福建省廈門市2025屆高三數(shù)學線上質量檢查試題文含解析

PAGE24-福建省廈門市2025屆高三數(shù)學線上質量檢查試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合B，再與集合A求交集.【詳解】因為，又因為，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.2.橢圓：焦點坐標為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】先化為標準方程，求得，推斷焦點位置，寫焦點坐標.【詳解】因為橢圓：，所以標準方程為，解得，因為焦點在y軸上，所以焦點坐標為，.故選：B【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質，還考查了理解辨析的實力，屬于基礎題.3.記為等差數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的公差是（）A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)，，即，聯(lián)立求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以，，解得d=-1.故選：C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.4.《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽弦圖及注文.弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成朱色及黃色，其面積稱為朱實、黃實.由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱實+黃實=弦實，化簡得勾2+股2=弦2.若圖中勾股形的勾股比為，向弦圖內隨機拋擲100顆圖釘（大小忽視不計），則落在黃色圖形內的圖釘顆數(shù)大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】設勾為a，則股為，求得大正方形的邊長，面積，小正方形的邊長，面積，再利用幾何概型求得概率即可.【詳解】設勾為a，則股為，大正方形的邊長為，則其面積為，小正方形的邊長為，則其面積為，所以落在黃色圖形內的概率為：，落在黃色圖形內的圖釘顆數(shù)大約.故選：C【點睛】本題主要考查幾何概型的概率，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的實力，屬于基礎題.5.已知角的終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)角的終邊經過點，利用三角函數(shù)的定義求得，再利用兩角和與差的正切公式求解.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，所以.故選：D【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義及兩角和與差的正切公式，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的實力，屬于基礎題.6.，是兩個平面，，是兩條直線，且，，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】利用面面平行和面面垂直的性質定理推斷.【詳解】若，因為，所以則，又因為，所以，故B正確，A錯誤.若，因為，或，故C，D錯誤故選：B【點睛】本題主要考查面面平行和面面垂直的性質定理，還考查了空間想象，理解辨析的實力，屬于基礎題.7.在菱形中，，，為的中點，則（）A.10 B.12 C.16 D.36【答案】B【解析】【分析】利用向量的中點坐標公式，將，轉化為，再利用數(shù)量積的運算律和公式求解.【詳解】在菱形中，，，為的中點，則.故選：B【點睛】本題主要考查平面對量在平面幾何中的應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.8.已知數(shù)列滿意，（），則（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】D【解析】【分析】依據(jù)時，由，得兩式相減得：，得到數(shù)列是等比數(shù)列，再利用通項公式求解.【詳解】當時，由，得，兩式相減得：，又因為，所以數(shù)列時等比數(shù)列.所以.故選：D【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.9.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，得，，，再比較.【詳解】因為，所以，所以，又因為，，所以.故選：A【點睛】本題主要考查對數(shù)的換底公式和對數(shù)比較大小，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.10.在正三棱柱中，，，，，分別為，，，的中點，是線段上的一點.有下列三個結論：①平面；②；③三棱錐的體積是定值.其中全部正確結論的編號是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】充分利用正三棱柱的幾何特征，面面平行的性質定理和線面垂直的推斷定理以及等體積法求解.【詳解】如圖所示：因為，所以平面BDF.又因為DF//EG，所以EG//平面BDF，，所以平面平面BDF，所以平面，故①正確.因為，所以，又因為，，所以平面BDF，所以，故②正確.，故③正確.故選：D【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關系，還考查了空間想象和運算求解的實力，屬于中檔題.11.已知雙曲線：（）的左，右焦點分別為，，拋物線：（）的焦點與重合，點是與的交點，且，則的離心率是（）A2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)拋物線的定義和，得到，再依據(jù)雙曲線的定義，求得，，然后用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：過作拋物線的準線的垂線，因為，所以，又，∴，在中，由余弦定理得即，∴∴，∴或又，∴，即，∴.故選：C【點睛】本題主要考查拋物線的定義和雙曲線的定義及幾何性質，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.12.函數(shù)，若（）對恒成立，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由，求導，可知在R上是增函數(shù)，而當時，，當時，，依據(jù)，對恒成立，則必有成立.【詳解】因為，所以，所以在R上是增函數(shù)，當時，，當時，，當時，，因為，對恒成立，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調性和不等式恒成立問題，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部是______.【答案】2【解析】【分析】先化簡復數(shù)，再由復數(shù)概念求解.【詳解】因為復數(shù)所以的虛部是2故答案為：2【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及概念，還考查了運算求解和理解辨析的實力，屬于基礎題.14.若，滿意約束條件則的最大值是______.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)，滿意約束條件，畫出可行域，平移所在的直線，找到最優(yōu)點，將坐標代入求解.