三年級奧數(shù)下冊講義

目錄

第一講周期問題....................................................1

周期問題練習(xí)題...........................................25

第二講錯中求解及還原問題.........................................28

錯中求解練習(xí)題...........................................30

第三講重疊問題...................................................39

重疊問題練習(xí)題...........................................39

第四講歸一問題...................................................47

歸一問題練習(xí)題...........................................49

第五講和差問題...................................................51

和差問題練習(xí)題...........................................51

第六講和倍問題...................................................55

和倍問題練習(xí)題...........................................59

第七講差倍問題.................................................63

差倍問題練習(xí)題...........................................69

第八講簡單的平均數(shù)問題...........................................73

平均數(shù)問題練習(xí)題...........................................78

第九講長方形和正方形周長、面積計算...............................82

第十講盈虧問題...................................................90

盈虧問題練習(xí)題...........................................94

第十一講雞兔同籠問題...........................................98

雞兔同籠練習(xí)題..........................................104

第十二講行程問題..............................................107

第十三講定義新運算............................................109

第十四講雜題....................................................117

總復(fù)習(xí)..........................................................120

第一講周期問題

知識點說明

周期現(xiàn)象：事物在運動變化過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)；

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期；解決有關(guān)周期性問

題的關(guān)鍵是確定循環(huán)周期.

分類：1.圖形中的周期問題；

2.數(shù)列中的周期問題；

3.年月日中的周期問題.

周期性問題的基本解題思路是：首先要正確理解題意，從中找準

變化的規(guī)律，利用這些規(guī)律作為解題的依據(jù)；其次要確定解題的突破

口。主要方法有觀察法、逆推法、經(jīng)驗法等。主要問題有年月日、星

期幾問題等。

⑴觀察、逆推等方法找規(guī)律，找出周期.確定周期后，用總量除以周

期，如果正好有整數(shù)個周期，結(jié)果就為周期里的最后一個；

例如：1,2,1,2,1,2,…那么第18個數(shù)是多少?

這個數(shù)列的周期是2,18+2=9,所以第18個數(shù)是2.

⑵如果比整數(shù)個周期多〃個，那么為下個周期里的第〃個；

例如：1,2,3,1,2,3,1,2,3,…那么第16個數(shù)是多少？

這個數(shù)列的周期是3,16+3=5.」，所以第16個數(shù)是1.

⑶如果不是從第一個開始循環(huán)，可以從總量里減掉不是循環(huán)的

個數(shù)后，再繼續(xù)算.

例如：1,2,3,2,3,2,3,…那么第16個數(shù)是多少?

這個數(shù)列從第二個數(shù)開始循環(huán)，周期是2,(16-1)+2=7…1,所以

第16個數(shù)是2.

板塊一、圖形中的周期問題

【例1】小兔和小松鼠做游戲，他們把黑、白兩色小球按下面的規(guī)律

排列：

?eoeeo^eo-

你知道它們所排列的這些小球中，第90個是什么球？第100

個又是什么球呢？

【解析】仔細觀察圖中球的排列，不難發(fā)現(xiàn)球的排列規(guī)律是：2個黑球,

1個白球；2個黑球，1個白球；……也就是按“2個黑球，1

個白球”的順序循環(huán)出現(xiàn)，因此，這道題的周期為3(2個黑

球，1個白球).再看看90、100里包含有幾個這樣的周期，

若正好有整數(shù)個周期，結(jié)果為周期里的最后一個，若是有整數(shù)

個周期多幾個，結(jié)果就為下一個周期里的第幾個.因為

90+3=30,正好有30個周期，第90個是白球.100+3=33…1,

有33個周期還多1個，所以，第100個是黑球.

【鞏固】美美有黑珠、白珠共102個，她想把它們做成一個鏈子掛

在自己的床頭上，她是按下面的順序排列的：

oeoooeoooeooo……

那么你知道這串珠子中，最后一個珠子應(yīng)是什么顏色嗎？

2

美美怕這種顏色的珠子數(shù)量不夠，你能幫她算出這種顏色在

這串珠子中共有多少個嗎？

【解析】觀察可以發(fā)現(xiàn)，這串珠子是按“一白、一黑、二白”4個珠子

組成一組，并且不斷重復(fù)出現(xiàn)的.我們先算出102個珠子可以

這樣排列成多少組，還余多少.我們可以根據(jù)排列周期判斷出

最后一個珠子的顏色，還可以求出有多少個這樣的珠子.因為

102+4=25…2,所以最后一個珠子是第26個周期中的第二個，

即為黑色.在每一個周期中只有1個黑珠子，所以黑色珠子在

這串珠子中共有25+1=26（個）

【例2】小倩有一串彩色珠子，按紅、黃、藍、綠、白五種顏色排列.

⑴第73顆是什么顏色的？

⑵第10顆黃珠子是從頭起第幾顆？

⑶第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間（不包括這兩顆紅珠

子）共有幾顆珠子？

【解析】⑴這些珠子是按紅、黃、藍、綠、白的順序排列，每一組有5

顆.73+5=14（組）……3（顆）,第73顆是第15組的第3顆,所

以是藍色的.

