2024年中考數(shù)學一輪復習：一元二次方程（講義）（解析版）

第07講一元二次方程

目錄

題型12應用根的判別式證明方程根的

一、考情分析情況

題型13應用根的判別式求代數(shù)式的取

二、知識建構值范圍

考點一一元二次方程的相關概念題型14與根的判別式有關的新定義問

題型01識別一元二次方程題

題型02由一元一次方程的概念求參數(shù)考點三一元二次方程根與系數(shù)的關系

的值題型01由根與系數(shù)的關系直接求代數(shù)

題型03一元二次方程的一般式式的值

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的題型02由根與系數(shù)的關系和方程的解

值通過代換求代數(shù)式的值

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式題型03由根與系數(shù)的關系和方程的解

的值通過降次求代數(shù)式的值

題型04由方程兩根滿足關系求字母或

題型06已知一元二次方程的一個根，求

另一個根代數(shù)式的值

考點二解一元二次方程題型05不解方程由根與系數(shù)的關系判

題型01用直接開平方法解一元二次方斷根的正負

程題型06由方程兩根的不等關系確定字

題型02利用配方法解一元二次方程母系數(shù)的取值范圍

題型03利用因式分解法解一元二次方題型07與根與系數(shù)有關的新定義問題

程題型08構造一元二次方程求代數(shù)式的

題型04利用公式法解一元二次方程值

題型05利用換元法解一元二次方程題型09根與系數(shù)的關系和根的判別式

題型06選用合適的方法解一元二次方的綜合應用

程考點四一元二次方程的應用

題型07錯看或錯解一元二次方程問題題型01分裂（傳播）問題

題型08配方法的應用題型02碰面（循環(huán)）問題

題型09判斷不含字母的一元二次方程題型03增長率問題

的根的情況題型04營銷問題

題型10判斷含字母的一元二次方程根題型05工程問題

的情況題型06行程問題

題型11由方程根的情況確定字母的值題型07與圖形有有關的問題

或取值范圍

考點要求新課標要求命題預測

本考點內(nèi)容以考查一元二

一元二次方程的相

>理解一元二次方程的相關概念.

關概念次方程的相關概念、解一元二次方

程、根的判別式、韋達定理（根與

>理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解

系數(shù)的關系）、一元二次方程的應

一元二次方程的解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

用題為主，既有單獨考查，也有和

法>會用一元二次方程根的判別式判別方程是否

有實根及兩個實根是否相等；二次函數(shù)結合考察最值問題，年年

考查，分值為15分左右.

一元二次方程的根

>了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系.預計2024年各地中考還將

與系數(shù)的關系

繼續(xù)考查上述的幾個題型，復習過

程中要多注意各基礎考點的鞏固，

一元二次方程的應>能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合特別是解法中公式法的公式，不要

用理性.和后續(xù)二次函數(shù)頂點坐標的縱坐

標公式記混了.

「噲只含有一個未知數(shù)，并且材數(shù)的最高次數(shù)是2的跑方程，叫做次方。題型01識別一元二次方程

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值

Y一元二次方程的相關概念）--1一般形式J一（af+bx+cRSO））題型。3m次方程的一般式

題型。4由一元二次方程的解求參數(shù)的值

［一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個一^次方程的睥）題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值

題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根

基本思路：通過"降次"，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得

到的兩個解就是原方程的解.

直接開平方法1~心=6（啟0）x：=-/

苴b<0時，方程無解

配方法(mx+a)2=b以---

L(當b2時)一(

解法題型01用直接開平方法解一元二次方程

題型02利用配方法解一元二次方程

題型03利用因式分解法解一元二次方程

因式分解法(ax+b)(cx+d)=0?=4，.V=-7

2題型04利用公式法解一元二次方程

題型05利用換元法解一元二次方程

T「公式法一I題型06選用合適的方法解一元二次方程

一元二次方程的解法適用所有/二(Z>2-4^C>0)

（題型07錯看或錯解一元二次方程問題

I題型08配方法的應用

1）當a=1,b為偶數(shù)，CHO時，首選配方法'

題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況

2）當b=0時，首選直接開平方法題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況

題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍

★一元二次方程解法選擇當時，可選因式分解法或配方法

3）c=0題型12應用根的判別式證明方程根的情況

題型13應用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍

<4）當a=1,bwO,CHO時，可選配方法或因式分解法

題型14與根的判別式有關的新定義問題

（一元二次方程）5）當aw匚b/0,c"時，可選公式法或因式分解法

卜=b"4ac前提：a*0jlZ?2-4ac>0

根的判別式-A>0有兩個不相等的實根

★根的情況與判別式的關系HA=o有兩個相等的實根

A<0無實根

用一元二次方程解決實際問題的步驟：審、R歹人解、臉、答

題型。1分裂（傳播）問題

變化率問題

一元二次方程的應用題型02碰面（循環(huán)）問題

?利扁和利潤率問題題型03增長率問題

題型04營銷問題

與一元二次方程有關應用題的常見類型面積問題題型05工程問題

《分裂（傳播）問題）題型06行程問題

題型07與圖形有有關的問題

碰面問題（循環(huán)T標版

考點一一元二次方程的相關概念

夯基?必備基礎知識梳理

概念：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0（aW0）,

的相關概念其中：a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個一元二次方程的解.

