4.3 對數運算（精講）（解析版）-人教版高中數學精講精練（必修一）

4.3對數運算（精講）考點一對數的定義【例1】1（2021·江西省吉水中學高一階段練習）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使式子有意義，則，即，解得或，所以x的取值范圍是.故選：D【一隅三反】1．（2021·全國·高一課時練習）使有意義的實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，解得，所以實數a的取值范圍是．故選：C.2．（2022廣東）對數式M＝log(a－3)(10－2a)中，實數a的取值范圍是（

）A．(－∞，5) B．(3，5)C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5)【答案】D【解析】由題意得，解得3<a<4或4<a<5，即a的取值范圍是(3，4)∪(4，5)．故選：D.3．（2022·云南）在等式中，實數a的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】要使有意義，只需：，解得：或∴實數a的取值范圍是或故選：B考點二指對數的互化【例2】（2022山西）將下列指數式與對數式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】(1)因為，所以有：.(2)因為，所以有：.(3)因為，所以有：.(4)因為，所以有：.(5)因為，所以有：.(6)因為，所以有：.【一隅三反】1.（2021·全國高一課時練習）指數式和對數式互相轉化：（1）____________．（2）____________．（3）____________．（4）____________．【答案】【解析】.故答案為：，，，.2．（2022·湖南）將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)由對數定義得；(2)由對數定義得；(3)由對數定義得；(4)由對數定義得．考點三對數求值【例3】（2022·湖南·高一課時練習）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)125(2)(3)(4)【解析】(1)因為，所以；(2)因為，所以，解得(3)因為，所以，所以；(4)因為，所以，所以.【一隅三反】1．（2021·全國·高一課前預習）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)由題意，.(2)由題意，，而且，所以.(3)由題意，.(4)由題意，.2．（2021·江蘇·高一課時練習）求下列各式中x的值：（1）logx3＝；（2）log64x＝－；（3）－lne2＝x；（4）；（5）log5[log3(log2x)]＝0.【答案】（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.【解析】（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9.（2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.（3）因為－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，解得x＝1或x＝3，又因為x＝1時，x2－2＝－1<0，舍去；x＝3時，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合題意．綜上，x＝3.（5）由log5[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，故x＝23，即x＝8.考點四對數的運算【例4】（2022北京）求值：(1)；(2)；(3)；(4).(5)2log32－log3＋log38－；(6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)；(10)2log32－log3＋log38－3log55；【答案】(1)(2)-1(3)1(4)2(5)－1(6)13(7)(8)2(9)(10)－1【解析】(1)原式.(2)(3)原式=.(4)原式==.(5)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(6)原式.(7)原式＝(8)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝·＝·＝.(10)2log32－log3＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）化簡下列各式：（1）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；（2）(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；（3）計算(log32＋log92)·(log43＋log83)；（4）2log32－log3＋log38－3log55；【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）－1.【解析】（1）原式＝（2）原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.（3）(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝·＝·＝.（4）2log32－log3＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.2．（2021·全國·高一課時練習）計算下列各式：（1）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；（2）2log32－log3＋log38－3log55；（3）(lg5)2＋lg2·lg50；【答案】（1）；（2）；（3）1【解析】（1）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1=（2）2log32－log3＋log38－3log55（3）(lg5)2＋lg2·lg50(lg5)2考點五換底公式【例5-1】（2022·全國·高一）（1）已知，，試用表示；（2）已知，，試用表示．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，，；（2），，．【例5-2】（2021·全國·高一單元測試）已知，求證：.【答案】證明見解析；【解析】令，則，，，所以.【一隅三反】1．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則（