2024年數(shù)學(xué)新高考《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》及答案

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（新高考培優(yōu)專用）

目錄

【重難保分考點(diǎn)】

【重難保分考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

【重難保分考點(diǎn)二】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

【重難保分考點(diǎn)三】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值

【重難保分考點(diǎn)四】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值

【重難保分考點(diǎn)五】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【能力培優(yōu)考點(diǎn)】

【能力培優(yōu)考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)與含參的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題

【能力培優(yōu)考點(diǎn)二】導(dǎo)數(shù)與恒成立問(wèn)題

【能力培優(yōu)考點(diǎn)三】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

【能力培優(yōu)考點(diǎn)四】導(dǎo)數(shù)與不等式證明

【沖刺壓軸考點(diǎn)】

【沖刺壓軸考點(diǎn)一】二次求導(dǎo)

【沖刺壓軸考點(diǎn)二】參變分離

【沖刺壓軸考點(diǎn)三】函數(shù)構(gòu)造

【沖刺壓軸考點(diǎn)四】雙變量???

【重難保分考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

一、單

1.(2022上?陜西咸陽(yáng)?高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(2)在/=，。處的導(dǎo)數(shù)為6,則lim

Ao;1。

f(xo-/\x)-/(rc)(、

----------2A.--------0--二()

A.—3B.3C.—6D.6

2.(2023上?湖南?高二邵陽(yáng)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知直線沙=3,與曲線9=ln(3c—a)+2相切，貝|a

的值為()

A.――B.In-^~~3C.2D.1

433

二、多選題

3.(2023上?貴州貴陽(yáng)?高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(為則所有正確的結(jié)論是()

2+1

A.函數(shù)/(⑼是增函數(shù)B.函數(shù)〃力)的值域?yàn)?0,1)

C.曲線沙=/(為關(guān)于點(diǎn)(0蔣)對(duì)稱D.曲線夕=/(,)有且僅有兩條斜率為卷的切線

4.(2023上?河南周口?高三校聯(lián)考階段練習(xí))己知函數(shù)/Q)=/(31n2—1),則()

A.函數(shù)/(0的最小值為一1

B.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)、)處的切線與直線9=9e2x一1平行，則f(m)=2e3

C.函數(shù)gQ)=/(7)-a(a>0)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

D./(ln(^))</(1)</(log23)

三、填空題

5.(2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知曲線/(2)1在點(diǎn)(0,7(0))處的切線與曲線沙=ln(,—1)+a

相切，則a=.

6.(2022上?山東青島?高三山東省青島第一中學(xué)?？计谥?若曲線CM(x)=，2+a和曲線C2：gO)=41nc—

2,存在有公共切點(diǎn)的公切線，則該公切線的方程為.

【重難保分考點(diǎn)二】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

一、單34a

1.(2024上.河南南陽(yáng).高三方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/Q)在R上的導(dǎo)函數(shù)為/(C),且『(c)-

1<0,則/(,)+2多一8>/(32-8)的解集為()

A.(-co,4)B.(0,+co)C.(—oo,0)D.(4,+co)

2.(2023.四川成都.統(tǒng)考一榭若a=ln(ln7t),b=_14n'|-,c=—幺則(

ooe

A.cVaVbB.b<c<aC.c<b<aD.bVQVc

二、多選題

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/㈤=423_63；2+3,則()

A.f㈤在［-2,2］上的極大值和最大值相等

B.直線6,+2夕—7=0和函數(shù)/(,)的圖象相切

C.若/(力)在區(qū)間(Q,Q+1)上單調(diào)遞減，則Q=0

D.備)+…+M*)=2。。

101

4.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(2)和g(2)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足/(⑼+g(,)=2e。/

Q),g'(a;)分別為函數(shù)/(為和g(c)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A./⑺=e"一一

B.當(dāng)工>0時(shí)，g(>)的值域?yàn)椋?,+co)

C.當(dāng)c>0時(shí)，若/(力)>姐恒成立，則a的取值范圍為(―'2］

n

D.當(dāng)nCN*時(shí)，滿足g⑴D2)…g(n)>(en+1+2)y

三、填空題

5.(2023上?陜西榆林?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(,)的定義域?yàn)椋邸?,5］,部分對(duì)應(yīng)值如表,/(力)的導(dǎo)函

數(shù)沙=/'(2)的圖象如圖所示，

下列關(guān)于函數(shù)/(約的命題：

①函數(shù)/(①)的值域?yàn)椋?,2］；

②如果當(dāng)，e［―II］時(shí)，/0)的最大值為2,那么力的最大值為4；

③函數(shù)/(,)在［0,2］上是減函數(shù)；

④當(dāng)iVaV2時(shí)，函數(shù)9=/(2)—a最多有4個(gè)零點(diǎn).