⑵第10顆黃珠子前面有完整的9組，一共有5x9=45（顆）珠

子.第10顆黃珠子是第10組的第2顆，所以它是從頭數(shù)的第

47顆.列式：5x9+2=45+2=47（顆）

⑶第8顆紅珠子與第11顆紅珠子之間一共有14顆珠子.第8

顆紅珠子與第11顆紅珠子之間有完整的兩組（第9、10組），

3

共10顆珠子，第8顆紅珠子后面還有4顆珠子，所以是14顆.列

式：5x2+4=10+4=14（顆）.

【鞏固】奧運會就要到了，京京特意做了一些“北京歡迎你”的條

幅，這些條幅連起來就成了：“北京歡迎你北京歡迎你北京

歡迎你……”依次排列，第28個字是什么字？

【解析】這道題是按“北京歡迎你”的規(guī)律重復(fù)排列，即5個字為一個

周期.因為28+5=5…3,所以28個字里含有5個周期還多3

個字，即第28個字就是所列一個周期中的第3個字，所以第

28個字是“歡”字.

【鞏固】節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個白燈

之間有紅、黃、綠各一盞彩燈.也就是說，從第一盞白燈起,

每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈.那么第73盞燈是什么

顏色的燈？

【解析】從第一盞白燈開始，每隔三盞彩燈就又出現(xiàn)一盞白燈，不難看

出白燈的編號依次是：

1,5,9,13,……，這些編號被4除所得的余數(shù)都是

1.73=4x18+1,即73被4除的余數(shù)是1,因此第73盞燈是

白燈.

【例3】節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍

燈、再接1盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、1盞黃

燈、……這樣排下去.問：

4

⑴第150盞燈是什么顏色？

⑵前200盞彩燈中有多少盞藍燈？

【解析】⑴街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接1盞黃燈，

這樣一個周期變化的，實際上一個周期就是5+4+1=10(盞)

燈.150+(5+4+1)=15,150盞燈剛好15個周期,所以第150盞

應(yīng)該是這個周期的最后一盞，是黃色的燈.

⑵如果是200盞燈，就是200+(5+4+1)=20的周期.每個周期都

有4盞藍燈，20x4=80(盞)前200盞彩燈中有80盞藍燈.

【鞏固】在一根繩子上依次穿2個紅珠、2個白珠、5個黑珠，并按

此方式反復(fù)，如果從頭開始數(shù)，直到第50顆，那么其中白珠

有多少顆？

【解析】50+(2+2+5)=5???5.5x2+2=12(個).

【鞏固】小莉把平時積存下來的200枚硬幣按3個1分，2個2分,

1個5分的順序排列起來.

⑴最后1枚是幾分硬幣

⑵這200枚硬幣一共價值多少錢？

【解析】⑴每個周期有3+2+1=6枚硬幣，要求最后一枚，用這個數(shù)除以

6,根據(jù)余數(shù)來判斷

200+6=33........2,所以最后一枚是1分硬幣

5

⑵每個周期中6枚硬幣共價值1x3+2x2+1x5=12（分），用這個

數(shù)乘以周期次數(shù)再加上余下的，就可以得到一共價值多少了

12x33+2=398（分），所以，這200枚硬幣一共價值398分.

【鞏固】桌子上擺了很多硬幣，按一個一角，兩個五角，三個一元

的次序排列，一共19枚硬幣.問：最后一個是多少錢的？第

十四個是多少錢的？

【解析】19+6=3…1,14+6=2…2,所以，第19枚硬幣是一角的，第14枚

硬幣是五角的.

【鞏固】有249朵花，按5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的順序輪

流排列，最后一朵是什么顏色的花？這249朵花中，什么花

最多，什么花最少？最少的花比最多的花少幾朵？

【解析】這些花按5紅、9黃、13綠的順序輪流排列，它的一個周期內(nèi)

有5+9+13=27（朵）花.因為249+27=9..........6,所以,這249朵

花中含有9個周期還余下6朵花.按花的排列規(guī)律，這6朵花

中前5朵應(yīng)是紅花，最后一朵應(yīng)是黃花.在這一個周期里，綠

花最多，紅花最少，所以在249朵花中，自然也是綠花最多，

紅花最少.少幾朵呢？有兩種解法：

（方法1）249+（5+9+13）=9.........6

紅花有：5x9+5=50（朵）綠花有：13x9=117（朵）

紅花比綠花少:117-50=67（朵）

6

（方法2）249+（5+9+13）=9....6,一個周期少的：13-5=8（朵）,

9x8=72（朵）,余下的6朵中還有5朵紅花，所以

72-5=67（朵）.

【例4】如圖所示，每列上、下兩個字（字母）組成一組，例如，第

一組是“我，A”，第二組是“們，B”

我們愛科學(xué)我們愛科學(xué)我???

???

C

ABCDEFGABD???

⑴寫出第62組是什么？

⑵如果“愛，C”代表1991年，那么“科，?！贝?992

年……問2008年對應(yīng)怎樣的組?

