一定相等C．終邊落在直線上的角可以表示為，D．若，則角的正切值等于角的正切值透析題組三：象限角7．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若α是第一象限的角，則是（）A．第一象限角 B．第四象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角8．（2021·江西·橫峰中學(xué)高一月考（理））已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角9．（2021·海南·白沙黎族自治縣白沙中學(xué)高一期中）“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件透析題組四：度量角的兩種單位制（角度制和弧度制）10．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）下列敘述中，正確的是（）A．1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角的和D．1弧度是長度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角，它是角的一種度量單位11．（2020·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．弧度制下，角與實(shí)數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關(guān)12．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)透析題組五：角度與弧度的互化13．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在直徑為的圓中，圓心角所對(duì)的弧長為（）A． B． C． D．14．（2021·遼寧·葫蘆島市第八高級(jí)中學(xué)高一月考）把化為的形式是（）A． B． C． D．15．（2020·山東·濟(jì)南市長清第一中學(xué)高一月考）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是（）A．60化成弧度是 B．150化成弧度是C．化成度是600 D．化成度是15透析題型六：與扇形的弧長、面積有關(guān)的計(jì)算16．（2021·四川·綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）已知扇形的半徑為，面積為，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．17．（2021·廣東·仲元中學(xué)高一期中）已知一個(gè)母線長為的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．18．（2021·安徽宿州·高一期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（弦×矢+矢），弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，弧長等于米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是（）平方米.A． B． C． D．【考點(diǎn)同練】一、單選題19．（2021·四川省瀘縣第一中學(xué)高一月考（理））若是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角20．（2021·福建·三明一中高三期中）“角小于”是“角是第一象限角”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件21．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）與800°角終邊相同的角可以表示為（），．A． B．C． D．22．（2020·廣東揭東·高一期末）工藝扇面是中國書面一種常見的表現(xiàn)形式.某同學(xué)想用布料制作一面如圖所示的扇面.已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為20cm，內(nèi)圓半徑為10cm.則制作這樣一面扇面需要的布料為（）cmA． B． C． D．23．（2020·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一期中（文））在半徑為15cm的圓上，一扇形所對(duì)的圓心角為，則此扇形的面積為（）A．5 B．C． D．24．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)25．（2021·全國·高三專題練習(xí)）若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，則弧長l等于（）A．πcm B．πcmC．4cm D．8cm26．（2021·上海市建青實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）在平面直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的是（）A．小于的角一定是銳角 B．第二象限的角一定是鈍角C．始邊相同且相等的角的終邊一定重合 D．始邊相同且終邊重合的角一定相等二、多選題27．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）[多選題]下列說法正確的有（）A．終邊相同的角一定相等B．鈍角一定是第二象限角C．第一象限角可能是負(fù)角D．小于90°的角都是銳角28．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）[多選題]下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的有（）A．60°化成弧度是 B．化成度是C．化成弧度是 D．化成度是75°29．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）下列與角的終邊不相同的角是（）A． B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)30．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長是，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)可能是（）A． B． C．2 D．或31．（2021·全國·高一專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形（如圖）的面積為，圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，圓心角為，當(dāng)與的比值為（黃金分割比）時(shí)，折扇看上去較為美觀，那么（）A． B． C． D．三、填空題32．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為______．

