2020-2021學(xué)年福建省龍巖市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2021學(xué)年福建省龍巖市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1．為虛數(shù)單位，，那么復(fù)平面上對應(yīng)的點在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因為，所以,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是，所以對應(yīng)的點在第一象限.應(yīng)選：A.2．設(shè)是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么向量可作為基底的是〔〕A． B．C． D．【答案】C【分析】逐項判斷向量是否共線，假設(shè)不共線，那么可以作為基底【詳解】解：對于A，因為，所以共線，所以不能作為基底，所以A不合題意；對于B，因為，所以共線，所以不能作為基底，所以B不合題意；對于C，假設(shè)共線，那么存在唯一實數(shù)，使，即，所以且，所以不存在，所以不共線，所以可以作為基底，所以C符合題意；對于D，因為，所以共線，所以不能作為基底，所以D不合題意，應(yīng)選：C3．新中國成立以來，我國共進行了次人口普查，這次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如以下圖所示．根據(jù)該圖數(shù)據(jù)判斷，以下選項中錯誤的選項是〔〕A．鄉(xiāng)村人口數(shù)均高于城鎮(zhèn)人口數(shù)B．城鎮(zhèn)人口數(shù)到達最頂峰是第次C．和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第次D．和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最小的是第次【答案】A【分析】結(jié)合信息圖，逐項分析即可.【詳解】A：因為2021年城鎮(zhèn)人口高于鄉(xiāng)村人口，故A錯誤；B：因為城鎮(zhèn)人口數(shù)到達最頂峰是2021年，即第7次，故B正確；C：第二次和第一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第三次和第二次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第四次和第三次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第五次和第四次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第六次和第五次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第七次和第六次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；所以和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第次，故C正確；和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最小的是第次，故D正確.應(yīng)選：A4．在中，角的對邊分別為，假設(shè)，那么〔〕A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件求出角，然后結(jié)合正弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因為，那么，結(jié)合正弦定理，即，解得，應(yīng)選：B.5．圓柱的側(cè)面積為，體積為那么該圓柱的軸截面的面積為〔〕A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積與體積公式，解得底面半徑及高，即可得到圓柱的軸截面面積．【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，高為，那么由題意得到，解得，所以圓柱軸截面為正方形，此圓柱的軸截面正方形的面積為應(yīng)選：．6．假設(shè)是兩個不重合的平面，是三條不重合的直線，那么以下命題中正確的選項是〔〕A．假設(shè)，那么B．假設(shè)，那么C．假設(shè)，且，那么D．假設(shè)，那么【答案】D【分析】結(jié)合選項逐個判定，可以利用定理推理，也可以使用反例排除.【詳解】對于A，，的位置關(guān)系無法確定；對于B，兩個平面平行，需要一個平面內(nèi)的兩條相交線平行于另一個平面，顯然不滿足；對于C，線面垂直需要直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，缺少相交的條件；對于D，，，所以，因為，所以；應(yīng)選：D.7．菱形，且，那么的余弦值為〔〕A． B． C． D．【答案】D【分析】以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件得出各個點的坐標(biāo)，由得出點的坐標(biāo)，再得出向量的坐標(biāo)，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】在菱形中，設(shè)交于點，分別以為軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.