【解答專練】11 函數(shù)壓軸題（10題）-2020-2021學(xué)年九上期末（解析版）

專練11函數(shù)壓軸題（10題）1．（2020·湖南九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線與軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)P是（1）中的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜3）．①求△PCD的面積的最大值；②是否存在點(diǎn)P，使得△PCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①3；②或解：（1）令，則，求出，將A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，解得，∴；（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，將代入直線解析式，得，∴點(diǎn)E坐標(biāo)是，∴，∴，∴面積的最大值是3；②是以CD為直角邊的直角三角形分兩種情況，第一種，，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G，則，∴，即，整理得，解得，（舍去），∴；第二種，，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，則，∴，即，整理得，解得，（舍去），∴，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式的方法，三角形面積的表示方法以及構(gòu)造相似三角形利用數(shù)形結(jié)合的思想求點(diǎn)坐標(biāo)的方法．2．（2020·河南九年級(jí)期末）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求面積的最大值．(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)或或或．解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：…①；(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得，直線PD的表達(dá)式為：，則，，∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)∵，∴，∵，故與相似時(shí)，分為兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H，，解得：，∴CH＝則，則直線OQ的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)或；②時(shí)，，則直線OQ的表達(dá)式為：…③，聯(lián)立①③并解得：，故點(diǎn)或；綜上，點(diǎn)或或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．3．（2018·江蘇九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，過(guò)點(diǎn)C（0，3）的直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）確定b，c的值；（2）寫出點(diǎn)B，Q，P的坐標(biāo)（其中Q，P用含t的式子表示）；（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)b=,c=3;(2)B（4,0）,P（4﹣4t,3t）,Q（4t,0）;(3)當(dāng)t=或或時(shí),△PQB為等腰三角形．（1）已知拋物線過(guò)A（﹣1,0）、C（0,3）,則有：,解得,因此b=,c=3;（2）令拋物線的解析式中y=0,則有﹣x2+x+3=0,解得x=﹣1,x=4;∴B（4,0）,OB=4,因此BC=5,在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,∴sin∠CBO=,cos∠CBO=,在直角三角形BHP中,BP=5t,因此PH=3t,BH=4t;∴OH=OB﹣BH=4﹣4t,因此P（4﹣4t,3t）．令直線的解析式中y=0,則有0=﹣x+3,x=4t,∴Q（4t,0）;（3）存在t的值,有以下三種情況①如圖1,當(dāng)PQ=PB時(shí),∵PH⊥OB,則QH=HB,∴4﹣4t﹣4t=4t,∴t=,②當(dāng)PB=QB得4﹣4t=5t,∴t=,③當(dāng)PQ=QB時(shí),在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2,∴（8t﹣4）2+（3t）2=（4﹣4t）2,∴57t2﹣32t=0,∴t=,t=0（舍去）,又∵0＜t＜1,∴當(dāng)t=或或時(shí),△PQB為等腰三角形．4．（2020·江蘇九年級(jí)期末）如圖，已知一次函數(shù)分別交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為C．（1）求b、c的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，線段DE長(zhǎng)度最大，最大值是多少？（如圖1）②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，連結(jié)BD，若△BOC與△BDF相似，求t的值．（如圖2）【答案】（1）b=2，c=3，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；（2）①；②解：（1）在中令x=0,得y=3,令y=0,得x=3,∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，令y=0則0=﹣x2+2x+3，解得，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；（2）①由題知P(t,0),D(t,)、E（t,-t+3）;∴DE=()-()∴當(dāng)時(shí)，DE長(zhǎng)度最大，最大值為；②∴A（3，0），B（0，3），∴OA=OB,∴∠BAO=45°，在Rt△PAE中，∠PAE=45°，；在Rt△DEF中，∠DEF=45°，；∴若△BDF∽△CBO相似，則，即：,解得：(舍去)；，若△BDF∽△BCO相似，則，即：,解得：(舍去)；，；綜上，或時(shí)，△BOC與△BDF相似.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)壓軸題，著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形相似、一次函數(shù)、解方程等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．最后一問(wèn)為探索題型，注意進(jìn)行分類討論．5．（2020·江西九年級(jí)期末）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；（3）如圖3，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問(wèn)題．6．（2020·保定市第二十一中學(xué)九年級(jí)期末）已知：如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)的面積為．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積有最大值？③過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交線段于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)做軸交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①，②當(dāng)m=3時(shí)，S有最大值，③點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,6）或（，）．