浙江省杭州市周邊重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、選擇題：本題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先借助不等式求出集合，再運(yùn)用交集的運(yùn)算求.【詳解】由，則，故選：B.2.記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再由可得.【詳解】由得，所以，故選：C.3.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則（）A.兩人都中靶的概率為0.12 B.兩人都不中靶的概率為0.42C.恰有一人中靶的概率為0.46 D.至少一人中靶的概率為0.74【答案】C【解析】【分析】設(shè)出事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)甲中靶為事件，乙中靶為事件，則兩人都中靶的概率為，兩人都不中靶的概率為，恰有一人中靶的概率為，至少一人中靶的概率為.故選：C4.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算求解可得.【詳解】，由，則，化簡得.故選：A.5.已知是兩個(gè)互相垂直的平面，是兩條直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】借助長方體模型，判斷線線與線面位置即可.詳解】如圖，長方體中，平面平面，令平面為，平面為，則平面平面，①令，，即，但平面，，故不與平面平行，即不成立.故，所以“”是“”的不充分條件；②令，平面，即，但，不與平行，即不成立.故，所以“”是“”的不必要條件；綜上所述“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分段作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得函數(shù)為R上的增函數(shù)，再判斷函數(shù)的奇偶性，再利用單調(diào)性與奇偶性性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，化簡求解可得.【詳解】，x∈R，則，作出函數(shù)的圖象，可知是R上的增函數(shù).又，是奇函數(shù).不等式可化為，所以，則，即，解得，不等式的解集是.故選：B.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，求出，由此可得的最大、最小值.【詳解】由函數(shù)的值域?yàn)?，得，得，，得，由定義域?yàn)椋?，，所以的取值范圍?故選：D.8.如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）①二面角的大小為常數(shù)②二面角的大小為常數(shù)③二面角的大小為常數(shù)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面的法向量，看兩個(gè)半平面的法向量夾角的余弦值是否含參數(shù)，從而確定二面角是否為常數(shù).【詳解】設(shè)正方體的棱長為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為n1=x1,y則，即，令，則，，即，又平面，則，即，則，解得，因此可得，，設(shè)平面的法向量為，又，，則，即，令，則，，即，又因此可得二面角的大小為常數(shù)，故①正確；設(shè)平面的法向量為，又，，則，即，令，則，，即，因?yàn)橹泻瑓?shù)，故的值不定，因此二面角大小不是常數(shù)，故②不正確；設(shè)平面的法向量為，又，，則，即，令，則，，即，因?yàn)橹泻瑓?shù)，故值不定，因此二面角的大小不是常數(shù)，故③不正確；故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.與平行有關(guān)的軌跡問題的解題策略（1）線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；（2）平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡．2.與垂直有關(guān)的軌跡問題的解題策略（1）可利用線線、線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；（3）利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某次校十佳歌手評(píng)比中，10位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)分別為，計(jì)算得平均數(shù)，方差，現(xiàn)去掉一個(gè)最高分10分和一個(gè)最低分5分后，對(duì)新數(shù)據(jù)下列說法正確的是（）A.極差變大 B.中位數(shù)不變C.平均數(shù)變小 D.方差變大【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差定義理解及求法判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由于10個(gè)數(shù)據(jù)已經(jīng)確定，故不妨設(shè)，由題意不妨取，A項(xiàng)，原極差為，去掉最高與最低分后，極差為，所以去掉最高和最低分，極差有可能減小，極差變大是不可能的，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，中位數(shù)的定義知：數(shù)據(jù)從小到大排列，中間兩個(gè)數(shù)的平均值是中位數(shù)，去掉最高和最低不影響中間兩個(gè)數(shù)，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，由題意原平均數(shù)，則，則去掉最高與最低分后，平均數(shù)變?yōu)?，平均?shù)變小，故C正確；D項(xiàng)，去掉最高和最低分后，數(shù)據(jù)移除這兩個(gè)極端值后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性減小，故方差會(huì)變小，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則是直角三角形D.若，則的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理邊角關(guān)系判斷A；利用正弦定理解三角形求角C判斷B；由已知可得，由其幾何意義可知邊上的中線長等于的一半，即可判斷C；由余弦定理和基本不等式求出，再由數(shù)量積的定義將的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，由求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，則，故A正確對(duì)于B，由，則，而，故或，因?yàn)椋?，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由、，，故，所以在中邊上的中線長等于的一半，即是為直角的直角三角形，故C正確.對(duì)于D，而，當(dāng)時(shí)，取最大值，故D正確.故選：ACD.11.四面體中，，記四面體外接球的表面積為，當(dāng)變化時(shí)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)四面體體積最大時(shí)，C.可以是 D.可以是【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影是的外心，構(gòu)造直角三角形求外接球的半徑；B選項(xiàng)，平面平面時(shí)，構(gòu)造直角三角形求外接球的半徑；C選項(xiàng)，由外接球半徑的范圍進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)，驗(yàn)證外接球的半徑是否成立.