河北省衡水中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次綜合素養(yǎng)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年度高三年級(jí)上學(xué)期第一次綜合素養(yǎng)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)學(xué)科注意：本試卷分第I卷和第Ⅱ卷兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.共4頁(yè)，19個(gè)題目.第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分.下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）1.已知不等式的解集為，不等式的解集為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】解不等式，得，即，解不等式，得，即，所以.故選：D2.已知，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解；【詳解】因?yàn)?，設(shè)向量與的夾角為所以，又因?yàn)?，所以故選：B.3.如圖所示，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高M(jìn)N=（）A.120 B.150 C. D.160【答案】C【解析】【分析】由題意，可先求出的值，從而由正弦定理可求的值，在中，，，從而可求得的．【詳解】解：在中，，，所以．在中，，，從而，由正弦定理得，，因此．中，，，由得；山高；故選：4.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合已知條件求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)椋?，因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，滿足，所以，所以，故選：C5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)N在另一條漸近線上．若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系求出，再由得出可得答案.【詳解】因?yàn)镹，O分別是的中點(diǎn)，所以，又，，所以，所以，故．故選：A．6.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（）A.； B.；C.； D.；【答案】A【解析】【分析】求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，再確定最大值條件即可求解.【詳解】將直線變形得，由，解得，因此直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為，又直線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：A7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可知；當(dāng)時(shí)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，可得，然后將原不等式轉(zhuǎn)化為即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又在上為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以.綜上，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以不等式，解得且且，即原不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解分段函數(shù)相關(guān)不等式時(shí)，需要根據(jù)自變量范圍進(jìn)行分類討論，利用單調(diào)性求解即可.8.已知對(duì)恒成立，則的最大值為（）A.0 B. C.e D.1【答案】D【解析】【分析】由題意得對(duì)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，即，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，可求出的取值范圍，從而可求出的最大值.【詳解】由，得，所以對(duì)恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，即令，則在上單調(diào)遞增，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以的最大值為1.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)原不等式變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.二、多項(xiàng)選擇題（每題6分，共18分，每題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分，錯(cuò)選得0分，部分選對(duì)得部分分）9.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的通項(xiàng)公式可以為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法判斷A、B、D，利用特殊值判斷C.【詳解】對(duì)于A：，所以，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B：，所以，所以為遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，則，，所以不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確；故選：ABD10.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，為函數(shù)與軸的交點(diǎn)，圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則（）A. B.圓的半徑為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圖象，求出解析式，可判斷ABC選項(xiàng)，對(duì)D選項(xiàng)，求出范圍即可判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象以及圓的對(duì)稱性,可得兩點(diǎn)關(guān)于圓心對(duì)稱,所以,于是,故A正確；由及,得,由于,所以,所以,從而,故半徑為,故B錯(cuò)誤；將代入得，所以是中心對(duì)稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)為減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若的面積等于4.則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)是橢圓短軸頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若是動(dòng)點(diǎn)，則的值恒為2C.若是動(dòng)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若是動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓性質(zhì)以及的面積可得A正確；設(shè)可得，利用并結(jié)合橢圓方程可得B正確；由橢圓范圍可得可得離心率，即C錯(cuò)誤；由橢圓定義可得的取值范圍為，即D正確.【詳解】對(duì)于A，若點(diǎn)是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，設(shè)，由題意可知①，因?yàn)?，所以，即②，又③，由②③及得，又由①知，所?故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由②③得，所以，從而，故.所以橢圓的離心率，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由橢圓定義可得，即的取值范圍為，即選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓離心率等范圍問(wèn)題經(jīng)常利用橢圓定義以及橢圓性質(zhì)得出關(guān)系式，再由變量自身范圍即可得出結(jié)論.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（每題5分，共15分）12.已知是第四象限角，且，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意知，是第四象限角，可得，所以，因?yàn)?，可得，所?故答案為：.13.已知，若，，，則a，b，c按從小到大排列為：________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系可比較出，再結(jié)合原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可比較大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為偶函數(shù)，故以下只用討論函數(shù)在的單調(diào)性，令因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，又因?yàn)?