其中正確命題的序號(hào)是.

6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若對(duì)于2>1,不等式a(x—1)—Inc>0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為

【重難保分考點(diǎn)三】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值

一、單領(lǐng)

1.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))記函數(shù)v=/(,)的導(dǎo)函數(shù)為“，;y'的導(dǎo)函數(shù)為“'，則曲線9=/(c)的曲率K=

則曲線9=1112：的曲率的極值點(diǎn)為()

[i+(y)2]

B

2.(2023上?山西臨汾?高三山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(c)=1—arc—lnc+2(aCR)

在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減,在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增，則/（。）的極小值為（）

A.2B.1C.0D.-1

二、多的

3.（2023上?河北衡水?高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)/（，）=alnx+之+多,（a20）既有極大值也有極小值，則

/X

（）

A.be<0B.abVOC.b2+8ac>0D.ac<0

4.（2023上?湖北武漢?高三華中師大一附中校考期中）已知函數(shù)/（力）及其導(dǎo)函數(shù)/Q）的部分圖象如圖所示,

設(shè)函數(shù)9伽）=9,則9（，）（）

A.在區(qū)間（a,b）上是減函數(shù)B.在區(qū)間（a,6）上是增函數(shù)

C.在力=a時(shí)取極小值D.在/=6時(shí)取極小值

三、填空題

5.（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）若函數(shù)/（,）=e，—ac無(wú)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.（2023上?山西臨汾?高三?？茧A段練習(xí)）已知曲線/（，）=x3+ax2+bx+1在點(diǎn)（1,/（1））處的切線斜率為3,

且，■是沙=/（乃的極值點(diǎn)，則函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn)為

O

【重難保分考點(diǎn)四】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值

一、單選#

1.（2022?福建福州?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/（,）=弩四，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

X+1

A./（c）是偶函數(shù)B./（c）有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)

C./O）的最小值為一］D./（2）的最大值為1

2.（2023?陜西商洛?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（,）=2（，一&，在五上單調(diào)遞增，則a的最大值是（

A.0B.--C.eD.3

6

二、多選題

3.（2023下?福建廈門?高二廈門一中?？计谥校┘褐瘮?shù)/（2）=，/—冷/一機(jī),,則函數(shù)八2）在口,2］上的最

小值可能為（）

O1

A.e——mB.---mln2mC.2e2—4mD.e2—2m

4.（2023上?廣西河池?高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（,）=叁絲土工,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.函數(shù)/（①）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)

B.函數(shù)/（,）既存在極大值又存在極小值

C.若①C[t,+CO）時(shí),/（aJ）max=a,則t的最大值為1

e

D.當(dāng)一e2<k<0時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根

三、填空題

5.（2023上?寧夏銀川?高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)/（2）—x\nx,g⑸=a?—22+a,若對(duì)任意的?C,x2&

[1,2],使得/（電））9（電）成立,則實(shí)數(shù)a的范圍是.

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）⑴已知函數(shù)/（2）=te"—a（，+lnc+1）,若/（c）>0恒成立，則正數(shù)a的取值

范圍是;

（2）已知不等式ce。一a（c+1）>lnt對(duì)任意正數(shù)立恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；

（3）已知函數(shù)/㈤=aex-lnx-1,若/（，））0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；

（4）已知不等式ee-l）kc+lna;,對(duì)VcC（0,+（?）恒成立，則A;的最大值為.

【重難保分考點(diǎn)五】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

一、單融

1.（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀┤酎c(diǎn)P（l,m）不在函數(shù)/（c）=23—3^2的圖像上，

且過(guò)點(diǎn)P有三條直線與/（c）的圖像相切，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A/。,：）B'

a（-D.（—s,：）u（；,+oo）

2.（2023上?江蘇常州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（,）=]/—4c+ainc,若函數(shù)y=/Q）存在兩個(gè)極值點(diǎn)

外力2,且不等式/（力1）+/（力2）>/1+/2+力恒成立,則力的取值范圍為（）

A.（-co,-1]B.（-00,-16-81n2]C.（-oo,y-4e]D.（-00,-13]

二、多選題

3.（2023下?甘肅慶陽(yáng)?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐,且該圓錐的軸截面為面積是

16cm2的等腰直角三角形.若在該酒杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)酒杯口高度，則下列說(shuō)

法中正確的有（）

A.冰塊最大體積為黨兀C77?B.冰塊的最大體積為警cn?

