2019年高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2019年高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)一、選擇題1．如圖，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn),分別在拋物線和圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是()A． B． C． D．2．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．3．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x34y12對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是A． B． C． D．4．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．5．若滿足，則為（）A．等邊三角形 B．有一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形C．等腰直角三角形 D．有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形6．一個(gè)頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有（）A． B． C． D．7．的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，，則()A． B． C． D．8．在“近似替代”中，函數(shù)在區(qū)間上的近似值（）A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值 B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值C．可以是該區(qū)間內(nèi)的任一函數(shù)值） D．以上答案均正確9．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．10．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值是（）A． B．1C．10 D．1211．已知為等邊三角形，，設(shè)，滿足，，若，則（）A． B． C． D．12．在中，，，，則（）A． B． C． D．二、填空題13．設(shè),且,則______.14．雙曲線(，)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長為2，則a=_______________.15．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則的面積為______．16．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）17．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，如圖一平行于軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平行軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為__________．18．若，則_____________．19．已知正三棱錐的底面邊長為3，外接球的表面積為，則正三棱錐的體積為________.20．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_______________.三、解答題21．已知平面直角坐標(biāo)系.以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的普通方程；（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線（為參數(shù)）距離的最小值.22．已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.23．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.24．如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點(diǎn)E..（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.25．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，，，分別是，，的中點(diǎn).求證：（1）直線平面；（2）平面平面.26．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，將，分別沿DE，DF折起，使得A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)M．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．B解析：B【解析】【分析】圓（y﹣1）2+x2＝4的圓心為（0，1），半徑r＝2，與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A+1，|AB|＝y(tǒng)B﹣yA，即可得出三角形ABF的周長＝2+yA+1+yB﹣yA＝y(tǒng)B+3，利用1＜yB＜3，即可得出．【詳解】拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，圓（y﹣1）2+x2＝4的圓心為（0，1），與拋物線的焦點(diǎn)重合，且半徑r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A+1，|AB|＝y(tǒng)B﹣yA，∴三角形ABF的周長＝2+yA+1+yB﹣yA＝y(tǒng)B+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周長的取值范圍是（4，6）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的周長，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2．A解析：A【解析】【分析】【詳解】由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.3．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)的數(shù)值變化規(guī)律推測二者之間的關(guān)系，最貼切的是二次關(guān)系.【詳解】根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得出，近似增加一個(gè)單位時(shí)，的增量近似為2.5，3.5，4.5，6，比較接近，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定擬合曲線，求解關(guān)鍵是觀察變化規(guī)律，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).4．D解析：D【解析】【分析】【詳解】因?yàn)?，，所以，，且，所以，，所?故選D.5．C解析：C【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合條件可得，從而得三角形的三個(gè)內(nèi)角，進(jìn)而得三角形的形狀.【詳解】由正弦定理可知，又，所以，有.所以.所以.所以為等腰直角三角形.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.6．B解析：B【解析】【分析】計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．B解析：B【解析】,所以，整理得求得或若，則三角形為等腰三角形，不滿足內(nèi)角和定理，排除.【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和分類討論思想.當(dāng)求出后，要及時(shí)判斷出，便于三角形的初步定型，也為排除提供了依據(jù).如果選擇支中同時(shí)給出了或，會(huì)增大出錯(cuò)率.8．C解析：C【解析】【分析】【詳解】根據(jù)近似替代的定義，近似值可以是該區(qū)間內(nèi)的任一函數(shù)值），故選C．9．D解析：D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．10．C解析：C【解析】【分析】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐詾轫旤c(diǎn)的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過平面區(qū)域的點(diǎn)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】解答此類問題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯(cuò).11．A解析：A【解析】【分析】運(yùn)用向量的加法和減法運(yùn)算表示向量，，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立關(guān)于的方程，可得選項(xiàng).【詳解】∵，，∴，∴.故選：A.12．C解析：C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理可得結(jié)果.【詳解】解：在中，可得,即，即，解得，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理解三角形的問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用正弦定理公式.二、填空題13．【解析】【分析】變換得到代入化簡得到得到答案【詳解】則故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)對(duì)數(shù)變換換底公式意在考查學(xué)生的計(jì)算能力解析：【解析】【分析】變換得到，，代入化簡得到，得到答案.【詳解】，則，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)對(duì)數(shù)變換，換底公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14．2【解析】試題分析：因?yàn)樗倪呅问钦叫嗡运灾本€的方程為此為雙曲線的漸近線因此又由題意知所以故答案為2【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容解析：2【解析】試題分析：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，所以直線的方程為，此為雙曲線的漸近線，因此，又由題意知，所以，．