全國初中物理自主招生專題大揭秘專題03速度合成及小船過河（教師版）

頁一．選擇題（共7小題）1．如圖所示，均質細桿的上端A靠在光滑豎直墻面上，下端B置于光滑水平面上，現細桿由與墻面夾角很小處滑落，則當細桿A端與B端的速度大小之比為時，細桿與水平面間夾角θ為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】A、B兩點沿桿方向的分速度大小相等，根據題意求出細桿與水平面間的夾角?！窘獯稹拷猓篈、B兩點速度如圖所示A、B兩點沿細桿方向的分速度相等，則vAsinθ＝vBcosθ由題意可知：vA：vB＝：1，解得：θ＝60°，故A正確，BCD錯誤。故選：A。2．《綜合國力“十三五”國家科技創(chuàng)新規(guī)劃》提出，要加強“深空”“深?！薄吧畹亍薄吧钏{”領域的戰(zhàn)略高科技部署，其中“深?！鳖I域主要是深海探測和研究。如圖所示是上海交通大學某科研小組在某次深海探測結束后，利用牽引汽車將某探測器M從海面起吊上岸的過程簡化圖，不計滑輪摩擦和繩子質量，牽引汽車以速度v向左勻速運動，當牽引汽車端繩子與水平方向的夾角為θ時，探測器M的速率為（）A．v B．vsinθ C．vcosθ D．【分析】將汽車的運動分解為沿繩和垂直于繩的方向，沿繩方向的分速度的大小等于探測器M的速度大小?！窘獯稹拷猓簩⑵嚨乃俣劝囱乩K方向和垂直繩子方向進行分解，如圖汽車沿繩子方向的速度的大小等于M的速度的大小，根據平行四邊形定則得，v∥＝vcosθ探測器M上升的速率即為v∥，故C正確，ABD錯誤。故選：C。3．如圖所示，河兩岸相互平行，水流速度恒定不變．船行駛時相對水的速度大小始終不變．一開始船從岸邊A點出發(fā)，船身始終垂直河岸，船恰好沿AB航線到達對岸B點耗時t1，AB與河岸的夾角為60°．調整船速方向，從B點出發(fā)沿直線BA返航回到A點耗時t2．則t1：t2為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根據船頭指向始終與河岸垂直，結合運動學公式，可列出河寬與船速的關系式，當路線與河岸垂直時，可求出船過河的合速度，從而列出河寬與船速度的關系，進而即可求解．【解答】解：設水流速度為v，去程時船頭朝向始終與河岸垂直，且航線AB與岸邊夾角為60°，那么小船在靜水中的速度大小為vc＝v，當船頭指向始終與河岸垂直，則有：t1＝＝；當回程時行駛路線與去程時航線相同，則有：t2＝；設合速度與船在靜水中速度方向夾角為α，依據正弦定理，則有：＝，解得：α＝30°因此回頭時的船的合速度為：v合＝＝v那么合速度在垂直河岸方向的分速度為v′＝v；則t2＝＝因此去程與回程所用時間之比為1：2，故B正確，ACD錯誤；故選：B。4．如圖所示，河寬L＝200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小滿足u＝0.2x（x是離最近的河岸的距離）。一小船在靜水中的速度v＝10m/s，小船自A處出發(fā)，渡河時，船頭始終垂直河岸方向，到達對岸B處，設船的運動方向與水流方向的夾角為θ，下列說法正確的是（）A．小船渡河時間大于20s B．A、B兩點間距離為200m C．到達河中央前小船加速度大小為0.2m/s2 D．在河中央時，θ最小，且tanθ＝0.5【分析】將船的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上的速度等于靜水速，根據河寬以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的時間；水流速與到河岸的最短距離x成正比，是成線性變化的，知水流速的平均速度等于處的水流速；根據平均水流速，求出沿河岸方向上的位移，從而求出AB的直線距離，最后根據水流速度與距離的關系，得出在河中央處，水流速度，再結合三角知識，即可求解夾角的最小值。【解答】解：A、渡河的時間t＝＝s＝20s，故A錯誤；B、水流速的平均速度等于處的水流速，則有：u＝0.2×＝0.2×m/s＝10m/s所以沿河岸方向上的位移為：x＝ut＝200m所以AB的直線距離為：s＝m＝200m，故B錯誤；C、船在靜水中速度是不變，而水流速度滿足u＝0.2x（x是離河岸的距離），因x＝vt，那么u＝2t，因此到達河中央前小船加速度大小為2m/s2，故C錯誤；D、當到達中央時，水流速度為u＝0.2x＝0.2×100m/s＝20m/s，由三角知識，則有tanθ＝＝0.5，故D正確。