易混易錯

1.如果明確了ax?+bx+c=0是一元二次方程，就隱含了aWO這個條件（當a=0時，不含有二次項，

即不是一元二次方程）.

2.一元二次方程必須具備三個條件：

①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

3.在判斷一個方程是不是一元二次方程時,要先化成一般形式，再判斷.

4.二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項的系數(shù)

時,應先將方程化為一般形式.

5.一元二次方程的解，要么無解，有解必有兩個，所以最后方程的解一定要寫明xl,x2.

提升-必考題型歸納

題型01識別一元二次方程

【例1】（2023?江西撫州?金溪一中?？寄M預測）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2—1=0B.2x+y=1C.x+-=3D.4x+5=6%

【答案】A

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫

一元二次方程，進行判斷即可.

【詳解】解：A、是一元二次方程，故該選項符合題意；

B、含有兩個未知數(shù)，故不是一元二次方程，該選項不符合題意；

C、不是整式方程，故不是一元二次方程，該選項不符合題意；

D、未知數(shù)的最高次數(shù)是1,故是一元一次方程，該選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題時要注意：①是整式方程，②只含有一個未知數(shù)，③所含

未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.

【變式1T】（2023?四川成都?一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x—y=0B.ax2+2%-3=0

C.x2+2x+5=x（x-1）D.x2—1=0

【答案】D

【提示】根據(jù)一元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元

二次方程，逐項提示判斷即可.

【詳解】解：A、x2+x-y=0,二個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

B、ax2+2x-3=0,當a=0時，是一元一次方程，故該選項不符合題意；

C、/+2%+5=x（x-1）整理后得3%+5=0,不含二次項，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

D、x2-1=0,是一元二次方程，故該選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程叫一元二次方程”是解題的關鍵.

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值

【例2】（2023南陽市一模）關于x的方程（zu+1）萬阿+1一根刀+6=0是一元二次方程，則機的值是（）

A.-1B.3C.1D.1或一1

【答案】C

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解.

【詳解】解：.??關于x的方程（6+1/問+1一a％+6=0是一元二次方程，

\m\+1=2且m+1A0,

解得：m=1.

故選C.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整

式方程是一元二次方程是解題的關鍵.

【變式2-1］（2022上?遼寧沈陽.九年級期中）方程⑺-2）刀/-2+?+㈤尤+3=0是關于x的一元二次方

程，則m.

【答案】-2

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義知，m2-2=2,且小一240,據(jù)此可以求得m的值.

【詳解】解：：方程（?n-2）xm2-2+（5+m）x+3=0是關于久的一元二次方程，

m2—2=2,且m-2^0,

解得巾=-2；

故答案是：-2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義.一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關鍵.

題型03一元二次方程的一般式

［例3］（2022上?河南鄭州?九年級鄭州外國語中學?？计谥校⒁辉畏匠?/=5%-1寫成一般形式,

下列等式正確的是（）

A.3%2—5%—1=0B.3x2+5x—1=0

C.3x2—5%+1=0D.3久2+5%+i=o

【答案】C

【提示】把等號右邊的式子移到等號左邊即可解題.

【詳解】解：3%2=5%-1

移項得：3產(chǎn)一5x+1=0

故選C.

【點睛】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是掌握移項變號的基本步驟.

【變式3-1]（2023?廣東東莞?東莞市東華初級中學校考模擬預測）將方程4久2+8%=25化成a/+版+?=0

的形式，則a,b,c的值分別為（）

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.1,2,25

【答案】C

【提示】將4/+8x=25移項化為一元二次方程的一般式即可求解.

【詳解】解：將原方程化為一般形式得：4/+8x-25=0,

/.a=4,b—8,c=—25,

故選：C.

【點睛】本題考查一元二次方程的定義，熟記一元二次方程一般式是解決問題的關鍵.

【變式3-2].（2021上?山西晉中?九年級階段練習）若一元二次方程的二次項系數(shù)為1,常數(shù)項為0,它的

一個根為2,則該方程為.

【答案】X2—2x=0/-2X+X2=0

【提示】直接利用已知要求得出符合題意的方程.

【詳解】解：由題意可得，該方程的一般形式為：/-2尸0.

故答案為：X2-2X=0.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關定義是解題關鍵.