C.冰塊體積達(dá)到最大時(shí)，冰塊的高度為^cmD.冰塊體積達(dá)到最大時(shí)，冰塊的高度為2cm

O

4.（2024上.遼寧丹東?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（①）1,則（）

A./（c）有一個(gè)零點(diǎn)B./（c）的極小值為—彳

C./⑸的對(duì)稱中心為（0,—1）D.直線?/=—c—1是曲線?/=/0）的切線

三、填空題

5.（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高二揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎坏仁絡(luò)-x2-alnx>0（o>0）恒成立，則a的

取值范圍是.

6.（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高三?？茧A段練習(xí)）如圖,正方形與正方形ABCD的中心重合,邊長(zhǎng)分別為3

和1,R,A,馬分別為4。，45，BG，CD的中點(diǎn)，把陰影部分剪掉后，將四個(gè)三角形分別沿AD,

4B,BC,CD折起，使A,舄，局重合于P點(diǎn),則四棱錐P-ABCD的高為，若直四棱柱A2B2C2

。2—4瓦。3。3內(nèi)接于該四棱錐，其上底面四個(gè)頂點(diǎn)在四棱錐側(cè)棱上，下底面四個(gè)頂點(diǎn)在面ABCD內(nèi)，則該

直四棱柱4芻。3。3體積的最大值為.

【能力培優(yōu)考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)與含參的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題

一、解答題

1.（2023上?湖南衡陽(yáng)?高三衡陽(yáng)市八中校考階段練習(xí)）設(shè)/（，）=姐—（a+l）lmr-

X

（1）討論/（2）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（c）=瓷??！?（2），若關(guān)于①的不等式g（a；）>az+（a+3）lnz+支+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

x

圍.

2.（2023上?廣東深圳?高三珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=Q—l）e"+a",oeR.

（1）討論了（0的單調(diào)性；

（2）當(dāng)aV—1時(shí)，若/（。）的極小值點(diǎn)為g,證明：/㈤存在唯一的零點(diǎn)?，且d―g>ln2.

3.(2023上?重慶永川?高三重慶市永川北山中學(xué)校?？计谥?已知函數(shù)/(劣)二足①+^^?一az.

⑴當(dāng)a=］時(shí)，求在曲線y=/(,)上的點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(3)若了㈤有兩個(gè)極值點(diǎn)卬如證明：/⑹—/但)<2—祟

―62N

4.(2024?廣東佛山?統(tǒng)考一模)已知/(c)=e2x—ax—l,gQ)=arc(e。-1),其中aGR.

(1)求/(⑼的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>2,證明：當(dāng)力>〃3a—6時(shí)，于(x>>g(x).

8

5.(2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(C)=M—21nc.

(1)試討論函數(shù)/(工)的單調(diào)性；

(2)a>0時(shí)，求/(,)在［l,e］上的最大值；

(3)當(dāng)c>1時(shí),不等式/(，)<(x—2)lnrr+2a;+a—1恒成立，求整數(shù)a的最大值.

6.(2023上?山西呂梁?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(，)=一lnc(aeR).

(1)求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(①)有兩個(gè)極值點(diǎn)g,X2(X1<電)，求當(dāng)a為何值時(shí)，4/(%)-2/(g)取得最大值.

【能力培優(yōu)考點(diǎn)二】導(dǎo)數(shù)與恒成立問(wèn)題

一、解答題

1.(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)=gm

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求/(,)的極值；

(2)若不等式/Q)＞。恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(2)=lnx+a?(aGR).

(1)若函數(shù)/(2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(2)W,?e2x-l對(duì)任意的cC(0,+8)恒成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求實(shí)數(shù)a的最大值.

3.(2024上?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(2)=/1112+22；-1.

(1)求/(2)單調(diào)區(qū)間；

(2)已知m為整數(shù)，關(guān)于x的不等式/(⑼>m(x—1)在工>1時(shí)恒成立，求利的最大值.

