湖南師范大學(xué)考研專業(yè)課高等量子力學(xué)知識點

量子力學(xué)的根本假設(shè)微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描繪，從這個波函數(shù)可以得出體系的全部性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿意連續(xù)性、有限性和單值性。力學(xué)量用厄米算符表示。假設(shè)在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示式中將動量P換為。表示力學(xué)量的算符有組成完全系的本征函數(shù)。將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)綻開〔〕：，則在態(tài)中測量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率是，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是。體系的狀態(tài)波函數(shù)滿意薛定諤方程：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子互相調(diào)換不變更體系的狀態(tài)。所謂全同性，是指無法確認(rèn)兩個物體之間的任何差異。在量子體系中，由于態(tài)的量子化，兩個量子態(tài)要么全同，要么全不同，沒有中間連續(xù)的過渡態(tài)。沒有態(tài)的量子化，就談不上全同性。反之，全同性又對自然界中的可能出現(xiàn)的量子態(tài)給及很嚴(yán)格的限制，即全同粒子系的量子態(tài)，對于兩個粒子交換，要么是對成的，要么是反對稱，二者必居其一。這種對稱性導(dǎo)致統(tǒng)計性守恒。矩陣力學(xué)及波動力學(xué)的關(guān)系量子力學(xué)本身是在1923-1927一段時間中建立起來的，兩個等價的理論——矩陣力學(xué)和波動力學(xué)幾乎同時提出。矩陣力學(xué)是在對波爾的舊量子論的批判中產(chǎn)生的。矩陣力學(xué)的創(chuàng)始人海森伯的觀點是：任何物理理論只應(yīng)討論物理上可以觀測的物理量，對于建立微觀現(xiàn)象的正確理論，尤其要留意這點。他認(rèn)為舊量子論中引用了一整套沒有試驗依據(jù)的概念，例如，電子軌道的概念，因為沒有任何試驗支持我們確定電子有完全確定的軌道。事實上，也沒有什么試驗證據(jù)阻礙我們拋棄電子由精確的軌道的概念。海森伯、波恩及約當(dāng)?shù)木仃嚵W(xué)，從物理上可觀測量，例如原子輻射的頻率及強度動身，賜予每一個物理以一個矩陣，它們的代數(shù)運算規(guī)則及經(jīng)典物理量不一樣，遵守乘法不行對易的代數(shù)。量子體系得各力學(xué)量〔矩陣〕之間的關(guān)系〔矩陣方程〕，形式上及經(jīng)典力學(xué)相像，但運算規(guī)則不同。另一個理論即薛定諤的波動力學(xué)，則從完全不同的觀點動身，它來源于德布羅意的物質(zhì)波思想。德布羅意在討論了力學(xué)及光學(xué)的相像性之后，企圖找到實物粒子及輻射的統(tǒng)一的根底，他提出了以下假定：波動-粒子的兩重性是微觀客體的普遍性質(zhì)。他從這概念動身，較自然的導(dǎo)出了量子化條件。薛定諤進一步推廣了物質(zhì)波的概念，找到了一個量子體系的物質(zhì)波的運動方程——薛定諤方程，它是波動力學(xué)的核心。及矩陣力學(xué)一樣，薛定諤用他的波動方程勝利的解決了氫原子光譜等一系列重大問題。接著，薛定諤還證明，矩陣力學(xué)及波動力學(xué)是完全等價的，是同一種力學(xué)規(guī)律的兩種不同的表述。事實上，量子理論還可以有更為普遍地表述出來，這是狄拉克的工作。量子理論的詮釋及內(nèi)部的字恰是在波恩對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋提出之后才得以解決的。到此，量子力學(xué)還是非相對論量子力學(xué)。狄拉克的電磁場的量子理論對它作了補充。這樣，涉及到非相對論的實物粒子及電磁場作用的問題，原則上都可以解決了。對Bohr互補性原理的理解通常人們所說的“量子力學(xué)的哥本哈根詮釋〞的兩大支柱就是海森伯德不確定度原理和Bohr的互補性原理。它們構(gòu)成了正統(tǒng)的量子力學(xué)理論的物理詮釋的根底。