【解析】（1）要求第62組是什么數(shù)，我們要分別求出上、下兩行是什

么字（字母），上面一行是以“我們愛科學(xué)”五個字為一個周

期，下面一行則是以“A8CZJEFG”七個字母為一個周期

62+5=12....2,62+7=8.....6,所以第62組是“們,F”

⑵2008是1991之后的第17組，現(xiàn)在上面一行按“科學(xué)我們

愛”五個字為一個周期，下面一行則按“OEFGABC"七個字

母為一個周期:2008-1991=17（組）,17+5=3...2

17+7=2……3,所以2008年對應(yīng)的組為“學(xué),F”.

1

【鞏固】在圖所示的表中，將每列上、下兩個字組成一組，例如第

一組為（新奧），第二組為（北林），那么第50組是什么？

新北京新奧運新北京新奧運新北京新奧運……

奧林匹克運動會奧林匹克運動會奧林匹克運動會……

【解析】要知道第50組是哪兩個數(shù)，我們首先要弄清楚第一行和第二

行的第50個字分別應(yīng)該是什么.第一行“新北京新奧運”是

6個字一個周期，50+6=8…2,第50個字就是北.再看第二行

“奧林匹克運動會”是7個字一個周期，50+7=7-1,第50

個字就是奧.把第一行和第二行合在一起，第50組就是“北

奧”.

【例5】如右圖，是一片剛剛收割過的稻田，每個小正方形的邊長是

1米，A、B、C三點周圍的陰影部分是圓形的水洼。一只小鳥

飛來飛去，四處覓食，它最初停留在0號位，過了一會兒，

它躍過水洼，飛到關(guān)于A點對稱的1號位；不久，它又飛到

關(guān)于B點對稱的2號位；接著，它飛到關(guān)于C點對稱的3號

位，再飛到關(guān)于A點對稱的4號位，……，如此繼續(xù)，一直

對稱地飛下去。由此推斷，2004號位和0號位之間的距離是

多少米？

8

【解析】。米。根據(jù)題上給出的條件，動手畫出，就可以了！四次再次

回到0號位置！2004是4的倍數(shù)，所以第2004號位和0號位

之間的距離是。米。

板塊二、數(shù)列中的周期問題

【例6】小和尚在地上寫了一列數(shù)：7,0,2,5,3,7,0,2,5,3-

你知道他寫的第81個數(shù)是多少嗎？

你能求出這81個數(shù)相加的和是多少嗎？

【解析】⑴從排列上可以看出這組數(shù)按7,0,2,5,3依次重復(fù)排列，

那么每個周期就有5個數(shù).81個數(shù)則是16個周期還多1個，

第1個數(shù)是7,所以第81個數(shù)是7,81+5=16…1

⑵每個周期各個數(shù)之和是：7+0+2+5+3=17.再用每個周期各

數(shù)之和乘以周期次數(shù)再加上余下的各數(shù)，即可得到答

案.17x16+7=279,所以，這81個數(shù)相加的和是279.

【鞏固】根據(jù)下面一組數(shù)列的規(guī)律求出51是第幾個數(shù)？

1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17...

【解析】觀察題目可知數(shù)列個位數(shù)字每九個數(shù)一組，十位數(shù)字依次增

力口，0?4共五個數(shù)，則可列式為：5X9+1=46,即51為第46

個數(shù)。

【例7】⑴4x4x...x4（25個4）,積的個位數(shù)是幾？

⑵24個2相乘，積末位數(shù)字是幾？

9

【解析】⑴按照乘數(shù)的個數(shù)，積的末位數(shù)字的規(guī)律是：4,6,4,6,4,

6,……，奇數(shù)個4相乘得數(shù)的末位數(shù)字是4,偶數(shù)個4相乘

得數(shù)的末位數(shù)是6,所以25+2=12…1,25個4相乘，積的末位

數(shù)字是4.

⑵按照乘數(shù)的個數(shù)，末位數(shù)字的規(guī)律是2,4,8,6,2,4,8,

6,……，4個一組24+4=6,所以24個2相乘，積末位數(shù)字是

6.

【鞏固】緊接著1989后面寫一串數(shù)字，寫下的每一個數(shù)字都是它前

面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù).例如，8x9=72,在9后面寫2,

9x2=18,在2后面寫8……得到一串數(shù)字：19892868…,問：

這串數(shù)字從1開始，往右數(shù)，第1999個數(shù)字是幾？這1999

個數(shù)字的和是多少？

【解析】⑴根據(jù)題意，寫出這列數(shù)的前面部分數(shù)字：

19892868842868842……”286884”這6個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn),周

期是6.

⑵第1999個數(shù)字是:因為(1999-4)+6=332…3,所以，第1999

個數(shù)字是6.

⑶這1999個數(shù)字的和是：

(1+9+8+9)+(2+8+6+8+8+4)x332+(2+8+6)=27+11952+16=11995

【例8】12個同學(xué)圍成一圈做傳手絹的游戲，如圖.