【變式3-3X2023集賢縣?九年級期中）已知關于x的一元二次方程（a-l）x2+x+a2-1=。的常數(shù)項是0,

則a的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.|

【答案】B

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義和題意列出a滿足的條件求解即可.

【詳解】解：由題意，卜2一?=?,

解得：CL——If

故選：B.

【點睛】本題考查一元二次方程的定義和解法，掌握一元二次方程的定義與基本解法是解題關鍵.

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值

【例4】（2022?廣東?中考真題）若％=1是方程——2x+a=0的根，貝Ua=.

【答案】1

【提示】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把戶1代入方程得到a的值.

【詳解】把x=l代入方程/—2x+a=0,得l-2+a=0,

解得a=l,

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，

就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【變式4-1]（2021?湖南長沙?中考真題）若關于x的方程/一日一12=0的一個根為3,貝味的值為

【答案】-1

【提示】將％=3代入方程可得一個關于k的一元一次方程，解方程即可得.

【詳解】解：由題意，將x=3代入方程/一日―12=0得：32-3k-12=0,

解得k=—1,

故答案為：-L

【點睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關鍵.

方法技巧

利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數(shù)的值，同時還要注意限制參數(shù)取

值的其他隱含條件.

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值

【例5】（2023?甘肅隴南?一模）關于久的一元二次方程2尢。-2+7n=4的解為久=1,貝!]a+ni的值為（）

A.9B.8C.6D.4

【答案】C

【提示】根據(jù)一元二次方程的概念可求出a的值，根據(jù)解為％=1可求出山的值，由此即可求解.

【詳解】解：關于久的一元二次方程2久即2+6=4,

：.a-2=2,解得，a=4,

一元二次方程2/+m=4,

:解為％=1,

2xI2+m=4,解得，m=2,

a+m=4+2—6,

故選：c.

【點睛】本題主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代數(shù)式求值

的方法是解題的關鍵.

【變式5-1]（2023?北京海淀??？寄M預測）如果％=-1是方程/++n=0的一個根，那么m、n的大

小關系是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.不確定的

【答案】A

【分析】把方程的解代入方程，得到的”的關系式，判斷加，”的大小.

【詳解】解：把刀=一1代入方程有：l-m+n=0

/.m—n=1>0

'.m>n.

故選：A.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到處"的關系式，是解題的關鍵.

【變式5-2X2023渭南市月考）若關于x的方程a久2+-1=0的一個解為x=1,則2023-a-b=

【答案】2022

【分析】先把方程的解代入方程，得到a+6=1,再求代數(shù)式的值.

【詳解】解：把x=1代入方程ax?+bx—1=0得a+b—1=0,

即a+b=1,

所以2023-a-b=2023-（a+b）=2023-1=2022.

故答案為：2022.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解和求代數(shù)式的值，“知解必代”是解題的關鍵.

【變式5-3]（2023?廣東佛山?校考一模）已知a是方程2/—5x-7=0的一個根，則代數(shù)式4a2-10a的值

是.

【答案】14

【分析】根據(jù)方程的根的定義，把久=a代入方程求出2a2-5a-7-0即可解答；

【詳解】解：是方程2--5x-7=。的一個根，

2a2-5a-7=0,

整理得，2a2-5a=7,

：.4a2-10a=2（2a2-5a）=14,

故答案是：14.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代數(shù)式的值，理解一元二次方程的解的概

念是解題的關鍵.

題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根

[例6]（2022?廣西貴港?中考真題）若x=-2是一元二次方程/+2x+爪=0的一個根，則方程的另一個

根及機的值分別是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【答案】B

【提示】直接把x=-2代入方程，可求出機的值，再解方程，即可求出另一個根.

【詳解】解：根據(jù)題意，

".'x=—2是一元二次方程/+2x+m=0的一個根，

把久=-2代入產(chǎn)+2x+m=0,則

（-2產(chǎn)+2x（-2）+m=0,

解得：m=0；

'.x2+2x=0,

x（x+2）=0,

=—2,x=0,

二方程的另一個根是x=0；

故選：B

【點睛】本題考查了解一元二次方程，方程的解，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的步驟進行計算.

【變式6-1]（2023寧德市一模）關于龍的一元二次方程一一2依-5=0的一個根是1,則這個方程的另一

個根是.

【答案】-5

【提示】根據(jù)方程的一個根1代入方程求出％,得到一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：.?.關于x的一元二次方程/—2日—5=0的一個根是1,

/.I--5=0,

：.k=-2,

.".%2+4%—5=0,

解得XI=1?%2=-5,

方程的另一個根是-5.

故答案為：-5.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答關鍵.

【變式6-2]（2023遵義市第十一中三模）若關于x的一元二次方程/—履—2=0的一個根為％=1,則這

個一元二次方程的另一個根為.

【答案】-2

【提示】由題目已知41是方程的根，代入方程后求出人的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答題.