，所以，故答案為?14.定義：對(duì)于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式，再利用數(shù)列的遞推思想構(gòu)造等比數(shù)列，即可求和，從而用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)求出最小值.【詳解】由二次函數(shù)最低點(diǎn)為可知：，又，所以，則.由題意得，又由，得，因?yàn)?，所以，即，又，所以，則，即，故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.令.，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，根據(jù)二次遞推，則需要通過(guò)構(gòu)造兩邊對(duì)數(shù)，來(lái)得到等比數(shù)列遞推關(guān)系.四、解答題（本大題有5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，并寫在答題紙的相應(yīng)位置，否則無(wú)分?jǐn)?shù).）15.已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的所有項(xiàng)的和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)，求得，寫出通項(xiàng)公式；（2）由推出對(duì)應(yīng)的區(qū)間中包含的項(xiàng)，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和分組求和法求解.【詳解】（1）設(shè)公比為，由題意得，，解得，或(舍去)，所以，故數(shù)列通項(xiàng)公式為.（2）由題意得，對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，，，則；……對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，，…，，則，因此，所以，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法（1）公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；（2）分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．（4）倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．（5）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.（6）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．16.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)不等式的解集為，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的值域求出最值即可；（2）先換元把指數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再分段分類討論求出最值，再根據(jù)已知等式求值即可.【小問(wèn)1詳解】，，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為2.【小問(wèn)2詳解】由，得，即，，設(shè)，則當(dāng)，，，，設(shè)，由題意，是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域的子集.①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則解得.②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式組無(wú)解.③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最大值是與的較大者.令，得，令，得，均不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是，利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是的值域的子集，從而得解.17.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的動(dòng)直線，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)與拋物線相交于點(diǎn)，，當(dāng)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意可得，再由弦長(zhǎng)公式得到方程，解得即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，又，同理可得，再由基本不等式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解法一：設(shè)直線，聯(lián)立，得，所以．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，代入化簡(jiǎn)得，解得．故拋物線的方程為．解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標(biāo)都為，代入拋物線方程得，化簡(jiǎn)得．則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，即．又因?yàn)?，將代入化?jiǎn)得，即，所以拋物線的方程為．【小問(wèn)2詳解】解法一：，由（1）可得，，因?yàn)?，同理，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．，而，所以CD的傾斜角為或，同理可求得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為．18.已知函數(shù).（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，證明：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）2（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)整體換元，將所證不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，再構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求證不等式即可.【小問(wèn)1詳解】，定義域?yàn)?設(shè)切點(diǎn)，.且，解得，，故實(shí)數(shù)的值為2；【小問(wèn)2詳解】，定義域?yàn)?，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)和，所以至少有兩個(gè)不相等的正根.令，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.當(dāng)；當(dāng)，則至多兩個(gè)零點(diǎn)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，.由，兩式作差得①，令，由得，則，代入①式得，，則，故所證不等式轉(zhuǎn)化為，，只需證，即證：.令，，，，，在上單調(diào)遞增，，其中，故，，即不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙變量不等式的證明，處理關(guān)鍵是代數(shù)變形.經(jīng)常通過(guò)代換(含對(duì)數(shù)式時(shí)常用)或（含指數(shù)式時(shí)常用)將所證的雙變量不等式化為單變量的函數(shù)不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性證明.19.法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：①當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，滿足的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)；②當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)用以上知識(shí)解決下面的問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)倍角公式得到，由正弦定理得到，從而；（2）根據(jù)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)得到，再由及三角形面積公式得到，因?yàn)榧熬挡坏仁剑?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（3）設(shè)，所以，在三個(gè)小三角形中分別用余弦定理表示出、、AB再結(jié)合得到，從而由均值不等式得，從而得到的最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，由正弦?/p>