⑴從1號同學(xué)開始，順時針傳100次，手絹應(yīng)在誰手中？

⑵從1號同學(xué)開始，逆時針傳100次，手絹又在誰手中？

⑶從1號同學(xué)開始，先順時針傳156次，然后從那個同學(xué)開

10

始逆時針傳143次,再順時針傳107次,最后手絹在誰手中？

【解析】⑴因為一圈有12個同學(xué)，所以傳一圈還回到原來同學(xué)手中，

現(xiàn)在，從1號開始，順時針傳100次，我們先用除法求傳了幾

圈、還余幾次.100+12=8（圈）……4（次）從1號同學(xué)順時針傳4

次正好傳到5號同學(xué)手中.

⑵與第一小題的道理一樣，先做除法.100+12=8（圈）……4（次）

這4次是逆時針傳，正好傳到9號同學(xué)手中（如圖）.

⑶先順時針傳156次，然后逆時針傳143次，相當于順時針傳

156-143=13（次）；再順時針傳107次，與13次合并，相當于順

時針傳13+107=120（次），120+12=10（圈）,手絹又回到1號同學(xué)

手中.

【鞏固】8個隊員圍成一圈做傳球游戲，從⑴號開始，按順時針方

向向下一個人傳球.在傳球的同時，按順序報數(shù).當報到72

時，球在幾號隊員手上？

11

【解析】將8名隊員看作一組，每組報8個數(shù)，72個數(shù)可以分成幾組:

72+8=9組，沒有余數(shù)，球正好在一組的最后一位隊員手中，

因此球應(yīng)該在8號隊員手上.

【鞏固】如圖，電子跳蚤每跳一步，可從一個圓圈跳到相鄰的圓

圈.現(xiàn)在，一只紅跳蚤從標有數(shù)字.的圓圈按順時針方向跳

了1991步，落在一個圓圈里.一只黑跳蚤也從標有數(shù)字.的

圓圈起跳，但它是沿著逆時針方向跳了1949步，落在另一個

圓圈里.問：這兩個圓圈里數(shù)字的乘積是多少？

【解析】解答此類問題時，只要能發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)周期現(xiàn)象，并充分加以利用，

就能較快找到解題的關(guān)鍵.本題中，不難看出這是一個與周期

性有關(guān)的問題，電子跳蚤每跳12步就回到了原來的位置，如

此循環(huán),周期為12.

⑴因為1991+12=165……11,所以，紅跳蚤跳了1991步后落到

了標有數(shù)字11的圓圈.

(2)因為1949*12=162……5,所以，黑跳蚤跳了1949步后落到

12

了標有數(shù)字7的圓圈.

⑶所求的乘積是11x7=77.

【鞏固】如右圖，把1?8八個號碼擺成一個圓圈，現(xiàn)有一個小R1.

球，第一天從1號開始按順時針方向前進329個位置，第7

6R4

二天接著按逆時針方向前進485個位置，第三天又順時針5

前進329個位置，第四天再逆時針前進485個位置……如此

繼續(xù)下去，問至少經(jīng)過幾天，小球又回到原來的1號位置？

【解析】根據(jù)題意，小球按順時針、逆時針、順時針、逆時針……兩天

一個周期循環(huán)變換方向.每一個周期中，小球?qū)嶋H上是按逆時

針方向前進485-329=156（個）位置.156+8=19……4,就

是說，每個周期（2天）中，小球是逆旋轉(zhuǎn)了19周后再逆時

針前進4個位置.要使小球回到原來的1號位，至少應(yīng)逆時針

前進8個位置.84-4=2（個）周期，2X2=4（天），所以至少

要用4天，小球才又回到原來“1”號位置.

【鞏固】如右圖，有16把椅子擺成一個圓圈，依次編上從1到

16的號碼.現(xiàn)在有一人從第1號椅子順時針前進328個，

再逆時針前進485個，又順時針前進328個，再逆時針前

進485個，又順時針前進136個，這時他到了第幾號椅子？

【解析】這個人順時針前進了328+328+136=792個位置，由于7929

16=49…8,所以他走到9號位置.又這個人逆時針共退回

485+485=970個位置，由于970+16=60…10,因此這個人到

13

了第15(=9+16-10)號椅子.

【例9】甲、乙兩人對一根3米長的木棍涂色。首先，甲從木棍的端

點開始涂黑色5厘米，間隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，

這樣交替做到底。然后，乙從木棍同一端點開始留出6厘米

不涂色，然后涂6厘米黑色，再間隔6厘米不涂色，交替做

到底，最后木棍上沒有被涂黑色部分的總長度是多少？

【解析】此題最好畫圖為同學(xué)們示意：在前30厘米內(nèi)未被涂黑的是：1,

3,5,在31-60厘米內(nèi)的是：4,2,因此60厘米一個周期：

(1+3+5+4+2)義300/60=75厘米.

【例10】右圖中，任意三個連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個數(shù)的連乘積都是0)OC

891,那么B代表多少？>J

【解析】根據(jù)“任意三個連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個數(shù)的連乘積都是891”，cC

U00

可知任意一個小圓圈中的數(shù)和與它相隔2個小圓圈的小圓

圈中的數(shù)是相同的.

于是：B=891H-(9X9)=11.