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(工)=(x+a)lnx—e(x-1)(aGR).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)/(G的單調(diào)性；

(2)若人工)>0在(l.+oo)上恒成立，求a的取值范圍.

5.（2024上?山西?高三期末）已知函數(shù)/（。）—m（x—l）2—2x+21na;,2.

（1）求證:函數(shù)/（，）存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出該函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間（a,6）的長(zhǎng)度b-a的取值范圍;

⑵當(dāng)，＞1時(shí)，f⑸W2xex-1-4x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

6.（2024上?甘肅武威?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（，）="+aln（x+1）.

e

（1）當(dāng)Q=0時(shí)，求f（6）的最大值；

（2）若/⑸&0在力G[0,+8）上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【能力培優(yōu)考點(diǎn)三】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

一、單

ax,cW0_

1.（2023上?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（,）=In?則函數(shù)9（2）=2何（/（2））—1的零點(diǎn)

.年，2>0

個(gè)數(shù)為（）

A.0或3B.0或1C.1或2D.2或3.

二、多選題

2.（2024上?湖北武漢?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（rc）=e°—岫，g（rc）=khi2；—2，上>0,則（）

A.當(dāng)％>6時(shí)，函數(shù)/（,）有兩個(gè)零點(diǎn)

B.存在某個(gè)ke（0,+8）,使得函數(shù)/（,）與9（0零點(diǎn)個(gè)數(shù)不相同

C.存在k>e,使得/（土）與g（c）有相同的零點(diǎn)

D.若函數(shù)/（2）有兩個(gè)零點(diǎn)21,C2（0<，2）,g（①）有兩個(gè)零點(diǎn)23,，4（。3<C4）,一定有2他4=22,3

三、解答題

3.（2024上?江蘇?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/⑺=e?-—（meR）.

X

（1）當(dāng)館=1時(shí),求函數(shù)/（,）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)/（①）的圖象與①軸相切，求證：1+ln2<m<2+ln6.

4.（2023上?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義函數(shù)九（乃=1—c+看—于+…+（—1）".（九eN*）.

（1）求曲線沙=篇（立）在2=-2處的切線斜率；

（2）若力作）-2>ke'對(duì)任意xGR恒成立，求看的取值范圍；

（3）討論函數(shù)九（①）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并判斷力（,）是否有最小值.若九（，）有最小值m,證明：機(jī)>1—ln2；若

九⑸沒(méi)有最小值，說(shuō)明理由.

（注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

5.(2023上?廣西柳州?高三柳州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(乃=-21n，-號(hào)+1,

X

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求/⑺在區(qū)間已，2］上的值域；

⑵若/⑺有兩個(gè)不同的零點(diǎn)g,g，求a的取值范圍，并證明：二+工＞2.

一布布a

6.(2024上?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(為=alns-x+^aER).

X

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得①=1為函數(shù)/(c)的極小值點(diǎn).若存在，求a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)若/作)圖象上總存在關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的取值范圍.

【能力培優(yōu)考點(diǎn)四】導(dǎo)數(shù)與不等式證明

一、解答題

1.(2023上?河北石家莊?高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(。)=±ln。一*+皿

(1)若/(，)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)求證：當(dāng)a>0且rcC(0,2)時(shí),/Q)>-1.

2.(2024?陜西寶雞?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(a;)=ln(c+l)—笆牛(MCA)

(1)當(dāng)館=一1時(shí)，求/(力)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知X>0,求證：當(dāng)771>1時(shí)，f{x)<0恒成立；

(3)設(shè)m>0,求證:當(dāng)函數(shù)/(2)恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),該零點(diǎn)一定不是函數(shù)y=2N的極值點(diǎn).

X-V1

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Q)=Ins-aex(a>0),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若a=2*,求/(2)的單調(diào)區(qū)間;

⑵證明<-2-Ina.

4.(2024上?遼寧丹東?高三統(tǒng)考期末)已知定義在(0,+co)上的函數(shù)/(c)=In(a:+1)和g(x)=顯

(1)求證：/O)VgQ);

(2)設(shè)@3)=1+”/(①)在(0,+oo)存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍?

Lg⑺」

5.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(①)=z-mJna;(7rzeR).

(1)討論/(立)的單調(diào)性；

(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)為，電，使得/(為)=〃6)，證明：0<小<為+/2.