哥本哈根學(xué)派的代表人物是Bohr、Heisenberg、Pauli等人，在長期的量子力學(xué)根本概念和物理詮釋的長期爭辯中，堅持Born的波函數(shù)的統(tǒng)計說明，即把微觀粒子呈現(xiàn)出的波動性理解為“概率波〞，而不同意薛定諤、德布羅意等人的“把物質(zhì)歸結(jié)為純粹的波動現(xiàn)象〞的觀點。也不贊同愛因斯坦等人堅持的確定論性描繪的觀點。我們留意到，Bohr及Heisenberg的觀點，在早期是有區(qū)分的。最初，Heisenberg“不情愿成認(rèn)波動性概念有什么重要性〞，“波動力學(xué)只不過是一個有用的數(shù)學(xué)工具〞，而Bohr認(rèn)為“波動概念必需及粒子概念一道納入量子理論的根本假設(shè)之中〞。Bohr認(rèn)為：“波動及粒子描繪是兩個志向的經(jīng)典概念，每個概念都有一個有限的適用范圍。在特定的物理現(xiàn)象的試驗探究中，輻射和實物均可以呈現(xiàn)其波動性和粒子性。但這兩種描繪中的任何單獨一個，都不能對所涉及的現(xiàn)象給出完好的說明〞。這兩種描繪中的任何一個都是不充分的。盡管它們彼此不相容，但為了說明全部可能的試驗現(xiàn)象，又都是必需的。為了表示這種彼此不相容，而為了完好描繪又都是必要的邏輯關(guān)系，Bohr提出了“互補性〞這個術(shù)語。從量子力學(xué)的最新進展來看，除了Bohr強調(diào)過的波動-粒子兩相性這一對互補概念之外，互補性原理的更深化的含義還有待討論。如連續(xù)性和離散性，概率性和確定論性在量子力學(xué)中的并存等。波函數(shù)的統(tǒng)計說明波函數(shù)可以給出對體系進展各種測量的結(jié)果出現(xiàn)的概率的預(yù)期值。處理測量問題，對于一個自洽的理論體系來講，應(yīng)當(dāng)把測量裝置及待測體系看成一個復(fù)合體系。但人們通常只對待測體系的測量結(jié)果有愛好，此時人們就應(yīng)把待測體系看成復(fù)合體系的一個子體系，由約化密度矩陣去描繪結(jié)果。疊加原理及糾纏態(tài)當(dāng)體系處于某力學(xué)量F的假設(shè)干本征態(tài)的疊加態(tài)時，就導(dǎo)致測量F的結(jié)果的不確定性，這完全是一種量子力學(xué)效應(yīng)。量子態(tài)的疊加原理是波的疊加性及波函數(shù)完全描繪一個體系的量子態(tài)兩個概念的概括。量子態(tài)的疊加性源于微觀粒子“波粒二象性〞的波動“相干疊加性〞〔一個以上的信息狀態(tài)累加在同一個微觀粒子上的現(xiàn)象〕；量子糾纏態(tài)指的是兩個或多個量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學(xué)屬性〔一個以上的微觀粒子因微觀系統(tǒng)內(nèi)特性互相交纏在一起的現(xiàn)象。〕量子態(tài)可以疊加的物理特性是實現(xiàn)量子并行計算的根底。量子態(tài)可以糾纏是實現(xiàn)信息高速的不破譯通信的理論根底。它們都是量子信息理論中特有的概念。量子態(tài)的糾纏是量子系統(tǒng)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的屬性。經(jīng)典系統(tǒng)內(nèi)也有此關(guān)聯(lián)，但它表如今概率不相乘上，而量子態(tài)的糾纏卻反映在概率幅不相乘上。概率幅的糾纏將對量子干預(yù)產(chǎn)生重要的影響。當(dāng)量子比特的疊加態(tài)無法用各量子比特的張量乘積表示時，這種疊加態(tài)就稱為量子糾纏狀態(tài)。量子糾纏狀態(tài)是量子信息理論中的特有的概念。盡管處于糾纏的兩個或多個量子系統(tǒng)之間不存在實際物質(zhì)的聯(lián)絡(luò)，但不同的量子位卻因為糾纏而彼此影響。正是由于“糾纏〞的奇異性，使得一個量子態(tài)的狀態(tài)將及另一個量子態(tài)相關(guān)，好像在它們互相之間的關(guān)聯(lián)性上比嚴(yán)密結(jié)合的原子的關(guān)聯(lián)性還強。EPR佯謬愛因斯坦等于1935發(fā)表了一篇簡短而重要的文章對量子力學(xué)描繪的完備性和理論的自洽性提出了銳利的指責(zé)。EPR一文中提出了兩個論斷：〔1〕量子力學(xué)對于“物理實在〞的描繪是不完備的。這主要是針對于波函數(shù)的統(tǒng)計說明。