【鞏固】課外活動時，甲、乙、丙、丁四人排成一個圓圈依次報數(shù).甲

報“1”，乙報“2”，丙報“3”,丁報“4”，這樣每人報

的數(shù)總比前一個人多1.問“34”是誰報的？“71”是誰報的？

【解析】根據(jù)題意，甲從“1”開始報數(shù)，一共報了34次.因為是4個

人在報數(shù)，所以報4次就要重復(fù)一遍，也就是說是以4為一個

周期重復(fù)的.34里面有8個周期還余2次，所以“34”應(yīng)是

重復(fù)8遍以后第二個人報的，即乙報的.71+4=17…3,所以“71”

應(yīng)是第三個人報的，即丙報的.

mnJ實驗室里有一只特別的鐘，一圈共有20個格.每過7分鐘，

指針跳一次，每跳一次就要跳過9個格，今天早晨8點整的

時候，指針恰好從0跳到9,問：昨天晚上8點整的時候指針

14

指著幾？

【解析】昨晚8點至今早8點，共經(jīng)歷60x12=720（分鐘），720+7=102…6,

說明從今早8點整起，7分鐘，7分鐘…往回數(shù)，昨晚8點后,

第1次指針跳是8點6分，直到今早7點53分，指針正好跳

到“0”位，指針共跳了102次.

由于每次跳9格，所以共跳了9X102=918（格）.每20格一圈，

918+20=45…18,因此從“0”位開始，往回倒45圈,還要倒回

18格，正是昨晚8點時指針所指處：20-18=2,因此昨晚8點

整時指針正指著2.

【鞏固】有A、8、C三個蜂鳴器，每次持續(xù)鳴叫的時間比例是

3:4:5.每個蜂鳴器每次鳴叫完后停8秒鐘又開始鳴叫.最初三

個蜂鳴器同時開始鳴叫，14分鐘后第二次同時開始鳴叫，此

時8蜂鳴器已是第43次鳴叫了.問：最初同時開始鳴叫后的多

少秒A與。第一次同時結(jié)束鳴叫？

【解析】14分鐘即14x60=840秒，根據(jù)題意可知在840秒內(nèi)B蜂鳴器已

經(jīng)鳴叫了42次，也停了42次，那么B蜂鳴器每一次鳴叫加停

止的時間為840+42=20秒，所以B蜂鳴器每次鳴叫持續(xù)的時間

為：20-8=12秒，那么A蜂鳴器每次鳴叫持續(xù)9秒，C蜂鳴器每

次鳴叫持續(xù)15秒，

則A、C兩個蜂鳴器每次鳴叫加停止的時間分別為9+8=17秒和

15+8=23秒，

由于[17,23]=391,所以經(jīng)過391秒之后4與C要第二次同時開始

鳴叫，由于在此時A與C都停止鳴叫了8秒，所以4與C第一次

同時結(jié)束鳴叫是在最初開始鳴叫之后的第391-8=383秒.

【例12】有一個111位數(shù),各位數(shù)字都是1,這個數(shù)除以6,余數(shù)是幾？

商的末位數(shù)字是幾？

【解析】我們可以用列表的方法尋求周期.

???

被除數(shù)中“1”的個1234567

數(shù)

除以6后余數(shù)的末1531531???

15

位數(shù)字

除以6后商的末位0185185???

數(shù)字

通過表格我們可以發(fā)現(xiàn)，余數(shù)出現(xiàn)的周期為3(1,5,3)；

第1個“1”上相對應(yīng)的商為“0”，從第二個“1”開始，商

的末位數(shù)字的周期為3(1,8,5)

因為111+3=37,所以這個數(shù)除以6后余數(shù)的末位數(shù)字是3；

因為(111-1)+3=36…2,所以這個數(shù)除以6后商的末位數(shù)字是

8.

【鞏固】有一個1111位數(shù)，各位數(shù)字都是1,這個數(shù)除以6,余數(shù)

是幾？商的末位數(shù)字是幾？

【解析】余數(shù)出現(xiàn)的周期為3(1,5,3)；第1個“1”上相對應(yīng)的商

為“0”，從第二個“1”開始，商的末位數(shù)字的周期為3(1,

8,5),因為1111+3=370…1,所以這個數(shù)除以6后余數(shù)的末位

數(shù)字是1;因為(1111-1)+3=370,所以這個數(shù)除以6后商的末尾

數(shù)字是5.

【例13】求28磔-2929的個位數(shù)字.

【解析】由128+4=32知，28⑵的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。

由29+2=14....1知，2929的個位數(shù)與夕的個位數(shù)相同，等于

9.因為6<9,在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為

16-9=7.

【鞏固】算式G67367+762762)X123123的得數(shù)的尾數(shù)是幾？

16

【解析】這是一道很經(jīng)典的題目，分別找規(guī)律，我們只看個位數(shù)就夠了：

7：7,9,3,1……,367/4=91-3,個位數(shù)是3；

2：2,4,8,6.,762/4=190-2,個位數(shù)是4；

3：3,9,7,1……,123/4=30-3,個位數(shù)是7；

因此個位數(shù)：（3+4）X7=49.