33．（2020·上海金山·高一期末）半徑為2厘米，圓心角等于的扇形面積等于________平方厘米．34．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知角，則與α終邊相同的最大負(fù)角是______．35．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計(jì)算弧田（弧田就是由圓弧和其所對(duì)弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式：弧田面積=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長為的弧田.其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為_____________平方米.（其中，）四、解答題36．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（包括邊界，如圖7-1-7所示）．37．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，．（1）將，用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；（2）將，用角度制表示出來，并在內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角．38．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知圓O的半徑r為10，弦AB的長為10．

（1）求弦AB所對(duì)的圓心角的大??；（2）求圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長l及陰影部分的面積S．【答案精講】1．A【分析】根據(jù)銳角的定義，可判定A正確；利用反例可分別判定B、C、D錯(cuò)誤，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)銳角的定義，可得銳角滿足是第一象限角，所以A正確；對(duì)于B中，例如：與的終邊相同，但，所以B不正確；對(duì)于C中，例如：滿足，但不是銳角，所以C不正確；對(duì)于D中，例如：為第一象限角，為第二象限角，此時(shí)，所以D不正確.故選：A.2．C【分析】由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關(guān)系，以及A，B，C三者之間的關(guān)系即可．【詳解】由題意得，故A錯(cuò)誤；A與C互不包含，故B錯(cuò)誤；由鈍角小于180°的角，所以，故C正確.由以上分析可知D錯(cuò)誤．故選：C．3．C【分析】①取特殊角：與進(jìn)行判斷；②根據(jù)銳角的范圍直接判斷；③取負(fù)角進(jìn)行否定；④取特殊角進(jìn)行否定；⑤取特殊角進(jìn)行否定．【詳解】①終邊相同的角必相等錯(cuò)誤，如與終邊相同，但不相等；②銳角的范圍為，必是第一象限角，正確；③小于的角是銳角錯(cuò)誤，如負(fù)角；④第二象限的角必大于第一象限的角錯(cuò)誤，如是第二象限角，是第一象限角；⑤若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角是終邊在軸負(fù)半軸上的角，故⑤錯(cuò)誤．其中錯(cuò)誤的是①③④⑤．故選C．【點(diǎn)睛】（1）要證明一個(gè)命題為真命題，需要嚴(yán)格的證明；要判斷一個(gè)命題為假命題，舉一個(gè)反例就可以了.（2）角的概念的辨析題中，通常可以取特殊角來否定結(jié)論.4．C【分析】角的表示方法不一致，排除A，D；選項(xiàng)B表示錯(cuò)誤；根據(jù)終邊相同的角的公式得選C．【詳解】解：角的表示方法要保持一致，排除A，D；選項(xiàng)B表示錯(cuò)誤；而180°角與角對(duì)應(yīng)，于是1°角與角對(duì)應(yīng)，根據(jù)終邊相同的角的公式得選C．故選：C5．B【分析】A：運(yùn)用特例法進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)子集的定義進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)象限角的定義進(jìn)行判斷即可；D：根據(jù)終邊在x軸上的角的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可,【詳解】A不正確，如．在B中，當(dāng)，時(shí)，，，∴，∴B正確．又C中，α為第一或第二象限角或在y軸的非負(fù)半軸上，∴C不正確．顯然D不正確，比如寫不成（）的形式．故選：B6．D【分析】根據(jù)小于的角可以是負(fù)角，可判定A錯(cuò)誤；由與的終邊相同，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)角的終邊相同角的表示，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)誘導(dǎo)公式，可判定D正確.【詳解】根據(jù)角的推廣可得，小于的角可以是負(fù)角，但銳角的范圍是，所以A錯(cuò)誤；例如：角與的終邊相同，但，所以B錯(cuò)誤；由直線，可得直線的傾斜角為，根據(jù)角的終邊相同角的表示，可得終邊落在直線上的角可以表示為或，所以C錯(cuò)誤；由，可得，可得，所以D正確.故選：D.7．D【分析】根據(jù)題意求出的范圍即可判斷.【詳解】由題意知，，，則，所以，．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第四象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第二象限角．所以是第二或第四象限角.故選：D.8．C【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判斷出所在象限．【詳解】因?yàn)榻堑诙笙藿?所以，所以，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．9．D【分析】根據(jù)象限角的范圍，分別求是第一象限的角時(shí)的范圍、是第一象限的角時(shí)的范圍，即可判斷充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)角是第一象限的角，則且，∴不一定是第一象限的角.當(dāng)角是第一象限的角，則且，∴不一定是第一象限角.∴“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的既不充分也不必要條件.故選：D10．D【分析】根據(jù)弧度的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)弧度的定義，在單位圓中，長度為1的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度角.