認(rèn)為“上帝并不擲子〞。他們信任，應(yīng)當(dāng)存在所謂的“隱變量〞可以對物理實在給出更加完備的描繪?！玻病?、量子力學(xué)理論是不自洽的。這個問題的本質(zhì)是涉及多粒子體系〔或多自由度體系〕的糾纏概念的澄清。而在坐標(biāo)表象中就表現(xiàn)為量子力學(xué)中的“非定域性〞。解決EPR佯謬的關(guān)鍵是對于一個復(fù)合體系進展的測量，是一個不完備的測量，因此對它的任何一個子體系的量子態(tài)的描繪，必需用約化密度矩陣來描繪。因此，EPR佯謬一文對量子力學(xué)正統(tǒng)理論提出的指責(zé)是不成立的。另外，一個多粒子〔或多自由度〕體系的量子態(tài)承受一個表象綻開時，其基矢必需是多粒子體系的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)〔完備，正交〕，波函數(shù)的統(tǒng)計說明才能賜予綻開系數(shù)〔是一個數(shù)〕的模方以測量力學(xué)量完全集的相應(yīng)的某一組本征值出現(xiàn)的概率的物理意義。在EPR佯謬一文的分析中，把一個復(fù)合體系的量子態(tài)依據(jù)它的一個子體系的某一組力學(xué)量的完全集來綻開，而把系數(shù)〔是一組體系的某一組力學(xué)量完全集的本征態(tài)失〕及子體系的那組力學(xué)量出現(xiàn)的概率聯(lián)絡(luò)起來，這一錯誤導(dǎo)致了量子力學(xué)多的爭辯。Bohr對應(yīng)原理在大量子數(shù)極限狀況下，量子體系的行為將漸近于及經(jīng)典力學(xué)體系一樣。Bohr的思想對于原子物理和量子理論的開展有極深的影響。Bohr早期的量子論為經(jīng)典物理學(xué)通往微觀世界的心理學(xué)的國度鋪設(shè)了一座橋梁。1925德國輕物理學(xué)家海森伯正是通過Bohr的對應(yīng)原理最終建立了微觀體系的新力學(xué)——矩陣力學(xué)。Bohr的量子論的主要奉獻有兩點：光譜學(xué)中的德拜-李茲組合原則是量子關(guān)系式的表現(xiàn)。頻率，當(dāng)量子數(shù)很大時〔，將趨近于經(jīng)典頻率的倍。這正是Bohr對應(yīng)關(guān)系的表達。Bohr理論的核心思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)概念，二是兩個定態(tài)之間的量子躍遷概念和頻率條件。Poisson括號及正則量子化從經(jīng)典力學(xué)到矩陣力學(xué)的過渡，在于把經(jīng)典力學(xué)中的連續(xù)變量換成遵守確定代數(shù)法則的矩陣。量子泊松括號：按正則量子化程序，經(jīng)典力學(xué)中的正則方程將代之為：一般力學(xué)力氣隨時間的演化遵守以下方程注：密度算符隨時間的演化為：經(jīng)典力學(xué)及量子力學(xué)的關(guān)系〔1〕一般討論當(dāng)一個物理的運動速度時，相對論效應(yīng)便可無視，相對論力學(xué)就回到牛頓力學(xué)。形式上，就可以表述為：在的極限狀況下，相對論力學(xué)牛頓力學(xué)。量子力學(xué)及經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，亦可以形式的表述如下：在普朗克常數(shù)的狀況下，量子效應(yīng)便可以無視，量子力學(xué)就回到了經(jīng)典力學(xué)。這一點是狄拉克首先提出的，它比波爾的對應(yīng)原理更能精確地反映量子力學(xué)及經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系。事實上，普朗克常數(shù)。其表現(xiàn)之一是：某些力學(xué)量的本征值是量子化的，相鄰本征值之差是h的高階小量。只有這個差異可以無視時，才能得出經(jīng)典力學(xué)中“全部力學(xué)量的變更都是連續(xù)的〞這一結(jié)論。這正是大量子數(shù)極限的狀況〔Bohr的對應(yīng)原理〕。但有些現(xiàn)象，例如測不準(zhǔn)關(guān)系，純屬量子效應(yīng)。并不及某些力學(xué)量的本征值的不連續(xù)性有關(guān)。當(dāng)時，，粒子的坐標(biāo)及動量就可以同時取確定值。此時經(jīng)典軌道運動概念就完全適用了?！?