板塊三、日期中的周期問題

【例14】陽歷1978年1月1日是星期日，陽歷2000年1月1日是星

期幾？

【解析】每四年有一個閏年，閏年的年份被4整除，所以從1978年至

1999年共有17個平年，5個閏年，由此可以算出總天數(shù)，用

總天數(shù)除以7,余1是星期一，余2是星期二，依次類推

365x17+366x5=8035（天）,8035+7=1147（星期）...6（天）,

所以，陽歷2000年1月1日是星期六.

【鞏固】1999年的元旦是星期五，那么據(jù)此你知道2005年的元旦

是星期幾嗎？

【解析】00、04是閏年，01、02、03、05是平年，一共度過了：365

X6+2=2192（天）,21924-7=313-1,

2005年的元旦是星期六

【鞏固】小童的生日是6月27日，這一年的6月1日是星期六，小

童的生日是星期幾呢？

【解析】從日歷上可以看到，每個星期有7天，就是以7天為一個周期

不斷地重復(fù).6月1日是星期六，那么再過7天，即6月8日，

17

還是星期六；如果再過14天，即6月15日，還是星期六，所

以要知道6月27日是星期幾，首先要求出6月27日是6月1

日后的第幾天，27-1=26（天）；因為每個星期都是7天，也

就是周期為7,所以26+7=3（星期）…5（天）.這樣，從6

月1日開始經(jīng)過3個星期，最后一天是星期六，從這最后一天

再過5天就是星期四.

【鞏固】今天是星期三，那么從明天起第365天是星期幾？

【解析】題中所說的第365天，不包括今天在內(nèi)，是說“從今天之后的

第365天”.

365+7=52（星期）…1（天），所以，從明天起，到第365

天是星期三.

【鞏固】2002年的6月1日是星期六，那么這一年的10月1日是

星期幾呢？

【解析】我們只要算出6月1日到10月1日要經(jīng)過多少天，然后按照

7天為一個周期，運用周期變化規(guī)律解答.由于6月1日與10

月1日這兩個日子不在同一個月里，就要考慮經(jīng)過月份是什么

月？一共有多少天？因為6月有30天，7月有31天，8月有

31天，9月有30天，所以6月1日到10月1日要經(jīng)過的天數(shù):

30+31+31+30+1=123（天），123+7=17…4,這個周期從周六開

始，那么第4天正好是星期二.

【鞏固】2008年3月3號是星期一，算一算2008年8月8號奧運

會開幕是星期幾?

18

【解析】首先我們應(yīng)該算出2008年3月3號到8月8號一共有多少天，

（31-2）+30+31+30+31+8=159（天）.按照7天為一個周期，

159+7=22…5,這個周期的第一天是星期一，那么第五天就應(yīng)

該是星期五，所以2008年8月8號奧運會開幕是星期五.

【鞏固】2008年的“六?一”兒童節(jié)是星期日，2008年的“十?一”

是星期幾？

【解析】30+31+31+30+1=123（天）123+7=17…4,這個周期從周日開始，

那么第4天正好是星期三.

【鞏固】1998年元旦是星期五，1999年元旦是星期幾？2000年元

旦是星期幾？2001年元旦是星期幾？

【解析】1998年是平年，1998年元旦到1999年元旦共365

天.365+7=52……1,即1998年元旦到1999年元旦要經(jīng)過52

個星期又1天，1998年元旦是星期五，經(jīng)過52個星期還是星

期五,再經(jīng)過1天便是星期六，因此1999年元旦是星期六.1999

年元旦到2000年元旦也是365天，也要經(jīng)過52周又1天，故

2000年元旦是星期日.因為2000年是閏年，2月份有29天，

故2000年元旦到2001年元旦共366天，366+7=52……2,2000

年元旦是星期日，經(jīng)過52周還是星期日，再過2天便是星期

二，即2001年元旦是星期二.

【鞏固】圖中是2002年5月份日歷表.⑴該月8號是星期幾？⑵該

年6月1日是星期幾？該年10月1日是星期幾？⑶2004年5

月1日是星期幾？

19

B—?二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

【解析】一個星期有7天，因此7天為一個周期.從表中我們可以看出

1號?7號是一個周期，1號是第一個循環(huán)的第一天，7號是

第一個循環(huán)的最后一天，8號是第二個循環(huán)的第一天，計算天

數(shù)時為了方便，我們可以采取“算頭不算尾”或“算尾不算頭”

的方法.在算該年6月1日、10月1日、2004年5月1日是

星期兒時，要注意應(yīng)準確地算出各是經(jīng)過了多少天，這其中不

要忘記2004年是閏年，共有366天.

⑴該月的8號是星期三.

(2)從5月1日至IJ5月31日共31天，31+7=4……3,所以6月1

日是星期六.從5月1日到9月30日共153天.153+7=21……6,

所以10月1日是星期二.

⑶從2002年的5月1日到2004年的4月30日共731

天.731+7=104……3,所以2004年5月1日是星期六.

【例15】小區(qū)里的李奶奶腿腳不方便，方方、圓圓、長長三名同學(xué)做

好事，每天早晨輪流為李奶奶取牛奶.方方第一次取奶是星

期一，那么，他第100次取奶是星期幾？

【解析】21天內(nèi)，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每

取7次奶為一個周期.100+7=14…2,所以方方第100次取奶

是星期四.