故選：D。5．寬為d的河中水速為v1，船速為v2，船過河的最短路程為s，則下列關系正確的是（）A．若v1＞v2，s＝（）d B．若v1＞v2，s＝（）d C．若v1＜v2，s＝（）d D．若v1＜v2，s＝d【分析】（1）當船速大于水速時，船頭斜向上，船的合速度與河岸垂直，船可以垂直渡河，船渡河的最短路程等于河寬；（2）船速小于水速時，船不可能垂直渡河，船的最短路程大于河寬，當船速垂直于船的合速度時，船渡河的路程最短。【解答】解：C、D、當船速大于水速即：v1＜v2時，船可以垂直渡河，船的最小路程等于河寬，s＝d，如圖（1）所示；故C錯誤，D錯誤；A、B、當船速小于水速即：v1＞v2時，船不能垂直渡河，當船的合速度與船速垂直時，船的路程最短，如圖（2）所示：cosθ＝＝，船的最小路程s＝＝d．故A正確，B錯誤；故選：A。6．如圖所示，河寬為L，河水流速為u，甲、乙兩船同時出發(fā)渡河且相對水的速度均為v。出發(fā)時兩船相距d，行駛過程中兩船船身均與岸邊成45°，乙船最終到達正對岸的A點，兩船始終沒有相遇。則下列說法正確的是（）A．v：u＝1： B．兩船行駛的路程相等 C．兩船同時到達河對岸 D．L＞【分析】根據乙船恰好能直達正對岸的A點，知v＝u．小船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，抓住分運動和合運動具有等時性，可以比較出兩船到達對岸的時間以及甲船沿河岸方向上的路程，再根據渡河時間，從而確定不相撞時，兩船間距?！窘獯稹拷猓篈C、乙船恰好能直達正對岸的A點，根據速度合成與分解，知vcos45°＝u，解得：v＝u。將小船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，抓住分運動和合運動具有等時性，兩船在垂直河岸方向的速度大小相等，則有甲乙兩船到達對岸的時間相等，故A錯誤，C正確。B、由圖可知，甲船在水中行駛的路程大于乙船的路程，故B錯誤；D、由題意可知，兩船在垂直河岸方向的位移總是相等，且兩船在水流方向的速度大小相等，因不相遇，則d不得小于2L，即L小于或等于，故D錯誤。故選：C。7．如圖所示，小車在岸上拉船，輕繩一端固定在豎直墻壁上，另一端跨過車后的定滑輪與船相連，拉車的兩段輕繩水平。小車以速度v勻速向左運動，當輕繩與水平面的夾角為θ時，船的速度大小為（）A．2vcosθ B． C． D．【分析】先判斷出小船的運動為合運動，將其運動沿著繩子和垂直繩子分解，由于動滑輪的存在，繩子方向的速度為小車速度的2倍?！窘獯稹拷猓簩⒋乃俣确纸鉃檠乩K子方向的速度v1和垂直繩子方向的速度，可知v1＝v船cosθ結合動滑輪的特點，對小車而言v1＝2v則故ABD錯誤，C正確；故選：C。二．多選題（共3小題）（多選）8．如圖所示為一條河流，河水流速為v，一只船從A點先后兩次渡河到對岸，船在靜水中行駛的速度為u，第一次船頭向著AB方向行駛，渡河時間為t1，船的位移為s1；第二次船頭向著AC方向行駛，渡河時間為t2，船的位移為s2．若AB、AC與河岸的垂線方向的夾角相等，則有（）A．t1＝t2 B．t1＜t2 C．s1＜s2 D．s1＞s2【分析】將小船的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，根據垂直于河岸方向上的分速度比較運行的時間．再通過比較沿河岸方向上的位移，根據平行四邊形定則比較出實際的位移大小．【解答】解：A、因為AB、AC與河岸的垂線方向的夾角相等，則在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河時間t＝．所以兩次渡河時間相等。故A正確，B錯誤；C、船頭向著AB方向行駛時，沿河岸方向的分速度v∥＝ucosθ+v，船頭向著AC方向行駛時，沿河岸方向行駛的分速度v∥′＝v﹣ucosθ＜v∥，水平方向上的位移x1＞x2，根據平行四邊形定則，則s1＞s2．故C錯誤，D正確。故選：AD。（多選）9．如圖所示，MN、PQ分別表示小河的兩岸．