【詳解】設(shè)四面體外接球的球心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在平面內(nèi)的投影是的外心，由，為直角三角形，外心是邊的中點(diǎn)，平面，平面，三點(diǎn)共線，中，，中，由，得，解得，此時(shí)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)四面體體積最大時(shí)，有平面平面，設(shè)平面的外心為，為中點(diǎn)，連接，則平面，由，則，，，平面平面，平面平面，平面，，則平面，又平面，則有，中，，又，則，同理可得平面，，所以四邊形為矩形，，中，由，得，此時(shí)，B選項(xiàng)正確；若，則外接球的半徑為，而的外接圓半徑，所以這種情況不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，則，即，四面體外接球的半徑成立，此時(shí)，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求一個(gè)特殊四面體的外接球半徑,通常有以下幾種思路:一是構(gòu)造法,比如求等腰四面體與直角四面體的外接球半徑,可通過構(gòu)造一個(gè)球內(nèi)接長方體得到;二是截面法,比如求正三棱錐的外接球徑,可通過分析球心與一條側(cè)棱所在截面的有關(guān)三角形計(jì)算得到;三是觀察法,比如將一個(gè)矩形沿對(duì)角線折成一個(gè)四面體,它的外接球球心就是原來矩形外接圓的圓心.關(guān)于一般四面體的外接球半徑問題,可以用解析法求出.方法如下:先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并寫出這個(gè)四面體四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值是______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求出的值，再通過的圖象關(guān)于軸對(duì)稱來確定的值.【詳解】由為冪函數(shù)，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，其圖象關(guān)于對(duì)稱，因此，故答案為：2.13.已知，且，則的最小值為______．【答案】81【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，再結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，，則，，，又，則，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以可得，因此的最小值為81.故答案為：81.14.在正四面體中，分別為的中點(diǎn)，，截面將四面體分成兩部分，則體積較大部分與體積較小部分的體積之比是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)線線平行可得截面，即可利用等體積法，結(jié)合比例即可求解.【詳解】取,由可得,故，故得截面為四邊形，，,,故，故體積較大部分與體積較小部分的體積之比，故答案為：四、解答題：（共5大題，共77分，其中第15題13分，第16題、第17題每題15分，第18題、第19題每題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．15.已知，，．（1）當(dāng)時(shí)求集合；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解不等式，從而求出集合；（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，求取不同值時(shí)的集合，再根據(jù)，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，由不等式，解得，即；【小問2詳解】由不等式，則，即，當(dāng)時(shí)，由（1）知，，又，則，即符合題意；當(dāng)時(shí)，為空集，又，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，或，又，則，即，故符合題意；當(dāng)時(shí)，或，顯然，故符合題意；當(dāng)時(shí)，或，顯然，故符合題意；綜上知，或.16.為了了解某項(xiàng)活動(dòng)的工作強(qiáng)度，隨機(jī)調(diào)查了參與活動(dòng)的100名志愿者，統(tǒng)計(jì)他們參加志愿者服務(wù)的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)志愿者服務(wù)時(shí)間不低于18小時(shí)的概率；（2）估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的眾數(shù)，平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（3）估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的第75百分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．【答案】（1）（2）20；20.32（3）23.86【解析】【分析】（1）用頻率估計(jì)概率可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出的值，然后根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念計(jì)算；（3）先根據(jù)各區(qū)間頻率，確定75百分位數(shù)所在區(qū)間，再由比例關(guān)系計(jì)算即可.【小問1詳解】由志愿者服務(wù)時(shí)間低于18小時(shí)頻率為，，所以估計(jì)志愿者服務(wù)時(shí)間不低于18小時(shí)概率為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點(diǎn)值為20，故估計(jì)眾數(shù)是20；由，解得，估計(jì)平均數(shù)為；【小問3詳解】，，由，第75百分位數(shù)位于之間，設(shè)上四分位數(shù)為，則，解得．估計(jì)這100名志愿者服務(wù)時(shí)間的第75百分位數(shù)為.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再由整體角范圍求解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）由伸縮變換與平移變換得解析式，得，根據(jù)整體角范圍求余弦值，再由角的關(guān)系，利用兩角和的余弦公式求解可得.【小問1詳解】.由，解得即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），則得到函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，所以.若，則，.由，得，又，所以，則，故.故的值為.18.如圖，已知四棱錐中，，，，且，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面與平面垂直，，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證，，利用線面垂直的判定定理得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證得；（2）由（1）知平面，利用面面垂直的判斷定理可得平面平面，則即為直線與平面所成角，再利用題中條件求的長度，最后利用余弦定理進(jìn)行求解即可；（3）由（2）知平面平面，又平面平面，則平面與平面重合，即四點(diǎn)共線，再利用題中條件求出四邊形的面積和四棱錐的高，最后用錐體的體積公式即可求解.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，由，則，因此可得，又為中點(diǎn)，則在等腰和等腰中，可得，，又，平面，平面，又平面，.【小問2詳解】過作垂直的延長線于一點(diǎn)，由（1）知平面，平面,則平面平面，又平面平面，平面，,平面，故即為直線與平面所成角，又在等腰直角中，，則，，又在中，，則，在中，，則在中，，因此可得，即直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（2）知平面平面，又平面平面，則平面與平面重合，即四點(diǎn)共線，在中，，，在中，,又,又四邊形的面積,又（2）知平面，故為四棱錐的高，所以四棱錐的體積.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是證明平面，再利用面面垂直的判定定理證平面平面，最后根據(jù)平面與平面垂直，確定四點(diǎn)共線，考查了線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)，及線面角的定義，是一道綜合性較強(qiáng)的題.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖诔?shù)，使得對(duì)內(nèi)的任意，都有，則稱是“反比例對(duì)稱函數(shù)”．設(shè)．（1）判斷函數(shù)是