第04講常用邏輯用語(yǔ)（4大知識(shí)點(diǎn)4種必考題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

第04講常用邏輯用語(yǔ)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)充要條件的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng)．2．借助充要條件的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1.結(jié)合具體實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．會(huì)求(判斷)某些問(wèn)題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點(diǎn))3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01.命題1.定義：能判斷真假的、不帶有變?cè)年愂鼍?，叫做命題（proposition）.判斷為真的命題叫做真命題，判斷為假的命題叫做假命題.例如，“10是2的倍數(shù)”是真命題，“11是偶數(shù)”是假命題.說(shuō)明：①命題必定由條件與結(jié)論兩部分組成；②假命題的確定：舉反例（舉出一個(gè)滿足條件，不滿足結(jié)論的例子，一個(gè)即可，一票否決）；【注意】構(gòu)造反例有時(shí)候不容易，要充分注意命題的條件和結(jié)論，還要注意極端情況，或運(yùn)用類比手段.③真命題的確定：直接法和反證法.說(shuō)明：反證法既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是命題證明的一種方法，后面會(huì)有贅述.2.推出關(guān)系：如果命題“若，則”是真命題，那么就稱推出，記作（或）.因?yàn)樽蛹P(guān)系滿足傳遞性，所以推出關(guān)系也滿足傳遞性：若且，則.它是邏輯推理的基礎(chǔ).【即學(xué)即練1】（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學(xué)校考期中）命題“如果，那么”是命題（填“真”或“假”）.【答案】真【分析】解不等式即可求解.【詳解】由得解得且，所以命題“如果，那么”是真命題，故答案為:真.知識(shí)點(diǎn)02.充分條件，必要條件、充要條件【定義】1.對(duì)于兩個(gè)陳述句與，如果，就稱是的充分條件，亦稱是的必要條件.2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【理解】該定義中，“充分”二字說(shuō)明“成立時(shí)，一定成立”；而“必要”二字說(shuō)明“不成立時(shí)，一定不成立”.【舉例】小明是上海人，小明是中國(guó)人.【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【即學(xué)即練2】（2024春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）設(shè)，則是的條件．【分析】根據(jù)由，一定能得到．但當(dāng)．不能推出（如時(shí)），從而得到結(jié)論．【解答】解：由，一定能得到，但當(dāng)時(shí)，不能推出（如時(shí)），故是的充分不必要條件，故答案為：充分不必要．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件、必要條件的定義，通過(guò)給變量取特殊值，舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法．知識(shí)點(diǎn)03.反證法要判斷一個(gè)命題“若，則”是假命題，只要存在一個(gè)滿足條件但不滿足結(jié)論的對(duì)象就行；但是要判斷命題“若，則”是真命題，就需要證明所有滿足的對(duì)象都滿足結(jié)論，但有時(shí)直接驗(yàn)證這一點(diǎn)并不是一件容易的事.我們可以首先假設(shè)結(jié)論不成立（為假），然后經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理得出的與已知條件或（已學(xué)）定理等相矛盾的結(jié)論，從而說(shuō)明“為假”是不可能發(fā)生的，即結(jié)論是正確的，這樣的證明方法叫反證法.【解題思路點(diǎn)撥】用反證法證題時(shí)，首先要搞清反證法證題的方法，其次注意反證法是在條件較少，不易入手時(shí)常用的方法，尤其有否定詞或含“至多”“至少”等詞的問(wèn)題中常用．使用反證法進(jìn)行證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等．1．證明思路：肯定條件，否定結(jié)論→推出矛盾→推翻假設(shè)，肯定結(jié)論2．反證法的一般步驟：（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；（3）由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；（4）斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于開(kāi)始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真．【即學(xué)即練3】（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)n∈Z．用反證法證明：若n3是奇數(shù)，則n是奇數(shù)．【解答】證明：假設(shè)n不是奇數(shù)，則n是偶數(shù)，設(shè)n＝2k，k∈Z，則n3＝8k3，因?yàn)閗∈Z，則k3∈Z，所以8k3是偶數(shù)，即n3為偶數(shù)，這與已知n3為奇數(shù)矛盾，所以假設(shè)不成立，即n是奇數(shù)．知識(shí)點(diǎn)04.從集合角度看充分、必要條件充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．（1）若p是q的充分條件，則A?B；（2）若p是q的充分不必要條件，則；（3）若p是q的必要不充分條件，則；（4）若p是q的充要條件，則A＝B.（5）若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.要點(diǎn)歸納：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進(jìn)行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.【即學(xué)即練4】已知條件和條件，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【詳解】因?yàn)闂l件和條件，若是的充分不必要條件，所以是的真子集，因此只需.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：由命題的充分條件和必要條件求參數(shù)時(shí)，一般可根據(jù)如下規(guī)則求解：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．題型01充分條件、必要條件及充要條件的判斷【解題策略】判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．