由，那么由，那么點為的中點，所以那么所以應(yīng)選：D8．現(xiàn)有個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中有放回的隨機抽取兩次，每次抽取一個球，記：事件表示“第一次取出的球數(shù)字是〞，事件表示“第二次取出的球數(shù)字是〞，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和為〞，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和為〞，那么以下選項正確的選項是〔〕A．事件和事件相互獨立 B．事件和事件相互獨立C．事件和事件相互獨立 D．事件和事件相互獨立【答案】C【分析】首先求出然后求出進而根據(jù)事件獨立的概率乘法公式即可判斷.【詳解】因為故事件和事件相互獨立應(yīng)選：C.二、多項選擇題9．設(shè)為復(fù)數(shù)，那么〔〕A．假設(shè)，那么 B．假設(shè)，那么C．假設(shè)，那么 D．假設(shè)滿足，那么的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的根本運算法那么進行化簡即可．【詳解】解：因為為復(fù)數(shù)，對于A：假設(shè)，那么為實數(shù)，所以，故A正確；對于B：假設(shè)，即，即，顯然當(dāng)時，上式也成立，故B錯誤；對于C：由，那么，，所以，應(yīng)選項C正確；對于D：設(shè)，，因為，所以，所以，那么，因為，所以，故D正確；應(yīng)選：ACD10．正四面體的棱長為分別為的中點．以下說法正確的有〔〕A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．該正四面體的體積為D．該正四面體的內(nèi)切球體積為【答案】ABD【分析】由正四面體性質(zhì)依次判斷各選項，即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，由于正四面體的相對棱互相垂直可知，,那么，故A正確；對于B,取中點,連接,由，可知異面直線與所成角即為,在中，,由余弦定理計算可得，故B正確；對于C，過點作面于點,由正四面體性質(zhì)可知，為的中心，計算可得，,該正四面體的體積為,故C錯誤;對于D，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，由等體積可知，,該正四面體的內(nèi)切球體積為，故D正確.應(yīng)選：ABD.11．在平行四邊形中，，那么以下選項正確的選項是〔〕A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】BC【分析】用為基底向量，將向量分別表示出來，由向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合的范圍可得答案.【詳解】所以由，那么所以的最小值是，最大值為10.應(yīng)選：BC.12．在中，角對邊分別為，設(shè)向量，且，那么以下選項正確的選項是〔〕A． B．C． D．假設(shè)的面積為，那么【答案】BC【分析】根據(jù)向量平行得到，結(jié)合余弦定理轉(zhuǎn)化為，進而利用正弦定理得到，化簡整理即可判斷A、B選項；利用正弦定理及二倍角公式將轉(zhuǎn)化為，然后求出角A的范圍，進而求出值域即可判斷C選項；利用，結(jié)合正弦定理及二倍角公式化簡整理可求得角，進而可以求出角，從而可以判斷D選項.【詳解】因為向量，且，所以，即，結(jié)合余弦定理得，，，再結(jié)合正弦定理得，，又因為,所以，，，，所以，故，所以B正確，A錯誤；，因為，所以，又因為，所以，所以，即，因此，故C正確；因為，結(jié)合正弦定理，即，那么,,，，那么，或，故或，故或，故D錯誤.應(yīng)選：BC.三、填空題13．向量，假設(shè)，那么________________________．【答案】【分析】先求出，利用向量垂直，列方程求出.【詳解】因為，所以，因為，所以，解得：.故答案為：14．記一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，且，那么_______________________．【答案】【分析】將展開，重新分組結(jié)合和條件可得答案.【詳解】所以故答案為：415．圓的弦的長度為，那么________________________．【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】如下圖：因為弦的長度為，所以，所以，故答案為：616．三棱錐，側(cè)面底面，那么_____________________．，三棱錐外接球的外表積為________________________．【答案】【詳解】解：〔1〕取BC中點D，連接PD，AD.由題知，和均為正三角形且邊長為，故.面PBC面ABC，由面面垂直的性質(zhì)知PD面ABCAD面ABC，在Rt中，.〔2〕設(shè)三棱錐P-ABC的外接球球心為O，故O到面ABC和面PBC的射影均為和的中心E、F，即四邊形OFDE為正方形，在中，,那么球的外表積.故答案為：.四、解答題17．復(fù)數(shù)．〔1〕假設(shè)，求；〔2〕求的最小值．【答案】〔1〕或；〔2〕．