3.2.2 函數(shù)的奇偶性（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練（必修一）

3.2.2函數(shù)的奇偶性（精講）考點一奇偶性的判斷【例1-1】（2021·湖南）判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(4)非奇非偶函數(shù)【解析】(1)，定義域為，有，則函數(shù)為奇函數(shù)，(2)，定義域為，有，則函數(shù)為偶函數(shù)，(3)因為，所以，則有，解得，則函數(shù)定義域為，且，所以和同時成立，故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，(4)，其定義域為，其定義域不關(guān)于原點對稱，則是非奇非偶函數(shù)．【例1-2】（2022·廣東·高一期末）下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減故A正確。對于B是奇函數(shù)故B錯誤對于C在上單調(diào)遞增故C錯誤對于D是非奇非偶函數(shù)故D錯誤故選：A【例1-3】（2022·全國·高一專題練習）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】A選項：設(shè)，，則為偶函數(shù)，A錯誤；B選項：設(shè)，則，與關(guān)系不定，即不確定的奇偶性，B錯誤；C選項：設(shè)，則，則為奇函數(shù)，C正確；D選項：設(shè)，則，則為偶函數(shù)，D錯誤．故選：C.【一隅三反】1．（2022·湖北）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A是偶函數(shù)故A錯誤對于B在上單調(diào)遞增故B錯誤對于C是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減故C正確對于D在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故D錯誤故選：C2（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┤艉瘮?shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，所以、，對于A：令，則，故是非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：令，則，故為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C：令，則，故為偶函數(shù)，故C正確；對于D：令，則，故為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C3．（2022·湖南·高一課時練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)奇函數(shù)(4)非奇非偶函數(shù)【解析】(1)的定義域為，它關(guān)于原點對稱.，故為偶函數(shù).(2)的定義域為，它關(guān)于原點對稱.，故為奇函數(shù).(3)的定義域為，它關(guān)于原點對稱.，故為奇函數(shù).(4)，故，故為非奇非偶函數(shù).考點二利用奇偶性求解析式【例2-1】（2022·全國·高一）設(shè)為奇函數(shù)，且當時，，則當時，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以當時，.故選：B.【例2-2】（2022·云南）已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則當時，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，設(shè)，則，,故選：B．【例2-3】（2021·浙江）定義在R上的奇函數(shù)，滿足當時，．當時的表示式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，故，又當時，，故，故故選：C【一隅三反】1．（2022·湖南·新化縣教育科學研究所高一期末）若函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，，則當時，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，由奇函數(shù)的定義可得.故選：D.2．（2022·河南濮陽·高一期末（文））已知是偶函數(shù)，當時，，則當時，_________．【答案】【解析】由，則，且函數(shù)是偶函數(shù)，故當時，故答案為：3．（2022·河南安陽）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，______．【答案】【解析】時，，是奇函數(shù)，此時故答案為：4．（2022·山西太原）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．則函數(shù)的解析式為_________．【答案】【解析】設(shè)-3<x<0，則3>-x>0，則有，又因為，所以，又，所以故答案為：考點三利用奇偶性求值【例3-1】（2022·廣東韶關(guān)）函數(shù)為上的奇函數(shù)，時，，則=（

）A． B． C．2 D．6【答案】B【解析】因為為上的奇函數(shù)，且時，，所以，所以；故選：B【例3-2】（2022·貴州·凱里一中）已知函數(shù)，且，則（

）A． B．7 C．3 D．【答案】C【解析】由函數(shù)，令，則，由可知：奇函數(shù)，故，則，所以，故選：C【一隅三反】1．（2022·新疆）已知函數(shù)f(x)=-bx+2，若f(2)=5，則f(-2)=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，所以故選：A2．（2022·江蘇）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則____.【答案】3【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，，故.故答案為：3.3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，，則的值是_______.【答案】【解析】是奇函數(shù)