20

【鞏固】甲、乙、丙、丁四位醫(yī)生依次每天輪流到農(nóng)村衛(wèi)生所義診.

甲第30次義診是星期三，那么當丙首次在周日義診時，丁醫(yī)

生已經(jīng)下鄉(xiāng)義診幾次了？

【解析】甲第30次義診是在總次數(shù)的第4X29+1=117（次），117個

7=16……5,從周三往前數(shù)5天，由周期性知甲第一次義診時

間是在星期六，甲前7次義診分別是星期六、三、日、四、一、

五、二.丙在周日義診是甲周五義診之后的兩天，所以那是

丙第6次去義診.由于丁在丙后一天義診，所以他已經(jīng)去過5

次.

【例16】在某個月中剛好有3個星期天的日期是偶數(shù)（雙數(shù)），則這個

月的5日是星期幾？

【解析】一個星期有7天，注意7是奇數(shù)（單數(shù)），所以任意兩個相繼星

期天的日數(shù)奇偶性不同.于是在每個月從1日到28日這28天

中，有28+7=4個星期天，且其中有兩個星期天的日期是偶數(shù),

從而題中第3個日期為偶數(shù)的星期天必為30日.由此可以推

知，這個月的第1個星期天是30-4x7=2日，那么，5日為星期

日一二三四五六

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

所以這個月的5日是星期三.

21

【鞏固】已知某月中，星期二的天數(shù)比星期三的天數(shù)多，而星期一

的天數(shù)比星期日的天數(shù)多，那么這個月的5號是星期幾？

【解析】這道題表面看無從下手.實際上本題暗藏著一個重要條件：在

一個月內(nèi)，無論是星期幾，它的天數(shù)只能是4或5,根據(jù)這個

知識點，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是

4天，用列表法可以得到答案.

日四五

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

282930

所以這個月的5號是星期五.

【鞏固】一個月最多有5個星期日，在一年的12個月中，有5個星

期日的月份最多有幾個月？

【解析】1月1日是星期日，全年就有53個星期日。每月至少有4個

星期日，53-4X12=5,多出5個星期日，在5個月中.即最多

有5個月有5個星期日.

amE3局緩測

練習(xí)1.……這樣的一排圖形中第87

個是什么圖形，在87個圖形中一共有多少個五角星？

【解析】87+(2+3)=17…2.第87個圖形是圓形,17x2+1=35(個),

練習(xí)2.流水線上給小木球涂色的次序是：先5個紅、再4個黃、再3

22

個綠、在2個黑、再1個白，然后又依次是5紅、4黃、3綠、

2黑、1白……如此繼續(xù)涂下去，到第2003個小球該涂什么顏

色？

【解析】小木球的涂色順序是：“5紅、4黃、3綠、2黑、1白”，也

就是每涂過“5紅、4黃、3綠、2黑、1白”循環(huán)一次，給小

木球涂色的一個周期是5+4+3+2+1=15,因此只要用2003除以

15,

2003+15=133—8根據(jù)余數(shù)是8就可以判斷:第2003個小木球出

現(xiàn)在上面所列一個周期中第8個，所以第2003個小球是涂黃

色.

練習(xí)3.如右圖所示的數(shù)表中，從左往右依次看作五列，第99行右邊

第一個數(shù)是幾？

024

121086

141618

26242220

【解析】每7個數(shù)，分成兩行一個周期，99+2=49……1,第98行中最

大的那個數(shù)為：（49*7-1）X2=684,所以第99行從左到右

的數(shù)依次為：686、688、690,第99行右邊第一個數(shù)是690

練習(xí)4.1999名同學(xué)從前往后排成一列，按下面的規(guī)則報數(shù)：如果某

名同學(xué)報的數(shù)是一位數(shù)，那么后一個同學(xué)就要報出這個數(shù)與9

的和；如果某名同學(xué)報的數(shù)是兩位數(shù)，那么后一個同學(xué)就要報

出這個數(shù)的個位數(shù)與6的和。現(xiàn)讓第一個同學(xué)報1,那么最后

一名同學(xué)報的數(shù)是（）o

【解析】列出前幾個數(shù)：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、…

可以看出除去第一個數(shù)之外后面每四個數(shù)一循環(huán)，所以

（1999-1）+4=499…2,那么最后一名同學(xué)報的數(shù)是6。

23

劭腥國

測試1、黑珠、白珠共101顆，穿成一串，排列如下圖。這串珠子中，

最后一顆珠子應(yīng)該是色的,這種顏色的珠子在這串中共有

顆.

oeoooeoooeooo

【解析】觀察圖形可知從第二個珠子開始每隔3個出現(xiàn)一個黑色的，即

4個一循環(huán)。所以：(101-1)4-4=25,判定最后一個為黑色，

共有25顆。

測試2、按下面的擺法，擺一百個三角形，請問第100個三角形是什

么顏色的？在這100個三角形中有多少個白色的三角形？

【解析】從圖中可以看出，按照6個為一個周期，因為100+6=16…4,

所以第100個三角形應(yīng)該是這一個周期當中的第四個，應(yīng)該是

黑色的.每個周期里有3個白色的，一共有16個周期就有48

個白色三角形，余下的4個三角形中還有3個白色的，所以一

共有16x3+3=51個.