故選：D．11．D【分析】根據(jù)弧度的定義判斷各選項(xiàng)．【詳解】依據(jù)弧度的意義可知A正確；1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正確；根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，C正確；根據(jù)角度制與弧度制的定義可知，角的大小與圓的半徑長短無關(guān)，而是與弧長和半徑的比值有關(guān)，所以D錯(cuò)誤．故選：D．12．D【分析】根據(jù)角度和弧度的定義可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，的角是周角的，的角是周角的，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無關(guān)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查角度制與弧度制相關(guān)概念的判斷，屬于基礎(chǔ)題.13．B【分析】先將角度轉(zhuǎn)化為弧度，再由弧長公式即可求解【詳解】因?yàn)閳A的直徑為，所以圓的半徑因?yàn)椋詧A心角所對(duì)的弧長為,故選：B.14．A【分析】先將角度化為弧度，運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，.故選：A.15．B【分析】由弧度和角度的互化可判斷．【詳解】根據(jù)弧度定義，弧度，弧度＝，

所以弧度，弧度，，，錯(cuò)誤的是B．故選：B．16．D【分析】由扇形面積公式直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，則，解得：，即圓心角弧度數(shù)為.故選：D.17．D【分析】根據(jù)扇形的圓心角、弧長和半徑的關(guān)系以及扇形的面積求解.【詳解】解：將圓心角化為弧度為：，設(shè)圓錐底面圓的半徑為由圓心角、弧長和半徑的公式得：，即由扇形面積公式得：所以圓錐的側(cè)面積為.故選：D.18．D【分析】由已知求得矢和弦長，再由公式計(jì)算．【詳解】設(shè)半徑為，則，，所以弦長為，矢為，所以弧田面積為．故選：D．19．A【分析】由已知中是第二象限的角，可求的范圍，即可判斷得解．【詳解】解：因?yàn)椋航鞘堑诙笙藿?，所以：，則：，故是第一象限角．故選：A．20．D【分析】利用特殊值法結(jié)合充分、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若角小于，取，此時(shí)，角不是第一象限角，即“角小于”“角是第一象限角”；若角是第一象限角，取，此時(shí)，，即“角小于”“角是第一象限角”.因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要條件.故選：D.21．C【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義可求出.【詳解】與800°角終邊相同的角可以表示為（），即（）．故選：C.22．B【分析】分別求出兩個(gè)扇形的面積，相減即可得解.【詳解】解：扇形的圓心角為大扇形的面積為，小扇形的面積為，所以制作這樣一面扇面需要的布料為.故選：B.23．D【分析】用扇形面積公式求解【詳解】由已知得扇形的半徑，扇形所對(duì)的圓心角為，則此扇形的面積為.故選：D.24．D【分析】利用角度和弧度的定義及轉(zhuǎn)化關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)角度和弧度的概念可知二者都是角的度量單位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正確；1rad的角是，故C正確；無論哪種角的度量方法，角的大小都與圓的半徑無關(guān)，只與角的始邊和終邊的位置有關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選：D25．B【分析】由圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm解直角三角形求圓的半徑，再由弦長公式求弦長.【詳解】設(shè)扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝，得r＝4cm，∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝cm，故選：B.26．C【分析】根據(jù)象限角的定義、終邊相同的角的定義以及相關(guān)概念，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：小于的角不一定是銳角，如負(fù)角和零角均小于，但不是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：鈍角是第二象限角，但是反過來不正確，比如是第二象限角但不是鈍角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：始邊相同且相等的角的終邊一定重合，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：始邊相同且終邊重合的角不一定相等，可以相差的整數(shù)倍，故D錯(cuò)誤.故選：C.27．BC【分析】對(duì)于A：取特殊角30°和390°.即可否定結(jié)論；對(duì)于B：由第二象限角的范圍直接判斷；對(duì)于C：取特殊角－330°即可判斷；對(duì)于D：取特殊角－45°角進(jìn)行否定結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：終邊相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A不正確；對(duì)于B：因?yàn)殁g角的大小在，所以鈍角一定是第二象限角，故B正確；對(duì)于C：如－330°角是第一象限角，所以C正確；對(duì)于D：，－45°角它不是銳角，所以D不正確.故選：BC．28．AB【分析】直接根據(jù)角度與弧度的互化即可得到.【詳解】，A對(duì)；，B對(duì)；，C錯(cuò)；，D錯(cuò)．故選AB．29．ABD【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義即可判斷.【詳解】與角的終邊相同的角為，其余三個(gè)角的終邊與角的終邊不同．故選：ABD.30．AC【分析】根據(jù)弧長公式和面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，∴解得或，則或1.故選：AC．31．BCD【分析】利用扇形的面積公式以及角度制與弧度制的互化即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由，故D正確；由，所以，解得，故C正確；由，則，所以，所以，故B正確.故選：BCD32．【分析】求出終邊在直線OM上、直線ON上的角的集合進(jìn)行求