5.1.2 弧度制-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版必修第一冊）

5.1.2弧度制【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解弧度制的概念；2.能進(jìn)行角度與弧度的互化；3.會利用弧度制證明并應(yīng)用扇形周長及面積公式.1.直觀想象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一．度量角的兩種制度角度制：1度角等于周角的：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做二．弧度數(shù)的計(jì)算三．角度與弧度的互化180°＝rad1°＝rad；1rad＝（）°四．弧度制下的弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝(2)面積公式：S=＝【小試牛刀】判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)【經(jīng)典例題】題型一角度制與弧度制的互化例1.【跟蹤訓(xùn)練】1已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，試比較α，β，γ，θ，φ的大小.題型二用弧度制表示有關(guān)的角例2將－1125°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判斷它是第幾象限角？【跟蹤訓(xùn)練】2用弧度制表示終邊落在如圖（右）所示陰影部分內(nèi)的角θ的集合.利用弧度制證明并利用扇形公式：例3【跟蹤訓(xùn)練】3(1)已知一扇形的圓心角是72°，半徑為20，求扇形的面積.(2)已知扇形的周長為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù).【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1．自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時針轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5)C.eq\f(5π,22)D.eq\f(22π,5)2.(多選)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)3.－135°化為弧度為______，eq\f(11π,3)化為角度為________.4.已知一扇形的周長為4，當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時，扇形的面積最大？最大值是多少？【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】度弧度半徑長正負(fù)02π360°π180°αR【小試牛刀】√×√√【經(jīng)典例題】例1課本例題【跟蹤訓(xùn)練】1解α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12)，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12)，∵eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12)，∴α<β<γ<θ＝φ.例2解－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).其中eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，因?yàn)閑q\f(7π,4)是第四象限角，所以－1125°是第四象限角.【跟蹤訓(xùn)練】2解終邊落在射線OA上的角為θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.終邊落在射線OB上的角為θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，故終邊落在陰影部分的角θ的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ≤θ≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))例3課本例題【跟蹤訓(xùn)練】3（1）解設(shè)扇形弧長為l，因?yàn)閳A心角72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)rad，所以扇形弧長l＝|α|·r＝eq\f(2π,5)×20＝8π，于是，扇形的面積S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)×8π×20＝80π.（2）解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長為lcm，半徑為Rcm，依題意有eq\b\lc\{\rc\