(3)等價(jià)法：即利用p?q與q?p的等價(jià)關(guān)系，一般地，對(duì)于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．【例11】(1)指出下列哪些命題中p是q的充分條件？①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解①在△ABC中，由大角對(duì)大邊知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分條件．②由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分條件．③方法一由x>1?x>2，所以p不是q的充分條件．方法二設(shè)集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B?A，所以p不是q的充分條件．(2)指出下列哪些命題中q是p的必要條件？①p：一個(gè)四邊形是矩形，q：四邊形的對(duì)角線相等；②p：A?B，q：A∩B＝A；③p：a>b，q：ac>bc.解①因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以q是p的必要條件．②因?yàn)閜?q，所以q是p的必要條件．③因?yàn)閜?q，所以q不是p的必要條件．【例12】指出下列各組命題中，p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)．(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然數(shù)；q：a是正數(shù)．解(1)方法一當(dāng)x＝1時(shí)，x－1＝eq\r(x－1)成立；當(dāng)x－1＝eq\r(x－1)時(shí)，x＝1或x＝2.∴p是q的充分不必要條件．方法二A＝{x|x＝1}＝{1}，B＝{x|x－1＝eq\r(x－1)}＝{1,2}，可知AB，∴p是q的充分不必要條件．(2)∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5，∴p是q的充要條件．(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分條件．(4)0是自然數(shù)，但0不是正數(shù)，故p?q；又eq\f(1,2)是正數(shù)，但eq\f(1,2)不是自然數(shù)，故q?p.故p是q的既不充分也不必要條件．【變式11】（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．【解答】解：x＜5能推出x＜6，充分性成立，x＜6不能推出x＜5，必要性不成立，故p是q成立的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．【變式12】已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”成立的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】D【分析】舉反例結(jié)合充分必要條件的定義分析即可.【詳解】顯然時(shí)不能推出，反之時(shí)也不能推出，則“”是“”成立的既非充分又非必要條件.故選：D【變式13】指出下列命題中，p是q的什么條件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq\r(2x＋1)；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【解析】解(1)∵x2＝2x＋1?x＝eq\r(2x＋1)，x＝eq\r(2x＋1)?x2＝2x＋1，∴p是q的必要條件．(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，a＋b＝0?a2＋b2＝0，∴p是q的充分條件．(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0?(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分條件．【變式14】指出下列各組命題中，p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)．(1)p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；(2)p：⊙O內(nèi)兩條弦相等，q：⊙O內(nèi)兩條弦所對(duì)的圓周角相等；(3)p：A∩B＝?，q：A與B之一為空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；【解析】解(1)充要條件；(2)必要不充分條件；(3)必要不充分條件；(4)充分不必要條件．題型02充分條件與必要條件的應(yīng)用【解題策略】充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題．(2)求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．【例2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分條件為Q，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】解由已知，P的充分條件為Q，則Q是P的子集．當(dāng)3m－2>5m＋2，即m<－2時(shí)，Q＝?，滿足題意，當(dāng)3m－2≤5m＋2，即m≥－2時(shí)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2>－2，,5m＋2<4，))解得0<m<eq\f(2,5)，綜上，m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－2或0<m<\f(2,5))))).【變式21】（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學(xué)?？计谀┤簦?，已知是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】依題意可得推得出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)椋沂堑某浞謼l件，即推得出，所以.故答案為：【變式22】集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2}C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2}【答案】C【解析】A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．因?yàn)椤癮＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.【變式23】已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】－1≤a≤5【解析】因?yàn)椤皒∈P”是“x∈Q”的必要條件，所以Q?P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥－1，))所以－1≤a≤5.【變式24】已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】{a|a≤－9}【解析】∵p是q的必要條件，∴q?p，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a≤－2，,1－a≥10，,a<0，))解得a≤－9.