2024-2025學(xué)年莆田市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年莆田市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)，的大致圖象是（

）A．B.C．D.3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝詳解九張算法和算法通變本末中，提出垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前項(xiàng)分別，，，，，，，則該數(shù)列的第項(xiàng)為（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為用表示小球落入格子的號(hào)碼，則下面計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．使得“”成立的充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn)B．C．不等式的解集為D．當(dāng)時(shí)，11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①若，則；②對(duì)一切正實(shí)數(shù)，則（

）A．B．C．，恒有成立D．存在正實(shí)數(shù)，使得成立三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.13．已知一個(gè)底面半徑為的圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則該圓錐的體積為．14．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列，中，，，是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．設(shè)函數(shù)在處的切線垂直軸.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：.17．某公司采購(gòu)部需要采購(gòu)一箱電子元件，供貨商對(duì)該電子元件整箱出售，每箱10個(gè).在采購(gòu)時(shí)，隨機(jī)選擇一箱并從中隨機(jī)抽取3個(gè)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn).若其中沒(méi)有次品，則直接購(gòu)買該箱電子元件；否則，不購(gòu)買該箱電子元件.(1)若某箱電子元件中恰有一個(gè)次品，求該箱電子元件能被直接購(gòu)買的概率；(2)若某箱電子元件中恰有兩個(gè)次品，記對(duì)隨機(jī)抽取的3個(gè)電子元件進(jìn)行檢測(cè)的次數(shù)為，求的分布列及期望.18．如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，點(diǎn)E?F?G分別為線段、、的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，求長(zhǎng)度.19．已知函數(shù)（1）若，函數(shù)的極大值為，求a的值；（2）若對(duì)任意的，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析A集合為大于等于0的偶數(shù)集，求解B集合，計(jì)算補(bǔ)集，再求交集.【詳解】集合，因?yàn)榧螦為大于等于0的偶數(shù)集，集合或，所以，.故選C.【思路導(dǎo)引】本題考查集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算.2．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，，依次排除A，B，D，得到答案.【詳解】由于，故函數(shù)為奇函數(shù)，排除D選項(xiàng)，，故排除B選項(xiàng)，排除A選項(xiàng)，故選C.3．【答案】A【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)及其單調(diào)性可得，解對(duì)數(shù)不等式即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知在R上單調(diào)遞增，且；因此不等式可化為，即，解得.所以的取值范圍是.故選A.4．【答案】B【分析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)列的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】令數(shù)列：為數(shù)列，于是，依題意，數(shù)列為：，于是數(shù)列為：是等差數(shù)列，，則，因此，所以該數(shù)列的第項(xiàng)為.故選B.5．【答案】C【詳解】.，且，即..所以.故選C.6．【答案】B【分析】分析可知，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可判斷AB選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的期望和方差的公式可判斷CD選項(xiàng)．【詳解】設(shè)“向右下落”，則“向左下落”，，因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過(guò)程中共碰撞小木釘5次，所以，對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選B．7．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，由可得，因此，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出其在定義域內(nèi)的值域即可得的取值范圍.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，令可得當(dāng)時(shí)，滿足題意；如下圖所示：令，解得，由可知；因此由可得，即；所以，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞減；因此在處取得極大值，也是最大值，因此；而，；又因?yàn)椋?，可得，所以可得，即的取值范圍?故選D.【方法總結(jié)】一是會(huì)畫圖，會(huì)利用函數(shù)解析式畫出其圖象，尋求解題思路；二是會(huì)構(gòu)造函數(shù)，將兩函數(shù)值相等求自變量的差的取值范圍問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求新構(gòu)造函數(shù)的值域，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性從而求得其值域.8．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，最后應(yīng)用分組求和即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，所以，則.故選A.9．【答案】CD【解析】因?yàn)榕袛嗟氖浅浞植槐匾獥l件，所以所選的條件可以推出，且無(wú)法推出所選的條件，由此逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A．因?yàn)椴荒芡瞥?，但可以推出，所以是成立的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；B．因?yàn)椴荒芡瞥觯ɡ纾海乙膊荒芡瞥觯ɡ纾海?，所以是成立的既不充分也不必要條件，故B錯(cuò)誤；C．因?yàn)榧茨芡瞥?，且不一定能推出（例如：），所以是成立的充分不必要條件，故C正確；D．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以可以推出，即，所以可以推出，且不一定能推出（例如：），所以是成立的充分不必要條件，故D正確.故選CD.【方法總結(jié)】充分、必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分也不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含.10．【答案】BD【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；對(duì)于B：根據(jù)解析式代入運(yùn)算即可；對(duì)于C：取特值檢驗(yàn)即可；對(duì)于D：分析可得，結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)于不等式，因?yàn)?，即為不等式的解，但，所以不等式的解集不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，且，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選BD.11．【答案】BCD【分析】對(duì)于AB，由賦值法即可判斷；對(duì)于C，由基本不等式結(jié)合函數(shù)新定義即可判斷；對(duì)于D，取，利用函數(shù)性質(zhì)得到，結(jié)合即可判斷.【詳解】對(duì)于A，在中，令，可得，無(wú)法確定f1的值，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，代入條件②中，，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則，C正確；對(duì)于D，取，由于，從而成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即而公差，所以當(dāng)n充分大時(shí)，可使，D正確.故選BCD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于得到以及，由此即可順利得解.12．【答案】【分析】首先根據(jù)題意，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象和直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，這樣比較直觀，容易理解.【詳解】在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象和直線，而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從圖中發(fā)現(xiàn)，一共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以其零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：.13．【答案】【分析】根據(jù)條件，求圓錐的母線長(zhǎng)和高，再利用圓錐的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，得，所以圓錐的高為，故圓錐的體積為.故答案為：.14．【答案】【分析】利用基本不等式可求得，通過(guò)配湊即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，可得；而，所以，解得；當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，上式右邊等號(hào)成立；此時(shí)的最大值為.故答案為：.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)運(yùn)用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出前項(xiàng)和．【詳解】（1）由題意，可得，故，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，，．（2）由題意及（1），可得，則．16．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)得到，再求導(dǎo)得到其單調(diào)區(qū)間；（2）轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)新函數(shù)，多次求導(dǎo)得到其單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線垂直于軸，所以.由得，則，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；則的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2），即，即，設(shè)，則，令，則，再設(shè)，則，因?yàn)?，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，則易知在上單調(diào)遞減，則，則在上單調(diào)遞減，則，則在恒成立，則，即.17．【答案】(1)；(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）依題意，利用古典概型的公式計(jì)算求解；（2）利用概率的乘法計(jì)算每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)某箱電子元件有一個(gè)次品能被直接購(gòu)買為事件A.則；（2）可能取值為，則；，故的分布列是故.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可得證（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面法向量，利用向量夾角公式可求解；（3）設(shè)，得到，根據(jù)向量與共面，結(jié)合向量共面定理求出，得到坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)算即可.【詳解】（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)橹校c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）設(shè)平面與平面夾角為，連接和交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即平面與平面夾角的余弦值為.（3）設(shè)，則，故，依題意可得向量與共面，所以存在實(shí)數(shù)，，使得，即，解得，則.且.則運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得到.19．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，得出極值，根據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果；（2）令，根據(jù)題中條件，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，等價(jià)于，對(duì)恒成立，先討論時(shí)，求得，不滿足題意；再討論時(shí)，，，對(duì)其求導(dǎo)，得到，令，，再分別討論，兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，.（i）當(dāng)時(shí)，，令，得；，得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因此的極大值為，不合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，令，得；，得或，所以在