解：（1）由拋物線的表達(dá)式可化為，則-12a=6，解得：a=，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）①過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于點(diǎn)D，由點(diǎn)A(0,6)、B的坐標(biāo)可得直線AB的表達(dá)式為：y=-x+6，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)D（m，-m+6），∴；②∵，＜0∴當(dāng)m=3時(shí)，S有最大值；③∵△PDE為等腰直角三角形，∴PE=PD，∵點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=2，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：4-m，則|PE|=2m-4，即，解得：m=4或-2或或（舍去-2和）當(dāng)m=4時(shí)，=6；當(dāng)m=時(shí)，=．故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,6）或（，）．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合應(yīng)用題，主要考查了一次函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握并靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．7．（2020·河南九年級(jí)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線交x軸于A、C兩點(diǎn)，與直線y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，若△ABP的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)點(diǎn)P(，)；(3)符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴點(diǎn)A(1，0)，∵拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即點(diǎn)C(﹣3，0)，∴，解得：∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，∴設(shè)點(diǎn)P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵拋物線與直線y＝x﹣1交于A、B兩點(diǎn)，∴，解得：，∴點(diǎn)B(﹣4，﹣5)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F(m，m﹣1)，∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA＝(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)＝-（m+）2+，∴當(dāng)m＝時(shí)，P最大，∴點(diǎn)P(，).(3)當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴點(diǎn)E(﹣1，﹣2)，如圖，直線BC的解析式為y＝5x+15，直線BE的解析式為y＝x﹣1，直線CE的解析式為y＝﹣x﹣3，∵以點(diǎn)B、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴直線D1D3的解析式為y＝5x+3，直線D1D2的解析式為y＝x+3，直線D2D3的解析式為y＝﹣x﹣9，聯(lián)立得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決第(2)小題中三角形面積的問(wèn)題時(shí)，找到一條平行或垂直于坐標(biāo)軸的邊是關(guān)鍵；對(duì)于第(3)小題，要注意分類討論、數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，不要漏解．8．（2020·山東九年級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求△BCP面積的最大值；（3）直線x=m分別交直線BC和拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)△BMN是等腰三角形時(shí)，直接寫出m的值．【答案】（1）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）當(dāng)△BMN是等腰三角形時(shí)，m的值為，﹣，1，2．【解析】（1）將A（1，0），B（3，0）代入函數(shù)解析式，得，解得，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2-4x+3；（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即點(diǎn)C（0，3），設(shè)BC的表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)B（3，0）點(diǎn)C（0，3）代入函數(shù)解析式，得，解這個(gè)方程組，得直線BC的解析是為y=-x+3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S△BCP最大=.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，BM=|m-3|，當(dāng)MN=BM時(shí)，①m2-3m=（m-3），解得m=，②m2-3m=-（m-3），解得m=-當(dāng)BN=MN時(shí)，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）當(dāng)BM=BN時(shí)，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），當(dāng)△BMN是等腰三角形時(shí)，m的值為，-，1，2．點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用面積的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．9．（2020·內(nèi)蒙古九年級(jí)期末）綜合與探究如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC，(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求的值；(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).(1)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)作直線DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，∴OA=2，由，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)，∴OC=6，∴S△OAC=，∵S△BCD=S△AOC，∴S△BCD=，設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，∴S△BCD=，∴，解得(舍)，，∴的值為3；(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時(shí)，有3種情況，∵D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±，當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N2，此時(shí)，解得：(舍)，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N3，N4，此時(shí)，解得：∴，，∴，；以BD為對(duì)角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，∵，D(3，)，∴N1D=4，∴BM1=N1D=4，∴OM1=OB+BM1=8，∴M1(8，0)，綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.10．（2020·金昌市金川總校第五中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0