題型03充要條件的證明【解題策略】充要條件證明的兩個(gè)思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性．(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．【例3】求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常數(shù)且a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根的充要條件是ac<0.【解析】證明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴ac<0.充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一負(fù)兩實(shí)根．綜上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常數(shù)且a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根的充要條件是ac<0.【變式31】求證：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)的充要條件是b＝0.【解析】證明(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)．(2)必要性：因?yàn)閥＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.綜上，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)的充要條件是b＝0.【變式32】（2021秋?金山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)n∈Z，求證：“n是偶數(shù)”是“（n+1）2是奇數(shù)”的充要條件．【解答】證明：若n∈Z，n是偶數(shù)，則n+1是奇數(shù)，（n+1）2是奇數(shù)，是充分條件，若n∈Z，（n+1）2是奇數(shù)，則n+1是奇數(shù)，則n是偶數(shù)，是必要條件，故：“n是偶數(shù)”是“（n+1）2是奇數(shù)”的充要條件．【變式33】求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.【解析】證明充分性：因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1.必要性：因?yàn)榉匠蘟x2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1，所以x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.【變式34】求證：關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是a＝1或a≤0.當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0只有一個(gè)負(fù)實(shí)根是x＝－eq\f(1,2)；當(dāng)a<0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0的判別式Δ＝4－4a>0，且x1x2＝eq\f(1,a)<0，方程兩根一正一負(fù)．所以當(dāng)a＝1或a≤0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根．(2)必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則①當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－eq\f(1,2)，符合題意．②當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1；當(dāng)a＝1時(shí)，方程的解為－1，符合題意；當(dāng)a<1且a≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，若方程只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則x1x2＝eq\f(1,a)<0，即a<0.所以當(dāng)關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，a＝1或a≤0.綜上，關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是a＝1或a≤0.題型04充分不必要、必要不充分、充要條件的應(yīng)用【解題策略】充要條件證明的兩個(gè)思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性．(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．【例4】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}．【變式41】（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學(xué)校考期中）若“”是“”的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得到與的包含關(guān)系，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，但，故是的真子集，故,故答案為：【變式42】對(duì)于集合A，B及元素x，若A?B，則x∈B是x∈A∪B的________條件．【答案】充要【解析】由x∈B，顯然可得x∈A∪B；反之，由A?B，則A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要條件．【變式43】已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________________________．【答案】m≤－7或m≥1【解析】因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.【變式44】設(shè)集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m>0}，命題p：x∈A，命題q：x∈B.(1)若p是q的充要條件，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】解(1)由條件A＝{x|－1<x<3},p是q的充要條件，得A＝B，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m＝－1，,m＋1＝3，))解得m＝2，所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍是{2}．(2)由p是q的充分不必要條件，得AB，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－1，,m＋1>3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－1，,m＋1≥3，))解得m>2，綜上，正實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>2.一．選擇題1.（2023秋?徐匯區(qū)期末）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)推知與的大小關(guān)系，由此可推“”是“”的關(guān)系．