【詳解】解：將％=1代入一元二次方程,一丘一2=0有：1一卜一2=0,k=-l,

方程/+%-2=0

(%+2)(x-1)=0

即方程的另一個根為x=-2

故本題的答案為-2.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系數(shù)以及利用因式分解法解一元二次方程，其

中利用己知根代入方程求出未知系數(shù)是解題的關鍵.

考點二解一元二次方程

夯基-必備基礎知識梳理

基本思路通過“降次”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，

得到的兩個解就是原方程的解.

特征步驟

2

直接形如ax=b(a=1)方程兩邊同時除以a,得x?=2

a

開平0)的一元二次方2)兩邊分別開方得xl=區(qū)x2=-他

程

方法

1)移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數(shù)項；

2)二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；

可配成3)配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為

解29

一配方(mx+a)=b(mx+a)=b(b>0)的形式;

元形式的

法

二一元二次方程4)求解：判斷右邊等式符號，開平方并求解.

次【注意】：①當b〈0時，方程無解

方解

程法②當b20時，方程的根是*=四生

的m

方

可化成1)將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0；

法

因式(ax+b)(cx+d)=02)將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；

分解形式的3)令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；

法一元二次方程4)求解.

口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解.

1)把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分數(shù)通常將其

化為整數(shù)，方便計算)；

2）求出b?-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；

公式適用所有

3）如果b4ac20,將a、b、c的值代入求根公式：x—；

法一元二次方程2a

4）最后求出Xp$2

一元二次方程ax^+bx+cR（aWO）的解法選擇：

1）當a=l,b為偶數(shù)，c=0時，首選配方法；

2）當b=0時，首選直接開平方法；

3）當c=0時，可選因式分解法或配方法；

4）當a=l,bWO,cWO時，可選配方法或因式分解法；

5）當aWl,bWO,cWO時，可選公式法或因式分解法.

根的判別式一般地，式子b?-4ac叫做一元二次方程ax?+bx+c=0（aH0）根的判別式，

通常用希臘字母△表示，即A=b2-4ac.

△

>0方程ax?+bx+c-0（aW0）有兩個不相等的實根:x-2a

根的情況

△二0方程ax?+bx+c=0（a。0）有兩個相等的實根：x=x=-^

與判別式t2

的關系

△<0方程ax?+bx+c=0(aW0)無實根

易混易錯

1.用直接開平方法求一元二次方程的根，一定要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，且

它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根.

2.利用因式分解法解方程時，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含

有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項，將方程右邊化為0.

9

3.求根公式的使用條件：aWO且b"-4ac00.

4.使用一元二次方程根的判別式，應先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的值.

5.利用判別式可以判斷方程的根的情況，反之，當方程：1）有兩個不相等的實數(shù)根時，A〉。；

2）有兩個相等的實數(shù)根時，△=（）;

3）沒有實數(shù)根時，M0.

6.一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數(shù)根；2）有兩個不相等的實數(shù)根.

提升-必考題型歸納

題型01用直接開平方法解一元二次方程

[例1](2023?天津西青?二模)方程(久+6)2-9=0的兩個根是()

A?%1=3,%2=9B.%]——3,%2=9

C.勺=3,x2=—9D./=-3,%2=—9

【答案】D

【提示】根據(jù)直接開平方法求解即可.

【詳解】解：(x+6)2-9=0,

(x+6尸=9,

x+6—±3,

X]—■31%2=-9，

故選：D.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練運用直接開平方法是解題的關鍵.

【變式1T】(2023?浙江杭州?一模)已知一元二次方程(久-2)2=3的兩根為a、b,且a>b,則2a+b的值

為.

【答案】6+V3/V3+6

【提示】先利用直接開平方法解方程得到a=2+百，b=2-V3,然后把它們代入2a+b中計算即可.

【詳解】解：(久一2)2=3,

x—2=+V3,

解得久1=2+V3.x2—2—V3,

■方程(x—2)2=3的兩根為a、b,且a>b,

a—2+V3,b—2—V3,

2a+b=2(2+V3)+2-V3=6+V3.

故答案為：6+V3.

【點睛】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

【變式1-2](2023?齊齊哈爾市模擬)解關于x的方程：4(2%-5)2=9(3久-I)2.

【答案】%i=x2=1

【提示】變形后利用直接開方法解方程即可.

【詳解】整理得：[2(2%-5)]2=[3(3久-I)]2,

.\2(2x-5)=±3(3%-1),

.*.2(2%-5)=3(3%—1)或2(2x-5)=-3(3x-1),

?7.

??X、—~?%2—1?

【點睛】本題考查了直接開方法解一元二次方程，解題關鍵是熟記直接開平方法的解方程的步驟，準確進

行計算即可.

題型02利用配方法解一元二次方程

【例2】（2022?甘肅武威?中考真題）用配方法解