愛提分中考復(fù)習(xí) 15三輪-圓的綜合-第02講 圓的綜合（二）(學(xué)生版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)學(xué)生輔導(dǎo)講義[學(xué)生版]學(xué)員姓名王李 年級輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜圓的綜合（二）知識精講圓的綜合證明與計算垂徑定理1．定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?．推論：（1）平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。畧A周角1．圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．2．推論:推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)性質(zhì)1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．性質(zhì)2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角．圓內(nèi)接四邊形的判定判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．推論:如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．切線的性質(zhì)1．性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．：推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．2．注意事項：這個定理共有三個條件，即一條直線滿足：①垂直于切線②過切點③過圓心①過圓心，過切點垂直于切線．過圓心，過切點，則．②過圓心，垂直于切線過切點．過圓心，，則過切點．③過切點，垂直于切線過圓心．，過切點，則過圓心．切線的判定1.定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；2.距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．弦切角定理弦切角定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角．

弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角．

相交弦定理：在中，弦與交與點，則有三點剖析考點：圓的綜合計算與證明．二．重難點：圓的綜合計算與證明．三．易錯點：1．計算線段長度時，多數(shù)考慮到垂徑定理和勾股定理的使用；2．切線的性質(zhì)定理屬于圓中?？贾R點，牽涉到切線部分一定要連接切點和圓心構(gòu)造垂線．圓的綜合證明與計算例題例題1、如圖，點P為⊙O上一點，弦AB=cm，PC是∠APB的平分線，∠BAC=30°．（Ⅰ）求⊙O的半徑；（Ⅱ）當(dāng)∠PAC等于多少時，四邊形PACB有最大面積？最大面積是多少？（直接寫出答案）例題2、如圖，AD是⊙O的直徑．（1）如圖①，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則∠B1的度數(shù)是____°，∠B2的度數(shù)是____°；（2）如圖②，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求∠B1，∠B2，∠B3的度數(shù)；（3）如圖③，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圓周2n等分，請你用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度數(shù)（只需直接寫出答案）．例題3、如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設(shè)AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如圖②，當(dāng)S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．例題4、如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點E，交BC于點D，過點E做直線l∥BC．（1）判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點F，求證：BE=EF；（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長．例題5、閱讀理解：我們把滿足某種條件的所有點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的軌跡．問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動點，連接AM交EF于點P，那么動點P為線段AM中點．理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，由平行線分線段成比例得：動點P為線段AM中點．由此你得到動點P的運動軌跡是：__________．知識應(yīng)用：如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動點，連結(jié)EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長為8，求線段EF中點Q的運動軌跡的長．拓展提高：如圖3，P為線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結(jié)AD、BC，交點為Q．（1）求∠AQB的度數(shù)；（2）若AB=6，求動點Q運動軌跡的長．例題6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（6，0），B（0，8），點C的坐標(biāo)為（0，m），過點C作CE⊥AB于點E，點D為x軸上的一動點，連接CD，DE，以CD，DE為邊作?CDEF．（1）當(dāng)0＜m＜8時，求CE的長（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)m=3時，是否存在點D，使?CDEF的頂點F恰好落在y軸上？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）點D在整個運動過程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值．隨練隨練1、已知，△ADB內(nèi)接于⊙O，DG⊥AB于點G，交⊙O于點C，點E是⊙O上一點，連接AE分別交CD、BD于點H、F．（1）如圖1，當(dāng)AE經(jīng)過圓心O時，求證：∠AHG=∠ADB；（2）如圖2，當(dāng)AE不經(jīng)過點O時，連接BC、BH，若∠GBC=∠HBG時，求證：HF=EF；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DE，若AB=8，DH=6，求sin∠DAE的值．隨練2、操作與探究我們知道：過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，探究過四邊形四個頂點作圓的條件．（1）分別測量圖1、2、3各四邊形的內(nèi)角，如果過某個四邊形的四個頂點能一個圓，那么其相對的兩個角之間有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)．（2）如果過某個四邊形的四個頂點不能一個圓，那么其相對的兩個角之間有上面的關(guān)系嗎？試結(jié)合圖4、5的兩個圖說明其中的道理．（提示：考慮與180°之間的關(guān)系）由上面的探究，試歸納出判定過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件．隨練3、小明遇到這樣一個問題：如圖1，在銳角△ABC中，AD、BE、CF分別為△ABC的高，求證：．小明是這樣思考問題的：如圖2，以BC為直徑做半⊙O，則點F、E在⊙O上，，所以．（1）請回答：若，則∠AEF的度數(shù)是___________．（2）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在銳角△ABC中，AD、BE、CF分別為△ABC的高，求證：．