【解答】解：根據(jù)推知，由此可推“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的判斷，考查基本的推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023秋?松江區(qū)期末）已知：整數(shù)能被2整除，：整數(shù)能被6整除，則是的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：整數(shù)能被2整除，若，則不能被6整除，則推不出，整數(shù)能被6整除，一定有整數(shù)能被2整除，能推出，則是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）、、、、、均為非零實(shí)數(shù)，不等式和的解集分別為集合和，那么“”是“”A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，我們可以判斷“”“”的真假；根據(jù)不等式解集可能為空集，可判斷“”“”的真假，進(jìn)而得到答案．【解答】解：若“”時(shí)，則不等式等價(jià)于，則“”；即“”是“”的不充分條件；但當(dāng)“”時(shí)，如：和，“”不成立，即“”是“”的不必要條件故“”是“”的既不充分又不必要條件故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件，其中判斷出“”“”與”“”的真假，是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知，，，則“”是“”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)充分必要性即可判斷．【解答】解：若，當(dāng)時(shí)，不成立，即充分性不成立，當(dāng)成立時(shí)，，則一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）是的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分也非必獎(jiǎng)條件【分析】借助充分條件與必要條件的性質(zhì)計(jì)算即可得．【解答】解：當(dāng)時(shí)，可取、符合題意，但此時(shí)不能得到，充分性不成立，當(dāng)時(shí)，有，，即成立，必要性成立，綜上所述，是的必要非充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知，是非零常數(shù)，則“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【分析】由“”不能推出“”成立，且由“”也推不出“”成立，進(jìn)而判斷“”是“”的什么條件．【解答】解：因?yàn)榭傻?，?dāng)，即，當(dāng)時(shí)，成立，所以“”不是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的既非充分也非必要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用及充分條件必要條件的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知，都是自然數(shù)，則“是偶數(shù)”是“，都是偶數(shù)”的條件．A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】根據(jù)已知條件，依次討論充分性，必要性，即可求解．【解答】解：令，，滿足是偶數(shù)，但，都不是偶數(shù)，故充分性不成立，，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)，故必要性成立，故“是偶數(shù)”是“，都是偶數(shù)”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件與必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)，“是偶數(shù)”是“是偶數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充要條件的判斷即可選出答案．【解答】解：是偶數(shù)等價(jià)于是偶數(shù)，故為充要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)既不充分也不必要條件的定義求解即可．【解答】解：等價(jià)于，化簡(jiǎn)得，即或，又等價(jià)于，即，則“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查既不充分也不必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）設(shè)，則“”是“”的A．既不充分也不必要條件 B．充要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【分析】先求出一元二次不等式的解集，再利用集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：，或，，，，，“”是“”的充分不必要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知，，則“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本不等式分析判斷即可．【解答】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)，必有，，所以成立，所以由，可推出，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，必有成立，此時(shí)，不一定成立，所以由推不出，所以“”是“”的充分非必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查不等式問(wèn)題，是中檔題．二．填空題12．（2023秋?奉賢區(qū)期末）：四邊形是正方形，：四邊形的四個(gè)角都是直角，則是的條件．【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可．【解答】解：四邊形是正方形，則四邊形的四個(gè)角都是直角，即，若四邊形的四個(gè)角都是直角，這個(gè)四邊形可能是長(zhǎng)方形，不一定是正方形，即推不出，則是的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分不必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知、，用反證法證明命題：“若，則、全為零”時(shí)的假設(shè)是．【分析】把要證結(jié)論否定即可．【解答】解：用反證法證明命題：若，，且，則，全為0時(shí)，要做的假設(shè)是證明結(jié)論的反面，即，不全為0．故答案為：，不全為0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反證法的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期末）“”是“”的條件．【分析】求出的解集，并判斷與此解集的推出關(guān)系得出結(jié)論．【解答】解：當(dāng)時(shí)，方程為化為，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，方程為化為，解得舍去；當(dāng)時(shí)，方程為化為，此時(shí)舍去；當(dāng)時(shí)，方程為化為，此時(shí)成立；故的解集為，由可推得，反之不成立，故“”是“”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．