6.(2023上?河北滄州?高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(c)=alnx-x,aeR.

(1)討論/(⑼的單調(diào)性；

(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)如電，使得/(g)=/(g)，證明：。<2a<X1+x2.

17

【沖剌壓軸考點(diǎn)一】二次求導(dǎo)

一、解答題

1.(2023.廣東.統(tǒng)考二模)已知aGR,函數(shù)/(cc)=(rc—l)ln(l—x)—x—acosx,f'(x)為/(，)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)/(2)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論/'(/)在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑶比較白cos靠與In羋的大小,并說(shuō)明理由.

iuiuy

2.(2023上?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(力)=xln(l+ax)-x\a>0),

(1)若Q=l,求/(力)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若力=0是/(力)的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

ax

3.（2023下?湖北?高二十堰一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/Q）=sin力—(0V/V1),g(6)=COST—1+

%+2

靖

2

（1）證明：當(dāng)力＞0時(shí)，g（力）＞0；

（2）若fg）＞0,求Q的取值范圍；

⑶證明4一五工＜皆可再二］<1.

4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力）=（X—l）lnx—ax-l（a＞0）.

（1）若/（力）的最小值為—e—1,求Q的值；

（2）若。=1,證明：函數(shù)/（力）存在兩個(gè)零點(diǎn)力1，/2,且/（劣1）+/（力2）＜—2.

5.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力）—mx—x\nx,mGR.

（1）若函數(shù)/（力）的圖象在力=1處的切線方程為g=c+b,求b的值；

A

（2）若771=2,/（力J=/（62）且力i<x2,AE（（J,］）,求證：x{~X2<e.

6.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力）=一專+兀/2-Q6,g（N）=2cos/.

o

⑴當(dāng)力>0時(shí)，求證:g（力）>2—x2.

（2）令F（力）=/（力）—g（rc）,若R（N）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為館,n（m<n）.

①當(dāng)。=0時(shí),求曲線。=尸（比）在/=恒，力=九處的切線方程（尸（立）為FQ）的導(dǎo)函數(shù)）;

O—、~r,（Q—2）?！?兀3

②求證：n—--------------------.

1—71

?fl

【沖剌壓軸考點(diǎn)二】參變分離

一、解答題

1.（2023上.河南.高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）/（為=由（6+。+1）—5+于+b有兩個(gè)零點(diǎn)，1,電（為＜電）.

⑴a=0時(shí)，求b的范圍；

K_______

（2）fe=-1且aV4時(shí),求證：x2—x1＜2〃5—4a.

2.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（0）=（力+1）（1—e-，）

（1）證明：/（劣）

（2）若/（2）＞1+叵士求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3.（2022上?江蘇泰州?高三江蘇省泰興中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=e"+（2-a）cosc.

（1）若/Q）在［0,+8）單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)c>0時(shí)，/3）>&3—1）+3,求￡1的取值范圍.

4.（2022上?河南?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（力）=（/—a）］.

（1）若八2）存在兩個(gè)極值點(diǎn)為，g，求冠+曷的取值范圍；

-092

（2）若2e->OM,證明：當(dāng)025<a<0.26時(shí)，函數(shù)FQ）=/（立）一遍在上有2個(gè)零點(diǎn)?（參

考數(shù)據(jù)：0.923=0.778688）

5.（2022下?江西贛州?高二統(tǒng)考期末）已知，（劣）=Se^—bxlnx—2ax—a,曲線g=/（c）在/=1處切線過(guò)點(diǎn)

⑴求b的值；

（2）當(dāng)[],+3）時(shí)，/（,））0,求a的取值范圍.

6.（2022.廣東廣州.華南師大附中?？既＃┮阎瘮?shù)/⑸=垢工+會(huì)2—.存在兩個(gè)極值點(diǎn)◎也出＜電）.

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）判斷了（告獨(dú)）的符號(hào)，并說(shuō)明理由.

【沖剌壓軸考點(diǎn)三】函數(shù)構(gòu)造

一、解答題

1.（2023上糊南衡陽(yáng)?高三衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=（&+l）hi2-版.