小河流水速度恒定，方向由M指向N，甲、乙兩只小船先后在河岸的A處開始渡河，小船甲以最短時間過河，小船乙以最短位移過河，兩只小船都沿軌跡AB到達對岸的B點，AB與河岸的夾角為θ，則（）A．兩船在靜水中的速度大小之比V甲：V乙＝1：cosθ B．兩船在靜水中的速度大小之比V甲：V乙＝1：sinθ C．兩船過河的時間之比t甲：t乙＝cosθ：1 D．兩船過河的時間之比t甲：t乙＝cos2θ：1【分析】根據運動的合成可知，由題意可知，小船甲垂直河岸過河時，時間才是最短；而乙由于在靜水中的速度小于水流速度，因此當合速度與在靜水中的速度相垂直時，小船乙能以最短位移過河，從而根據三角函數關系，即可求解．【解答】解：A、根據題意可作出，兩船運動的速度合成圖，如圖所示，則有：因而解得：V甲：V乙＝1：cosθ，故A正確，B錯誤；C、過河時間與兩船在垂直河岸方向的分速度成正比，因此將乙船速度沿垂直河岸分解，則有v⊥＝v乙cosθ，所以兩船過河的時間之比t甲：t乙＝V甲：V⊥＝cos2θ：1，故C錯誤，D正確；故選：AD。（多選）10．甲乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，河寬為d，河水流速為v0，已知在靜水中劃船速度大小均為v，出發(fā)時兩船相距為2d，甲乙兩船的船頭均與河岸成45°角，且乙船正好垂直岸到達對岸的O點，如圖所示，則下列判斷正確的是（）A．兩船同時到達對岸 B．乙船先到達對岸 C．v＝2v0 D．甲船也在O點靠岸【分析】由運動的獨立性可知，渡河時間取決于船垂直于河岸的速度，由兩船的速度可求得渡河時間；根據乙船的合運動可知船速與水速的關系；先求得甲船沿水流方向的速度，根據渡河時間可求得甲過河時在水流方向上通過的距離，則可判斷在何處靠岸．【解答】解：A、由于兩船的速度大小相等，且與河岸的夾角相同，所以船速在垂直于河岸方向上的分速度相等；根據運動的獨立性原理，船速度平行于河岸的分量將不影響船行駛到對岸所用的時間，所以兩船同時到岸，A正確，B錯誤；C、因乙船正對垂直河岸過河，故vcos45°＝v0，故v＝v0，故C錯誤；D、甲船沿水流方向的速度為vcos45°+v0＝2v0，在相同的時間內，甲船通過的位移x甲＝2v0t，船到達對岸的時間t＝＝，故船沿水流方向通過的位移x甲＝2d，故甲船也在O點靠岸，故D正確；故選：AD。三．填空題（共7小題）11．某河流兩岸相距120米，河水流速為2米/秒，某人要從A點到對岸下游B點AB間距為150米，此人在水中的游泳速度為1.2米/秒，在岸上奔跑的速度為5米/秒，如果此人要用最短的時間過河，則他從A點到B點需用時122s?！痉治觥吭擃}要分為兩個過程，一是以最短的時間過河，到達河的對岸時，此時并沒有到達B點，人還要沿河岸向B點奔跑。兩個過程所用時間的和即為最短時間?！窘獯稹拷猓喝艘宰疃痰臅r間渡河，設時間為t1，則有t1＝＝＝100s此過程人隨河水向下游漂游的距離為：s＝v水t1＝2×100＝200m人到達河對岸時距離B的距離為：L＝s﹣＝200﹣＝110m人渡河后在以5m/s的速度向B點跑去，到達B的時間為t2，則有：t2＝＝＝22s所以從A點到B點需用時為：t＝t1+t2＝100+22＝122s故答案為：122s12．如圖所示，一個長直輕桿AB在墻角沿豎直墻和水平地面滑動，當AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為V1，B端沿地面的速度大小為V2，則V1、V2的關系是V1＝V2tanθ．【分析】將A、B兩點的速度分解為沿桿子方向和垂直于桿子方向，抓住兩點沿桿子方向上的分速度相等，求出v1和v2的關系．【解答】解：將A點的速度分解為沿桿子方向和垂直于桿子方向，在沿桿子方向上的分速度為v1∥＝v1cosθ，將B點的速度分解為沿桿子方向和垂直于桿子方向，在沿桿子方向上的分速度v2∥＝v2sinθ．由于v1∥＝v2∥，所以v1＝v2tanθ．故答案為：v1＝v2tanθ．13．物體A穿在光滑的豎直桿上，人用繩子通過光滑輕質定滑輪拉A，使其向上運動，到達如圖所示位置時，繩與豎直桿的夾角為θ，物體A速度大小為vo，此刻人拉繩的速度大小是v0cosθ，若物體的重力是mg，人的拉力是F，此刻物體的加速度大小為?！