故答案為2．【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.對(duì)漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會(huì)利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時(shí)為橢圓，當(dāng)時(shí)為雙曲線.15．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函數(shù)公式可求的值根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值利用二倍角公式可求的值根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值即可利用三角形的面積公式計(jì)算得解【詳解】由正弦定解析：【解析】【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式可求的值，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，即可利用三角形的面積公式計(jì)算得解．【詳解】，，，由正弦定理，可得：，可得：，可得：，可得：，可得：，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.16．【解析】【分析】首先想到所選的人中沒有女生有多少種選法再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)之后應(yīng)用減法運(yùn)算求得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意沒有女生入選有種選法從名學(xué)生中任意選人有種選法故至少有位女生入選則不同解析：【解析】【分析】首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)，之后應(yīng)用減法運(yùn)算，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.【點(diǎn)睛】該題是一道關(guān)于組合計(jì)數(shù)的題目，并且在涉及到“至多、至少”問題時(shí)多采用間接法，一般方法是得出選人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運(yùn)算求解.17．【解析】【分析】先由題意得到必過拋物線的焦點(diǎn)設(shè)出直線的方程聯(lián)立直線與拋物線方程表示出弦長再根據(jù)兩平行線間的最小距離時(shí)最短進(jìn)而可得出結(jié)果【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點(diǎn)當(dāng)直線斜率存在時(shí)解析：【解析】【分析】先由題意得到必過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長，再根據(jù)兩平行線間的最小距離時(shí)，最短，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，由得：，整理得，所以，，所以；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得；綜上，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，弦長最短，又因?yàn)閮善叫泄饩€間的最小距離為4，最小時(shí)，兩平行線間的距離最?。灰虼?，所求方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式等求解，屬于?？碱}型.18．【解析】【分析】根據(jù)所給的指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式根據(jù)對(duì)數(shù)的換地公式寫出倒數(shù)的值再根據(jù)對(duì)數(shù)式的性質(zhì)得到結(jié)果【詳解】則故答案為【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)代數(shù)式求值的問題解答本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)屬于基解析：【解析】【分析】根據(jù)所給的指數(shù)式，化為對(duì)數(shù)式，根據(jù)對(duì)數(shù)的換地公式寫出倒數(shù)的值，再根據(jù)對(duì)數(shù)式的性質(zhì)，得到結(jié)果．【詳解】，，，，則故答案為【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)代數(shù)式求值的問題，解答本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19．或【解析】【分析】做出簡圖找到球心根據(jù)勾股定理列式求解棱錐的高得到兩種情況【詳解】正三棱錐的外接球的表面積為根據(jù)公式得到根據(jù)題意畫出圖像設(shè)三棱錐的高為hP點(diǎn)在底面的投影為H點(diǎn)則底面三角形的外接圓半徑解析：或【解析】【分析】做出簡圖，找到球心，根據(jù)勾股定理列式求解棱錐的高，得到兩種情況.【詳解】正三棱錐的外接球的表面積為，根據(jù)公式得到根據(jù)題意畫出圖像，設(shè)三棱錐的高為h,P點(diǎn)在底面的投影為H點(diǎn)，則，底面三角形的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理得到，故得到外接圓半徑為在三角形中根據(jù)勾股定理得到三棱錐的體積為：代入數(shù)據(jù)得到或者故答案為：或【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了已知棱錐的外接球的半徑，求解其中的一些量；涉及棱錐的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長方體，它們是同一個(gè)外接球.20．【解析】試題分析：的定義域?yàn)橛傻盟寓偃粲傻卯?dāng)時(shí)此時(shí)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)此時(shí)單調(diào)遞減所以是的極大值點(diǎn)；②若由得或因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)所以解得綜合①②：的取值范圍是故答案為考點(diǎn)：1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2利用解析：【解析】試題分析：的定義域?yàn)?，由，得，所?①若，由，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)；②若，由，得或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是，故答案為.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.三、解答題21．（1），；（2）.【解析】【分析】（1）把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可得出；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入計(jì)算，，＝，∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)，由，得，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由（為參數(shù)），得直線的普通方程為.設(shè)，則中點(diǎn)，那么點(diǎn)到直線的距離，，所以點(diǎn)到直線的最小距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．22．(1)(2)=2【解析】【分析】【詳解】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面積==,故=4，而故=8，解得=223．（1）；（2）.【解析】【分析】【詳解】試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、、三者的關(guān)系求出的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：第一種是在從點(diǎn)所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設(shè)兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關(guān)系得到，并設(shè)從點(diǎn)所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，利用得到有關(guān)的一元二次方程，最后利用以及韋達(dá)定理得到點(diǎn)的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標(biāo)軸垂直的情況下求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并驗(yàn)證點(diǎn)是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點(diǎn)的軌跡方程.（1）由題意知，且有，即，解得，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①設(shè)從點(diǎn)所引的直線的方程為，即，當(dāng)從點(diǎn)所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時(shí)，分別設(shè)為、，則，將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，，化簡得，即，則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，化簡得；②當(dāng)從點(diǎn)所引的兩條切線均與坐標(biāo)軸垂直，則的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)也在圓上.綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.考點(diǎn)：本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，將直線與二次曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)利用的符號(hào)來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應(yīng)用.24．（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）證明，，推出平面，得到，證明