（1）若函數(shù)/（①）在（O,+oo）上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）討論函數(shù)/（,）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.（2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知/（力）=ax2—ax--—Inrr+e~（Q>0）.

x

⑴若當(dāng)力=1時(shí)函數(shù)/（力）取到極值，求Q的值；

（2）討論函數(shù)/（力）在區(qū)間（1,+8）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

①—1

3.(2023上?河北邢臺(tái)?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(，)=+e(lnc—x),a€R.

X

(1)若/(，)在(1,+oo)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍；

⑵當(dāng)a>2■時(shí),證明:f[x}+(e—l)z>e"T(l—Ina?)+elnc.

4.(2023上?天津和平?高三天津一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/㈤=x\lnx--a),a為實(shí)數(shù).

⑴當(dāng)a=1■時(shí)，求函數(shù)在工=1處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(2)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)/(c)在，=e處取得極值,/'⑺是函數(shù)/(2)的導(dǎo)函數(shù),且/⑶)=/'3)，為<電,證明：2<X1

+x2<e.

5.(2023上?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(0=趾。

(1)求/(①)過(guò)原點(diǎn)的切線方程；

(2)已知對(duì)任意的劣>0,都有不等式/(乃一ex-ax+1>2sin/恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

6.(2023?湖南永州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(a;)=ln(rr+l),g(a:)=axex—2lna+31n2+3.

(1)當(dāng)a；e(-1,0)U(0,+oo)時(shí)，求證：^^＞一。2+1；

⑵若rrC(T,+oo)時(shí)，gQ),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【沖剌壓軸考點(diǎn)四】雙變量

一、解答題

1.（2023上?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考期中）已知函數(shù)/（①）=ae?！袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)

（zi<a；2）.

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）已知777,>0,且為+?71,2>6+1,求m的取值范圍.

2.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)/（，）=a\nx+（a+1）立+-1（a>0）.

（1）求函數(shù)/（2）的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)Q=1時(shí)，若/（力1）+/（力2）=0,求證：力什力2>2；

⑶求證:對(duì)于任意nGN*都有21nd+1）+

/㈤

3.(2023?新疆?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(6)=a/+(+l)xlnx—l,g(力)=

ax?

⑴討論g（⑼的單調(diào)性；

⑵若方程/㈤=-1有兩個(gè)不相等的實(shí)根如力2,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍，并證明d+*2>上

4.（2023下?廣東珠海?高二珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（6）=］一山力一3.

（1）求曲線g=/（力）在N=1處的切線方程；

（2）記函數(shù)g（力）=劣2一版—3—/（力），設(shè)處劣2（61〈劣2）是函數(shù)g（力）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若b>2,且g（力J—。（g）

>m恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.

5.（2023下?江蘇南通?高二海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（⑼=e"+a——五+2.

（1）若a=0,討論/Q）的單調(diào)性；

（2）若a=1■，存在電,電（；1；1#X2）滿足/（?）=/但），且g+a；2=2,求b的取值范圍.

6.（2023?四川成都?四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)/⑺=alnz-j-x2+a+3土〉。）有兩個(gè)

零點(diǎn)g,/2，且gV劣2.

（1）求a的取值范圍；

（2）若/（劣）在（T1，O）和（62，。）處的切線交于點(diǎn)（63，明），求證：2力3〈61+62.

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（新高考培優(yōu)專用）

目錄

【重難保分考點(diǎn)】

【重難保分考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

【重難保分考點(diǎn)二】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

【重難保分考點(diǎn)三】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值

【重難保分考點(diǎn)四】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值

【重難保分考點(diǎn)五】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【能力培優(yōu)考點(diǎn)】

【能力培優(yōu)考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)與含參的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題

【能力培優(yōu)考點(diǎn)二】導(dǎo)數(shù)與恒成立問(wèn)題

【能力培優(yōu)考點(diǎn)三】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

【能力培優(yōu)考點(diǎn)四】導(dǎo)數(shù)與不等式證明

【沖刺壓軸考點(diǎn)】

【沖刺壓軸考點(diǎn)一】二次求導(dǎo)

【沖刺壓軸考點(diǎn)二】參變分離

【沖刺壓軸考點(diǎn)三】函數(shù)構(gòu)造

【沖刺壓軸考點(diǎn)四】雙變量???

【重難保分考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

一、單

1.（2022上?陜西咸陽(yáng)?高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（2）在/=，。處的導(dǎo)數(shù)為6,則lim

Ao;1。

f（xo-/\x）-/（rc）（、

----------2A.--------0--二（）

A.—3B.3C.—6D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在，=，o導(dǎo)數(shù)/（3）=6的定義即可求解.