痉治觥繉的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，根據平行四邊形定則結合A的運動的速度，即可求解人拉繩的速度，對A受力分析，根據牛頓第二定律求解加速度?！窘獯稹拷猓簩的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，如圖所示，拉繩子的速度等于A沿繩子方向的分速度，根據平行四邊形定則得，運動速度為：v人＝v0cosθ；若物體的重力是mg，人的拉力是F，此刻物體的加速度大小為a＝＝。故答案為：v0cosθ；。14．如圖所示，飛機起飛時以300km/h的速度斜向上飛，飛行方向與水平方向夾角為37°，則飛機在水平方向上的分速度大小約為240km/h。（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）【分析】飛機以300km/h的速度斜向上飛行，方向與水平方向成37°角，合速度為飛機的實際速度，將合速度沿著水平方向和豎直方向正交分解，根據平行四邊形定則作圖求解．【解答】解：將合速度沿著水平方向和豎直方向正交分解，如圖所示：故水平方向的分速度為：v2＝vcos37°＝300km/h×0.8＝240km/h故答案為：240.15．如圖所示，水平面上有一物體，小車通過定滑輪用繩子拉它，使它沿水平路面運動，在圖示位置時，若小車的速度，則物體的瞬時速度v1＝6m/s?！痉治觥繉④嚭臀矬w的速度沿繩子和垂直于繩子方向分解，抓住車和物體沿繩子方向的分速度相等，求出物體的瞬時速度．【解答】解：將車和物體的速度沿繩子和垂直于繩子方向分解，如圖，有v1cos60°＝v2cos30°．則v1＝＝m/s＝6m/s．故答案為：6。16．如圖所示，光滑直角細桿POQ固定在豎直平面內，OP邊水平，OQ邊豎直，OP與OQ在O點用一小段圓弧桿平滑相連，質量均為m的兩小環(huán)A、B用長為L的輕繩相連，分別套在OP和OQ桿上。初始時刻，將輕繩拉至水平位置伸直，然后同時釋放兩小環(huán)，已知重力加速度為g。（1）當B環(huán)下落時，A環(huán)的速度大小為。（2）A環(huán)到達O點時速度大小為。【分析】A與B下降的過程中系統(tǒng)的機械能守恒，先由速度的合成與分解求出A、B速度的關系，然后即可求出A、B在不同點的速度?！窘獯稹拷猓海?）當B環(huán)下落時，兩小環(huán)組成的系統(tǒng)機械能守恒，由機械能守恒定律得：mg＝A、B兩小環(huán)沿繩方向速度相等，將兩小環(huán)的速度分解到沿繩方向和垂直于繩方向如圖所示：則vAcosα＝vBcosβ由幾何關系得α＝30°，β＝60°聯立解得：vA＝（2）B下降的過程，當繩子與水平方向之間的夾α接近90°時，β接近0，vAcosα＝vBcosβ則vB接近0，則當A到達O點時，B的速度等于0兩小環(huán)組成的系統(tǒng)機械能守恒，由機械能守恒定律得：mgL＝解得：vA＝故答案為：（1）；（2）。17．如圖所示，汽車以速度v勻速行駛，當汽車到達P點時，繩子對水平方向的夾角為θ，此時物體M的速度大小為vcosθ（用v、θ表示），繩子的拉力大于（選填：大于、等于、小于）物體M的重力?！痉治觥啃≤噮⑴c兩個分運動，沿繩子方向和垂直繩子方向的兩個分運動，由于繩子長度一定，故物體上升的速度等于小車沿繩子方向的分速度．【解答】解：小車參與兩個分運動，沿繩子拉伸方向和垂直繩子方向（繞滑輪轉動）的兩個分運動，將小車合速度正交分解，如圖物體上升速度等于小車沿繩子拉伸方向的分速度v物＝v1＝vcosθ可知物體的速度再增大，所以拉力大于物體重力；故答案為：vcosθ．大于四．計算題（共2小題）18．在有霧的早晨，一輛小汽車以25m/s的速度在平直的公路上行駛，突然發(fā)現正前方50m處有一輛大卡車以10m/s的速度在同向勻速直線行駛小汽車立即剎車做加速度大小為5m/s2的勻減速直線運動。從剎車時開始計時，求：（1）3s末小汽車的速度大??；（2）通過計算（要寫過程）說明小汽車會不會碰上前面的大卡車?！痉治觥浚?）根據速度時間公式計算汽車3s末的速度；（2）當兩車速度相等時距離最近，分別計算出他們速度相等時的位移，然后做出判斷即可?！窘獯稹拷猓海?）