測試3、某個早晨,容器中有200個細菌，白天有光照,容器中的細菌

將減少65個,夜間無光照,容器中的細菌將增加40個.則在第幾個白

天,容器中的細菌全部死亡！

24

【解析】該題屬于周期中的減少問題，即不完全按照周期回歸.一晝夜

細菌減少65-40=25個，200+25=8天，該解法有誤.第6天

的時候剩余細菌：200-25X6=50,則第7天就可.

測試4、同學(xué)們在科技館參加活動，誰最先參加游戲呢？同學(xué)們想了

個好辦法，大家排成一排1?2報數(shù)，報2的同學(xué)再1?2報數(shù)，這樣

依次進行下去，最后報2的這名同學(xué)先玩，如果這列一共有12人，

最先玩的同學(xué)是這一列中的第幾個？

【解析】第一次1?2報數(shù)，報2的是第2,4,6,8,10,12這幾個同

學(xué)，這些同學(xué)再1?2報數(shù)，報2的是第4,8,12這三名同學(xué)，

最后這三名同學(xué)再1?2報數(shù)，就只剩下第8個同學(xué)是報2,

所以最先玩的這個同學(xué)是這列中的第8個.

周期問題練習(xí)題

1、節(jié)日里校門口馬路邊上插著一排彩旗，彩旗按四面紅色、三面

黃色、兩面綠色一面白色的規(guī)律排列（如下圖）。問：第35面旗子

是什么顏色？第90面旗子是什么顏色？

25

2、有一串白珠子和黑珠子按下圖的形式排列。問：第27顆珠子

是什么顏色？第78顆珠子是什么顏色?

3、把99面小紅旗按下圖排列出來，問：其中有幾面深色旗？最

后一面試深色還是白色?

4、燈光夜市在街道上掛的小彩色珠子是按5個紅、4個白、3個

綠、2個紫、1個白色排列的。問：第1686個是什么顏色的燈珠？第

2011個呢？

5、甲、乙、丙、丁四人玩踢鍵子游戲，規(guī)則是每人踢翅子的個數(shù)

總比前面1個人多1個，即甲1個，乙2個，丙3個，丁4個，甲5

個，乙6個……問：踢第37個鍵子的是誰？踢83鍵子的是誰？

26

6、2009名戰(zhàn)士按下面的方法排列成5歹U：

一二三四五

12345

9876

10111213

17161514

■■■■■■■■■■■■

問：1000名戰(zhàn)士在哪一列，最后一名戰(zhàn)士站第幾列？

7、學(xué)校大樓面前擺了一排花盆，每兩盆月季花之間擺3盆杜鵑花,

一共擺了126盆。如果第一盆是月季花，那么共擺了多少盆杜鵑花？

8、有一個數(shù)列3,7,1,7,7,9,3,7,……從第三個數(shù)起每個數(shù)都是

前兩個數(shù)乘積的個位數(shù)字。問：(1)這個數(shù)列的第2011個數(shù)是幾？

(2)這個數(shù)列前326個數(shù)的和是多少？

9、有一列數(shù)97835497835497……問：(1)第88個數(shù)是幾?(2)

第327個數(shù)是幾？(3)這327個數(shù)的和是多少？

27

第二講錯中求解及還原問題

一、本講知識點和能力目標

1、知識點：倒推

2、知識目標：讓學(xué)生學(xué)會從錯誤入手，找到正確結(jié)果的方法一一倒

推法。

3、能力目標：提高運用倒推法解決問題的能力。

二、教學(xué)方法

嘗試法和啟發(fā)式

三、本講內(nèi)容安排

第一課時錯中求解的意義、加減乘除的變化規(guī)律以及加減法的

基本類型。

第二課時錯中求解的乘除法基本類型的學(xué)習(xí)。

第三課時比較復(fù)雜的錯中求解問題的學(xué)習(xí)。

第四課時獨立練習(xí)

四、課外延伸、知識拓展

抽屜問題難題的涉略。

五、需要理解和記憶的知識

1、什么是錯中求解？

在進行加、減、乘、除計算時，一定要認真審題，仔細計

算。如果粗心大意，常常會把算式中的數(shù)字抄錯或把運算符號

看錯，這樣都會使結(jié)果錯，在這一講中，以同學(xué)們平時計算中

的錯題為例，介紹如何從錯誤入手，找到正確結(jié)果的方法。

28

2、加法的變化規(guī)律

（1）在加法里，一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，和就隨著

增加（或減少）這個數(shù)。

（2）在加法里，一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同樣的數(shù)，

和不變。

3、減法的變化規(guī)律

（1）如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，減數(shù)不變，那么它們的差

也增加（或減少）同一個數(shù)。

（2）如果減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差

反而減少（或增加）同一個數(shù)。

（3）如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，那么它們的差

不變。

4、積的變化規(guī)律

（1）一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大（或縮?。妆叮e也擴大（或

縮?。┫嗤谋稊?shù)。