【詳解】由題意得函數(shù)/（c）在2=3處的導(dǎo)數(shù)/'（g）=6

17(^)-/(3；0)+6=-3,

△502△力2Ari。一△力

故4項(xiàng)正確.

故選：A.

2.（2023上?湖南?高二邵陽(yáng)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線g=3/與曲線g=山（31—Q）+2相切，則Q

的值為（）

1一

A.—-B.In--H~~—C.2D.1

433

【答案】。

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（g,3g），求導(dǎo)/=—，從而有斜率k=———=3,再由點(diǎn)（g,3g）在曲線上求

6x—a6x（）—a

解.

【詳解】解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（g,3g）,

因?yàn)間=ln（3/-Q）+2,所以y=一,

ox-a

所以切線的斜率％=--—=3,

3g—Q

9

又3g=ln（3rc—?）+2,即3g=Ini+2,解得x=—,

00o

所以由3x0—a=1,得a=3g—1=Ini+2—1=1.

故選：D.

二、多選題

3.（2023上?貴州貴陽(yáng)?高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/儂）=一則所有正確的結(jié)論是（）

2+1

A.函數(shù)/（力）是增函數(shù)B,函數(shù)/（力）的值域?yàn)椋?,1）

C.曲線V=/（為關(guān)于點(diǎn)（0,4）對(duì)稱D.曲線y=/（,）有且僅有兩條斜率為9的切線

ZO

【答案】ABC

【分析】由函數(shù)y=2"的單調(diào)性能判斷復(fù)合函數(shù)/（⑼的單調(diào)性，可判斷4;由指數(shù)函數(shù)y=2"的值域易得函

數(shù)/（①）的值域，可判斷B;驗(yàn)證/（⑼+/（—立）=1是否成立，可判斷C;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷/（，）=

士是否有解，可判斷D

5

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)/（力）==1———,

'72X+11+2*

函數(shù)y=2］在_R上為增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=~~^^2X在打上為增函數(shù)，

所以函數(shù)J(T)是增函數(shù)，故A正確;

1

對(duì)于_B:函數(shù)/(力)=1—

1+2"

函數(shù)g=2'在R上為增函數(shù)且g=2*>0,則1+2*>1,

于是0V---<1,即0<1---<1

1+2'1+2①

所以0V/O)<1,即函數(shù)的值域?yàn)?0,1),故B正確；

對(duì)于C:/(^)=-1—,/(-x)=-^―=-^-,

乙IX乙IJ.XI乙

則有f[x}+/(—2)=1,曲線y=于(x)關(guān)于點(diǎn)(。，-)對(duì)稱，故。正確；

對(duì)于D:f(x)=上一=1——」,其導(dǎo)數(shù)/(2)=2°n2

J—22+11+2XJ''(1+2?

若/(①)=2，11/=[_,變形可得(2。)2一(51n2-2)2。+1=0,

(1+2")5

令2,=±(t>0),則t2-(51n2-2)t+l=0,A=(51n2-2)2-4=(51n2)2-201n2=51n2(51n2-4)=

51n2(ln25-lne4)

因?yàn)?5=32<62<6.252=2.54<e”，所以ln25<Ine4，又ln2>0,

于是A=51n2(ln25-lne4)V0,即關(guān)于t的一元二次方程t2-(51n2-2)力+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，

所以(2")2—⑸n2—2)2工+1=0無(wú)解，即曲線y=f(x)不存在斜率為卷的切線，故。錯(cuò)誤.

O

故選：ABC.

4.(2023上?河南周口?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)人,)="(31112—1),則()

A.函數(shù)/(⑼的最小值為一1

B.若函數(shù)/(①)在點(diǎn)(?71,/(機(jī)))處的切線與直線9=ge%—1平行，則/(機(jī))=2e3

C.函數(shù)g(c)=/(0—a(a>0)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

D./(ln(^))</(1)</(log23)

【答案】ABO

【分析】選項(xiàng)4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性可得最值;選項(xiàng)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，由平行得

斜率的等量關(guān)系，由察根法利用單調(diào)性解方程可得;選項(xiàng)C,分區(qū)間討論函數(shù)值域與單調(diào)性可得;選項(xiàng)。，比

較對(duì)數(shù)大小，利用函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)值大小.