圖圖1圖2圖3隨練4、阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M是的中點，∴MA=MC任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，D為上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，則△BDC的周長是__隨練5、先閱讀材料，再解答問題：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等．如圖，點A、B、C、D均為⊙O上的點，則有∠C=∠D．小明還發(fā)現(xiàn)，若點E在⊙O外，且與點D在直線AB同側(cè)，則有∠D＞∠E．請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題：（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，7），點B的坐標(biāo)為（0，3），點C的坐標(biāo)為（3，0）．①在圖1中作出△ABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法）；②若在x軸的正半軸上有一點D，且∠ACB=∠ADB，則點D的坐標(biāo)為__________；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，m），點B的坐標(biāo)為（0，n），其中m＞n＞0．點P為x軸正半軸上的一個動點，當(dāng)∠APB達到最大時，直接寫出此時點P的坐標(biāo)．隨練6、已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．（1）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．隨練7、四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的兩條，切點分別為B、C，P是邊AB上的動點，連接DP．（1）如圖1，當(dāng)點P與點B重合時，連接OC．①求∠E的度數(shù)；②求CE的長度；（2）如圖2，當(dāng)點P在AB上，且AP＜AB時，過點P作FP⊥DP于點P，交BE于點F，連接DF．①試判斷DP與FP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，求DP的長度．隨練8、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F(xiàn)，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD、FH．（1）試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)AB=BE=1時，求⊙O的面積；（3）在（2）的條件下，求HG?HB的值．隨練9、如圖，正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓，BC=2cm．現(xiàn)有兩動點E、F，分別從點B、點A同時出發(fā)，點E沿線段BA以1cm/秒的速度向點A運動，點F沿折線A﹣D﹣C以2cm/秒的速度向點C運動．當(dāng)點E到達A點時，E、F同時停止運動，設(shè)點E運動時間為t．（1）當(dāng)t為何值時，線段EF與BC平行？（2）設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時，EF與半圓相切？（3）如圖2，將圖形放在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)1＜t＜2時，設(shè)EF與AC相交于點P，雙曲線經(jīng)過點P，并且與邊AB交于點H，求出雙曲線的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的值．隨練10、數(shù)學(xué)活動﹣旋轉(zhuǎn)變換（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大小；（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．（Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長度；（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓，問：角α與角β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由，并求此條件下線段A′B的長度（結(jié)果用角α或角β的三角函數(shù)及字母m、n所組成的式子表示）隨練11、已知點M是銳角△ABC的外心，線段AM的延長線交邊BC于點N，⊙O經(jīng)過點A、M，分別交AB、AC于點D、E．（1）如圖1，當(dāng)線段AM為⊙O的直徑時，①求證：DE∥BC；②若AD=AE，∠BAC=60°，連接DN，求證：直線DN是⊙O的切線；③若AD=AE，∠BAC=45°，BC=2a，用含a的式子表示AD2；（2）如圖2，連MD、ME，若△ABC是等邊三角形，且四邊形ADME的面積為3，試求AB的長．拓展拓展1、如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5．OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半徑和線段PB的長；（3）若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．拓展2、已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，點O1在⊙O2上，C為⊙O2上一點（不與A，B，O1重合），直線CB與⊙O1交于另一點D．（1）如圖（1），若AD是⊙O1的直徑，AC是⊙O2的直徑，求證：AC=CD；（2）如圖（2），若C是⊙O1外一點，求證：O1C丄AD；（3）如圖（3），若C是⊙O1內(nèi)的一點，判斷（2）中的結(jié)論是否成立？拓展3、已知：如圖1，點A在半圓O上運動（不與半圓的兩個端點重合），以AC為對角線作矩形ABCD，使點D落在直徑CE上，CE=8．將△ADC沿AC折疊，得到△AD'C．（1）求證：AD'是半圓O的切線；（2）如圖2，當(dāng)AB與CD'的交點F恰好在半圓O上時，連接OA．①求證：四邊形AOCF是菱形；②求四邊形AOCF的面積．拓展4、如圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，弧AE等于弧AB，BE分別交AD、AC于點F、G．（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由；（2）若點E和點A在BC的兩側(cè)，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．拓展5、如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設(shè)它們運動的時間為x（s）．（1）求x為何值時，PQ⊥AC；（2）設(shè)△PQD的面積為y（cm2），當(dāng)0＜x＜2時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．拓展6、△ABC為等邊三角形，邊長為a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時S取最大值；（3）已知A、D、F、E四點共圓，已知tan∠EDF=，求此圓直徑．拓展7、如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O(shè)為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發(fā)，設(shè)它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜）．（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為；（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；（3）在運動過程中，當(dāng)直線MN與⊙O相切時，求t的值．拓展8、如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時，求△ABC的面積