設小汽車初速度的方向為正方向，則根據速度與時間的關系：v＝v0+at則3s末小汽車的速度：v＝25m/s﹣5×3m/s＝10m/s（2）由（1）可知，兩車達到速度相同所用的時間為3s這段時間內小汽車的位移大卡車的位移x2＝vt＝10×3m＝30m因為x2+50＞x1故小汽車不會碰上卡車。答：（1）3s末小汽車的速度大小為10m/s；（2）小汽車不會碰上前面的大卡車。19．已知小船在靜水中的速率是v1＝5m/s，現讓該船渡過某條河流，假設這條河流的兩岸是理想的平行線，河寬d＝100m，河水均勻流動且速率為v2＝3m/s，方向與河岸平行，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，回答下列問題：（1）若要以最短時間過河，小船船頭的指向朝哪里？（2）若行駛過程中始終保持小船船頭的指向垂直于河岸，則渡過時間t1是多少？小船到達對岸時向下偏移的位移x是多少？（3）欲使小船到達河的正對岸，則船頭應與河岸上游方向的夾角α為多大？渡河時間t2為多少？【分析】（1）小船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短；（2）根據勻速直線運動的位移—時間關系計算時間；（3）欲使小船到達河的正對岸，即合速度方向指向對岸，結合運動學公式，及矢量的合成法則，即可解答?！窘獯稹拷猓海?）行駛過程中始終保持小船船頭的指向垂直于河岸，則過河時間最短。（2）若行駛過程中始終保持小船船頭的指向垂直于河岸，則渡過時間為：小船到達對岸時向下偏移的位移為：x＝v2t1＝3.2×20m＝64m；（3）欲使小船到達河的正對岸，即合速度方向指向對岸，設船頭應河岸上游的夾角為α，則有：解得：α＝53°渡河時間為：。答：（1）若要以最短時間過河，行駛過程中始終保持小船船頭的指向垂直于河岸；（2）若行駛過程中始終保持小船船頭的指向垂直于河岸，則渡過時間為20s，小船到達對岸時向下偏移的位移x是64m；（3）欲使小船到達河的正對岸，則船頭應與河岸上游方向的夾角α為53°，渡河時間t2為25s。五．解答題（共4小題）20．一艘小艇從河岸的A處出發(fā)渡河，小艇保持與河岸垂直方向行駛，經過10min到達正對岸下游120m的C處，如圖所示。如果小艇保持原來的速度逆水斜向上游與河岸成α角方向行駛，則經過12.5min恰好到達正對岸的B處，求河的寬度?！痉治觥吭趦煞N運動情況下，分別列出速度時間與河寬的關系式，分析第二次時船速與水速之間的關系，聯立即可得出河的寬度?！窘獯稹拷猓簍1＝10min＝600s，t2＝12.5min＝750s設河寬為d，河水流速為v1，船速第一次為v2，第二次為，（v2、大小相同，方向不同）船兩次運動速度合成如圖所示：由題意有：在垂直于河岸的方向上：d＝v2?t1＝?sinα?t2…①在沿河流的方向上：SBC＝v1?t1…②＝cosα…③v2＝…④以上各式聯立，代入數據可求得：河寬d＝200m答：河的寬度為200m21．一艘小艇在靜水中的速度大小為15m/min，河中水的流速大小為12m/min．小艇從河岸的A處出發(fā)渡河，小艇保持與河岸垂直的方向行駛，經過10min到達對岸的C處；如果小艇保持原來的速度逆水斜向上游與河岸成θ角的方向行駛，恰好到達正對岸的B處，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）試求：（1）這條河的寬度是多少？（2）小艇保持原來的速度逆水斜向上游與河岸成的θ角多大？【分析】將小船的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，抓住分運動與合運動具有等時性，求出河的寬度．當實際航線與河岸垂直，則合速度的方向垂直于河岸，根據平行四邊形定則求出船頭與河岸所成的夾角．【解答】解：（1）小艇保持與河岸垂直的方向行駛，這條河的寬度：d＝vt＝15×10＝150m；（2）小艇保持原來的速度逆水斜向上游與河岸成的θ角，恰好到達正對岸的B處，則有：cosθ＝＝＝0.8；解之得：θ＝37°；答：（1）這條河的寬度是150m；（2）小艇保持原來的速度逆水斜向上游與河岸成的θ角37°．22．2017年5月9日，中國廣州地區(qū)突降大雨，開始雨點豎直下落到地面，落地時速度為10m/s。若在地面