【詳解】/(力)=/(3hi/—1),TG(0,+oo)

由/'(6)=362(3hi6—1)+a:3,—=9x2lnx,

x

令f'3)=0,有力=1,

當(dāng)Ne(0,1)時(shí),f(力)v0,/(①)單調(diào)遞減；

當(dāng)力e(1,+8)時(shí)，/(力)>0,/(力)單調(diào)遞增.

對(duì)于A選項(xiàng)，則有/(力)min=/(l)=-1，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)f{x)在點(diǎn)、(m,于(m))處的切線與直線^=9e2x—1平行，

所以f'(jn)—9m2lnm=9e2,即m2lnm=e2,

當(dāng)0VmV1時(shí)，m2lnmVO,關(guān)于?n的方程m2lnm=e?無(wú)解；

當(dāng)m>1時(shí)，設(shè)g(rn)=m2lnm,

由g(m)=m+2mlnm=m(l+21nm)>0,

則g(m)單調(diào)遞增，且g(e)=e2lne=e2,

故方程『(m)=9e?有唯一解m=e,

則有/(小)—f(e)=263,故_B選項(xiàng)正確；

對(duì)于。選項(xiàng)，當(dāng)xE(0,1)時(shí)，In力V0,則J(T)=63(3bi6—1)<0,

由a>0,所以方程a=/(力)無(wú)解；

當(dāng)⑦e(1,+8)時(shí)，/3)單調(diào)遞增，方程Q=y(x)至多有一個(gè)解；

故函數(shù)g(力)=/(/)—a(a>0)至多一個(gè)零點(diǎn)，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

11Q

對(duì)于。選項(xiàng)，由log23=ylog29>-ylog28=—,

-y-In(-y)=y-(ln-1+1)制—ln-1=ylne-ln-1=y(lne-ln-|-)>0,

且In(與)>Ine=1,

故有1<In(與)<|-<log23,又由函數(shù)/㈤在(1,+8)單調(diào)遞增，

所以有/(in(等))</(y)V/(log23),故。選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

三、填空題

5.(2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知曲線/(①)=，+e。在點(diǎn)(0J(0))處的切線與曲線夕=ln(c-1)+a

相切，則Q=.

【答案】4+ln2/ln2+4

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線/(力)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程，再次利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得g

=ln(T—1)+a的切點(diǎn)(的斯)，從而得解.

【詳解】因?yàn)閒Q)=6+e*的導(dǎo)數(shù)為/'(⑼=1+e*,則/(0)=1/(0)=2,

所以曲線/(力)在(0,/(0))處的切線方程為0一1=2力，即y=2/+1,

又切線y=2力+1與曲線y=ln(力一1)+a相切，設(shè)切點(diǎn)為(/0,%),

因?yàn)椤?’T，所以切線斜率為％=」T=2,解得。。=春，

X—1x0—l2

所以隊(duì)=2g+1=4,貝U4=1)1(微—1)+Q,解得a=4+ln2.

故答案為；4+ln2.

6.(2022上?山東青島?高三山東省青島第一中學(xué)?？计谥?若曲線G：/(⑼=/+。和曲線c2：gQ)=4hic—

2名存在有公共切點(diǎn)的公切線，則該公切線的方程為.

【答案】g=2力一4

【分析】先分別求出/(力)和g(C)的導(dǎo)數(shù)，然后設(shè)公共切點(diǎn)的坐標(biāo)為(g,泱)，根據(jù)題意有y(T0)=g'(g),/(g

)=g(g),代入相應(yīng)表達(dá)式列出方程組，解出比與a的值，計(jì)算出切線斜率和公切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到

切線的方程.

2

【詳解】/(劣)=x-hafg(x)—41n力—2/，則有f(x)=26，g'3)=——2.

設(shè)公共切點(diǎn)的坐標(biāo)為(g,隊(duì))，則

f'(xo)=2x,g\xo)=--2,

0x0

/(/0)=髭+Q,g(6°)=41ng—2g.

根據(jù)題意，有

23V,Jg=l

<

舄+Q=41ng—2g，解得=_3?

、例〉0

公切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—2),切線斜率為2.

公切線的方程為g+2=2(N一1),即g=2力一4.

故答案為：g=2N—4

【重難保分考點(diǎn)二】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

一、單選題

1.(2024上.河南南陽(yáng)?高三方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期