15．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：由，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是，所以有，等號(hào)不同時(shí)成立，解得．故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）若“存在，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】任意，使得”是真命題，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)榇嬖?，使得”是假命題，所以任意，使得”是真命題，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含有量詞的命題的真假關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分條件可以為_(kāi)_______；一個(gè)必要條件可以為_(kāi)_______．【答案】a>3(答案不唯一)a>－1(答案不唯一)【解析】因?yàn)橐辉畏匠蘹2－ax＋1＝0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4≥0，,x1＋x2＝a>0，))解得a≥2.故一元二次方程x2－ax＋1＝0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根的一個(gè)充分條件可以為a>3；一元二次方程x2－ax＋1＝0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件可以為a>－1.三．解答題18．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的充分非必要條件，求實(shí)數(shù)取值范圍組成的集合．【分析】（1）先算出，再根據(jù)并集的運(yùn)算法則算出答案；（2）根據(jù)題意，可得是的真子集，從而建立關(guān)于的不等式組，算出實(shí)數(shù)的取值集合．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，結(jié)合，可知，；（2）若“”是“”的充分非必要條件，則是的真子集．可得，解得，實(shí)數(shù)的取值集合是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的并集運(yùn)算、充分必要條件的概念、不等式的解法等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知集合，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”是“”的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）先求出集合，再利用列出不等式，求出的取值范圍即可；（2）由“”是“”的必要非充分條件可得，進(jìn)而列出不等式，求出的取值范圍即可．【解答】解：（1）集合，，，，或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍，，；（2）“”是“”的必要非充分條件，，集合，，，（等號(hào)不能同時(shí)取到），解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知集合，，全集．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若是的充分非必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）解不等式確定，利用并集運(yùn)算得到答案．（2）確定，再考慮和兩種情況，計(jì)算得到答案．【解答】解：（1），則，，則．（2）是的充分非必要條件，則，是的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，且，等號(hào)不能同時(shí)成立，解得．綜上所述：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法、充要條件的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21.（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）“關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有實(shí)數(shù)根”是“ac＜0”的什么條件？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【解答】解：關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有實(shí)數(shù)根是ac＜0必要不充分條件．證明：①證充分性不成立，當(dāng)a＝1，b＝﹣4，c＝3時(shí)，此時(shí)方程ax2+bx+c＝0?x2﹣4x+3＝0，方程的實(shí)數(shù)根為1或3，但此時(shí)ac＝3＞0，∴充分性不成立，②證必要性成立，當(dāng)ac＜0時(shí)，則Δ＝b2﹣4ac＞0恒成立，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有實(shí)數(shù)根，∴必要性成立．綜上，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有實(shí)數(shù)根是ac＜0必要不充分條件．22．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知，，．（1）若，，有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，分析命題、為真時(shí)的取值范圍，由復(fù)合命題的真假可得、一真一假，由此分情況討論，求出的取值范圍，即可得答案；（2）根據(jù)是的充分條件，得到關(guān)于的不等式組，解可得答案．【解答】解：（1）對(duì)于，解可得，若，則，若，，有且只有一個(gè)為真命題，則真假或假真，若真假，即，無(wú)解，若假真，即，解可得或，綜合可得：或，即的取值范圍為，，；（2）若是的充分條件，則有，解可得，即的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷以及充分必要條件的應(yīng)用，涉及集合之間的關(guān)系，屬于中檔題．23.（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）（1）已知m是實(shí)數(shù)，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求證：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要條件；（2）設(shè)n∈Z．用反證法證明：若n2是奇數(shù)，則n也是奇數(shù)．【解答】證明：（1）先證充分性（即證m＝﹣1?A∩B＝{6}），當(dāng)m＝﹣1時(shí)，A＝{1，2，6}，又因?yàn)锽＝{0，6}，所以A∩B＝{6}，再證必要性（即證A∩B＝{6}?m＝﹣1），當(dāng)A∩B＝{6}時(shí)，由6∈A，得m+