.故答案為:.4．（2021·福建）已知分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則______【答案】【解析】由題意，，∴，即，∴.故答案為：5．（2020·四川·廣安二中高一期中）若函數(shù)是偶函數(shù)，且，則______．【答案】0【解析】由函數(shù)是偶函數(shù)可得，又，故.故答案為：0.考點四利用奇偶性求參數(shù)【例4-1】（2022·遼寧沈陽·高一期末）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】D【解析】由題設(shè)，，可得，則，又為偶函數(shù)，則，可得，綜上，，故.故選：D.【例4-2】（2022·湖北荊州）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則的最大值為___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，是定義在上的偶函數(shù)，可知，則定義域關(guān)于原點對稱，且二次函數(shù)的對稱軸，所以，解得：，所以，對應(yīng)拋物線開口向下，對稱軸為，故的最大值為.故答案為：-1.【一隅三反】1．（2022·安徽）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，則的值為（）A．-2 B．-6 C．2 D．6【答案】B【解析】是定義在上的奇函數(shù)，則，解得，當時，，所以.故選：B2．（2021·上海）若函數(shù)為偶函數(shù)，則_______________.【答案】2【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案為：23．（2022·內(nèi)蒙古）若函數(shù)在上是奇函數(shù)，則的解析式為______．【答案】【解析】在上是奇函數(shù)，，，．又，，即，．考點五利用奇偶性解不等式【例5-1】（2022·湖北·赤壁市車埠高級中學高一期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，的對稱軸為，故在上單調(diào)遞增.函數(shù)在x=0處連續(xù)又是定義域為的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.因為，由，可得，又因為在上單調(diào)遞增，所以有，解得.故選：D【例5-2】（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)滿足對任意的，有，即在上單調(diào)遞減，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，函數(shù)的大致圖像可如下所示：所以當時，當或時，則不等式等價于或，解得或，即原不等式的解集為；故選：C【例5-3】（2021·全國·高一專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，f(x)為R上的奇函數(shù)且f(1)＝．(1)求a，b；(2)判斷f(x)在[1，＋∞)上的單調(diào)性并證明；(3)當x∈[－4，－1]時，求f(x)的最大值和最小值．【答案】(1)a＝1，b＝0；(2)f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，證明見解析；(3)．【解析】(1)f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，得b＝0，又，∴a＝1，∴f(x)＝(2)f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，證明如下設(shè)x2>x1≥1，∴f(x2)－f(x1)＝－＝＝＝．∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)．(3)∵f(x)為奇函數(shù)且f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(x)在(－∞，－1]上為減函數(shù)，又x∈[－4，－1]，∴f(x)max＝f(－4)＝，f(x)min＝f(－1)＝．【一隅三反】1．（2022·江蘇蘇州·高一期末）若定義域為R的奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞增，則不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集為（

）A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，＋∞）【答案】A【解析】：∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）＝0；又f（x）在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞增，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，∴f（x）在R上單調(diào)遞增；∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x），∴2x﹣1＜x，解得x＜1，∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集為（﹣∞，1）.故選：A.2．（2021·山東·濟南市章丘區(qū)第四中學高一階段練習）若函數(shù)為上的奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，在上為增函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)為上的奇函數(shù)，，，的圖象連續(xù)不斷且在上為增函數(shù)，.故選：B.3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【解析】因為定義域為，且，即為奇函數(shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價為，即，解得，即不等式的解集為.故答案為：4．（2022·四川涼山·高一期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求關(guān)于m的不等式式的解集.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，∴∴當時，；當時，，則.∴.(2)∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，因為在上遞增，且為奇函數(shù)，所以在R單調(diào)遞增，∴，解得：，故不等式的解集是.5．（2021·湖南師大附中高一階段練習）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且.(1)用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，求證：是偶函數(shù)，是奇函數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)因為是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，所以，（1），所以，，檢驗，當，時，，，滿足題意，設(shè)，則，，，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增；(2)證明：由題意得的定義域，令，則，且的定義域，所以為偶函數(shù)，令，則的定義域，且，所以為奇函數(shù).考點六利用奇偶性比較大小【例6】（2022·山西呂梁·高一階段練習）定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為為偶函數(shù)，所以，，又，且在上是減函數(shù)，所以.故選：A【一隅三反】1．（2021·廣西·高一階段練習）設(shè)偶函數(shù)的定義域為R，當時，是減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則，當時，是減函數(shù)，又，則，則故選：C2．（2022·全國·高一專題練習）若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】為偶函數(shù)，；在上是減函數(shù)，，即.故選：B.3．（2021·湖南·高一期中）已知定義在R上的偶函數(shù)在（0，）上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，，因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，因為∴∴.故選：D.考點七抽象函數(shù)的性質(zhì)【例7】（2022·河南）已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.(1)證明：為奇函數(shù)；(2)證明：在上是增函數(shù)；(3)設(shè)，若，對所有，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見詳解.(2)證明見詳解.(3)【解析】(1)因為有，令，得，所以，令可得：，所以，故為奇函數(shù)．(2)由（1）可知是定義在，上的奇函數(shù)，由題意設(shè)，則由題意時，有，是在上為單調(diào)遞增函數(shù)；(3)由（1）（2）可知是上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上的最大值為所以要使，對所有，恒成立，只要，由，可得解得所以實數(shù)的取值范圍為【一隅三反】1．（2021·河南焦作·高一期中）已知f(xy)＝f(x)＋f(y).(1)若x，y∈R，求f(1)，f(－1)的值；(2)若x，y∈R，判斷y＝f(x)的奇偶性；(3)若函數(shù)f(x)在其定義域(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(2)＝1，f(x)＋f(x－6)≤4，求x的取值范圍.【答案】(1)f(1)＝0，f(－1)＝0；(2)偶函數(shù)；(3)（6，8].【解析】(1)令x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.又令x＝y(tǒng)＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.(2)因為函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，令y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋f(－1)，由(1)知f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．(3)因為f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2，所以f(16)=f(4)+f(4)=2+2=4，因為f(x)＋f(x－6)≤4，所以，因為f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以，即，所以x的取值范圍是(6,8].2．（2022·山西太原·高一開學考試）若定義在上的函數(shù)對任意實數(shù)，，都有成立，且當時，.(1)求證：為奇函數(shù)；(2)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；(3)若，解不等式.【答案】(1)證明見解析(2)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，理由見解析(3)【解析】(1)證明：∵，∴.設(shè)，則.令，則，解