【詳解】因為，滿意約束條件所對應的可行域如圖所示：平移所在的直線，找到最優(yōu)點A（1，1），所以的最大值是4.故答案為：4【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的實力，屬于基礎題.15.如圖，函數(shù)（，）的圖象與坐標軸交于點，，，直線交的圖象于點，（坐標原點）為的重心，，則點的坐標為______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)（坐標原點）為的重心，，則有d，，得到，同時，是半個周期，可求得，再代入一個零點，求得即可.【詳解】因為（坐標原點）為的重心，，所以，所以，所以.所以，，因為，，所以.所以.故答案為：①.②.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.16.已知數(shù)列滿意，且（），則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意有，兩式相減的，則數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是遞減數(shù)列，再依據(jù)求幾項即可.【詳解】依據(jù)題意得：，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是遞減數(shù)列，又因為，所以，，的最大值是.故答案為：【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關系的應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.的內角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）求；（2）若，點在邊上，且，求的面積.【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將，轉化為，再利用兩角和與差的三角函數(shù)轉化為，再求解.（2）在中，利用余弦定理求得邊a，在中，求得，，再利用正弦定理求解.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴（2）如圖所示:∵，∴，∴，∵，∴.∵在中，，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∴.【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.18.如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，，都垂直于平面，且.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）法一由，利用線面平行的判定定理，得到面，同理面，再由面面平行的判定定理得到面面即可.（2）法一：連接，交于點，利用線面垂直的判定定理易得面，面，面，∴，又，，四邊形為矩形，利用等體積法求解.【詳解】（1）法一∵，面，面，∴面，∵平面，平面，∴，又面，面，∴面，∵，∴面面，又面，∴面.法二：取中點，連接，，∵平面，平面，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴，∴，，，四點共面.∴面.又面，∴面.（2）法一：連接，交于點，∵面，面，∴.又，，∴面.等邊中，，，∵面，面，∴，又，.∴四邊形為矩形，∴.∴.法二：∵面，面，∴，又面，面，∴面.取中點，連接，∵面，面，∴，在等邊中，，又，∴面，∴到面的距離即為.又，∴.【點睛】本題主要考查線面平行、面面平行的判定定理和性質定理，還考查了數(shù)形結合、轉化化歸的思想和空間想象的實力，屬于中檔題.19.鳳梨穗龍眼原產廈門，是廈門市的名果，栽培歷史已有100多年.龍眼干的級別按直徑的大小分為四個等級（如下表）.級別三級品二級品一級品特級品某商家為了解某農場一批龍眼干的質量狀況，隨機抽取了100個龍眼干作為樣本（直徑分布在區(qū)間），統(tǒng)計得到這些龍眼干的直徑的頻數(shù)分布表如下：頻數(shù)1297用分層抽樣的方法從樣本的一級品和特級品中抽取6個，其中一級品有2個.（1）求、的值，并估計這批龍眼干中特級品的比例；（2）已知樣本中的100個龍眼干約500克，該農場有500千克龍眼干待出售，商家提出兩種收購方案：方案：以60元/千克收購；方案：以級別分裝收購，每袋100個，特級品40元/袋、一級品30元/袋、二級品20元/袋、三級品10元/袋.用樣本的頻率分布估計總體分布，哪個方案農場的收益更高？并說明理由.【答案】（1），；（2）應選擇方案，理由見解析【解析】分析】（1）依據(jù)題意，建立方程組求解/（2）農場選擇方案獲得的收入為（元），設農場選擇方案獲得的收入為元，依題意先計算500千克龍眼干共可以分裝多少袋，再利用樣本估計總體，分別明確特級品，一級品，二級品，三級品各多少袋，再求解比較.【詳解】（1）依題意得，解得.∴所抽取的100個龍眼干中特級品的頻率為，∴用樣本頻率估計總體分布得，這批龍眼干中特級品的比例為58%.（2）農場選擇方案獲得的收入為（元），設農場選擇方案獲得的收入為元，則依題意得500千克龍眼干共可以分裝1000袋，用樣本頻率估計總體分布得：特級品有袋，一級品有袋，二級品有袋，三級品有袋.∴（元）∵，∴農場應選擇方案.【點睛】本題主要考查樣本估計總體，還考查了數(shù)據(jù)處理的實力，屬于中檔題.20.已知點，，直線，相交于點，且它們的斜率乘積為.（1）求點的軌跡的方程；（2）設曲線與軸正半軸交于點，直線：與交于，兩點，是線段的中點.證明：.【答案】（1）（）；（2）見解析【解析】【分析】（1）設點的坐標為，依據(jù)題意，即，再化簡求解.（2）設直線：與曲線的交點為，由，得，又，，，要證，依據(jù)三角形中線定理，即證，再利用向量法由求解.【詳解】（1）設點的坐標為，∵，∴，化簡得：，又，故動點的軌跡的方程為（）.（2）設直線：與曲線的交點為，，由，得，又，，，法一：要證，即證，即證①，∵，，∴，.故①式成立，則命題得證.法二：點坐標為，則，，，故，則命題得證.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法和直線與橢圓的位置關系，還考查了數(shù)形結合、轉化化歸的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）若在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個極值點，，證明：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）將在上單調遞增，轉化為在上恒成立，恒成立求解.（2）利用換元法，設，將，轉化為，則由，，∴，得到有兩個極值點，（），再將證明，轉化為證明，令（），求其最大值即可.【詳解】（1）依題意得在上恒成立，得，∵（當時等號成立），∴的取值范圍為.（2）令，設，則（*），當時，，設方程（*）的兩個實根為，（），則，，∴，∴，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，∴有兩個極值點，（），∴，（），令（），∴，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.∴，∴，即.【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調性，導數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了數(shù)形結合、轉化化歸的思想和運算求解的實力，屬于難題.22.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線的極坐標方程為.（1）寫出的