【分析】〔1〕由，解出方程得到答案.〔2〕由可得其最小值.【詳解】解：〔1〕因為，所以，所以或．〔2〕所以時，的最小值為18．如圖，是圓錐的頂點，是底面圓的直徑，為底面圓周上異于的點，為的中點．〔1〕求證：平面平面〔2〕假設(shè)圓錐的側(cè)面積為，且，求該圓錐的體積．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕．【分析】〔1〕由底面圓得到，再證明出即可證明平面，利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面〔2〕利用圓錐的側(cè)面積為，且，計算出，直接求出體積即可.【詳解】〔1〕由圓錐的性質(zhì)可知，底面圓∵在底面圓上，∴，∵在圓上，為直徑，∴，又點分別為的中點，∴∴又，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面．〔2〕∵，∴，∴底面周長為，∴，∴．19．為了解某班級學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)成績情況，抽取該班名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出其頻率分布直方圖〔如圖〕，從左到右各長方形高的比為．〔1〕根據(jù)頻率分布直方圖，計算抽取的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和第百分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；〔2〕假設(shè)從分?jǐn)?shù)在和的同學(xué)中隨機抽取兩位同學(xué)，求抽取的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績在的概率．【答案】〔1〕平均數(shù)為；第百分位數(shù)為；〔2〕．【分析】〔1〕由頻率的比例關(guān)系及它們的和為1求出各區(qū)間的頻率，再根據(jù)直方圖求平均數(shù)、第百分位數(shù)即可；〔2〕確定、區(qū)間的人數(shù)，從中隨機抽取兩位同學(xué)寫出所有可能組合，再確定兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績在的組合，求古典概型的概率即可.【詳解】〔1〕由頻率分布直方圖中，高的比就是頻率的比，∴各區(qū)間上的頻率可依次設(shè)為且，故各區(qū)間上的頻率從左往右依次為：，∴平均數(shù)為：，假設(shè)第百分位數(shù)為，那么，解得；∴所求平均數(shù)為，第百分位數(shù)為．〔2〕由〔1〕知，數(shù)學(xué)成績在共有人，分別記為；數(shù)學(xué)成績在共有人，分別記為，從這6人中隨機抽出兩位同學(xué)的樣本空間，故，記事件表示“至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績在〞那么，故，∴至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的概率為.20．在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題．在中，角的對邊分別為，且滿足，平分交于點且，求的面積．【答案】選擇見解析；．【分析】假設(shè)選①，由正弦定理可得，化簡得，從而可得，進而可得，假設(shè)選②，由正弦定理得，而，化簡可得，從而可求出，由可得，由余弦定理可得，那么有，求出，從而可求出三角形的面積【詳解】解：假設(shè)選①，由正弦定理，得．由，得，由，得，所以，所以．又，得．假設(shè)選②，因為，由正弦定理得，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，又因為，，所以，所以．因為，所以，化簡得①，由余弦定理得，所以，所以②，聯(lián)立①②化簡得，所以，解得或〔舍去〕，又因為，所以．21．甲、乙兩人組成“星隊〞參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，甲每輪猜對的概率為乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．每輪甲、乙同時猜錯的概率為，恰有一人猜錯的概率為.〔1〕求和；〔2〕假設(shè)，求“星隊〞在兩輪活動中猜對個成語的概率．【答案】〔1〕或；〔2〕．【分析】〔1〕由每輪甲、乙同時猜錯的概率為，恰有一人猜錯的概率為，得：，從而解得和的值；〔2〕由〔1〕得和的值，那么分甲猜對兩個，乙猜對兩個，甲猜對一個且乙猜對一個三種情況討論即可，然后相加即可得出答案.【詳解】解：〔1〕設(shè)M表示事件“每輪甲、乙同時猜錯〞；N表示事件“恰有一人猜錯〞，，，或；由〔1〕可知，設(shè)表示事件“甲在兩輪中猜對個成語〞，表示事件“乙在兩輪中猜對個成語〞，，表示“星隊〞在兩輪活動中猜對成語的個數(shù)〞，由于兩輪猜的結(jié)果相互獨立，所以，所以“星隊〞在兩輪活動中猜對個成語的概率為.22．等邊三角形分別是邊上的三等分點，且〔如圖甲〕，將沿折起到的位置〔如圖乙〕，是的中點．〔1〕求證：平面；〔2〕假設(shè)二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕．【分析】〔1〕過點作交于點取的中點，證明，平面即得證；〔2〕設(shè)，那么證明，設(shè)在面內(nèi)的