〕泊松括號及運動方程在經(jīng)典力學(xué)中，任何兩個力學(xué)量的乘積是滿意交換律的，即AB-BA=0。而量子力學(xué)中，表達力學(xué)量的算符則遵守不行對易代數(shù)運算規(guī)則。狄拉克首先指出，在的極限下。因此，量子力學(xué)中的海森伯方程在在的極限下，將回到經(jīng)典力學(xué)的正則方程薛定諤方程及雅可比-哈密頓方程的關(guān)系設(shè)粒子在勢場中運動，薛定諤方程為：〔1〕試把波函數(shù)的模及相角分開，令〔R，S為實數(shù)〕代入〔1〕式，分別令實部=實部，虛部=虛部得〔2A〕(2B)及〔2〕式完全等價?！?A〕式就是連續(xù)性方程。在的極限下，〔2B〕變成了，它及經(jīng)典的雅可比-哈密頓方程一樣。*量子力學(xué)及經(jīng)典流體力學(xué)的相像性*量子力學(xué)及光學(xué)的相像性WKB近似考慮粒子在勢場中的運動，薛定諤方程為〔1〕令，為復(fù)函數(shù)，代入〔1〕，得到滿意的方程：〔2〕量子效應(yīng)是用普朗克常數(shù)來表征的。當(dāng)時，量子力學(xué)就回到了經(jīng)典力學(xué)。WKB近似處理問題的精神在于：把按的冪級數(shù)作漸近綻開，然后按問題要求的精確程度，逐級近似求解。令：〔3〕代入〔2〕得：〔4〕比較同冪次項，得：〔5a〕(5b)(5c)從〔5a〕可以求出零級近似解：〔6〕利用〔5a〕,由〔5b〕式得：，兩邊積分得：〔7〕因此，在精確到的近似下，薛定諤方程的解為；〔a〕的狀況〔經(jīng)典允許區(qū)〕〔8〕式中，及〔或及〕由詳細問題的邊界條件及歸一化條件確定?！瞓〕的狀況〔經(jīng)典禁區(qū)〕令則〔9〕式中，及由詳細問題的邊界條件及歸一化條件確定。由〔4〕式可以看出〔8〕、〔9〕成立的條件為：〔10a〕(10b)〔10a〕可以表示為：及，式中，為德布羅意波長，故〔10a〕也可以表示為：〔11〕由此可以看出一級近似解成立的條件為：勢場的變更較緩慢，即在粒子的德布羅意波長范圍內(nèi)，的變更比粒子的“動能〞〔要小得多。在轉(zhuǎn)折點的旁邊近似條件不成立。相干態(tài)〔壓縮相干態(tài)〕相干態(tài)本身是無窮多個光子數(shù)本征態(tài)的一種特別的相干疊加，易于呈現(xiàn)光子之間的合作行為。相干態(tài)的討論起于薛定諤1926的工作，他覺察諧振子存在這樣一種狀態(tài)，它呈現(xiàn)出的運動性質(zhì)及經(jīng)典振子很相像。在此狀態(tài)下，諧振子的能量平均值〔零點能除外〕及經(jīng)典振子能量一樣，而坐標(biāo)和動量的平均值〔即波包中心的位置和動量〕隨時間的演化也及經(jīng)典振子完全一樣，并且波包不擴散，〔取微小值〕，這就是諧振子的相干態(tài)。諧振子的相干態(tài)可以表示為：〔，〕，，可以證明是諧振子漂移算符的本征值。證明：得證。考慮并不是厄米算符，它的本征值不確定是實數(shù)，故相干態(tài)可以取為：相干態(tài)中復(fù)參數(shù)的變更區(qū)域是的全平面?？梢宰C明，及全部值相對應(yīng)的相干態(tài)全體是完備的，即完備性條件為：。這說明，任何物理態(tài)均可以用相干態(tài)的全體來綻開。這使得相干態(tài)的全體構(gòu)成了一個新的表象——相干態(tài)表象。應(yīng)當(dāng)指出的是，作為相干態(tài)表象的基矢——相干態(tài)，雖然各自都歸一，但彼此并不正交。這種彼此不正交但總體卻完備的態(tài)矢集合常稱為超完備的。意即集合的完備性“過了頭〞，仿佛是在三維空間中取了四個不在同一平面上的彼此不相交的單位矢量作為基矢。相干態(tài)的思想自20世紀(jì)60頭以來有明顯的進展。目前，相干態(tài)的概念已遠超過原先的及經(jīng)典類比的思索范圍，出現(xiàn)了眾多的種類。如今關(guān)于相干態(tài)表象的兩條根本要求是：I、它是這樣一些態(tài)矢的集合，這些態(tài)矢關(guān)于標(biāo)號是強連續(xù)函數(shù)；II、存在正測度使得下面完備性關(guān)系成立，。利用幺正變換，定義算符，，為實參數(shù)，，不難證明滿意的對易式及一樣，。漂移算符的本征態(tài)記為，滿意，它具有不同于相干態(tài)的一些性質(zhì)?？梢宰C明，在本征態(tài)下，盡管最小不確定度關(guān)系還成立。但，，依靠于參數(shù)的取值，這及相干態(tài)下取固定值不同。因此可以調(diào)整參數(shù)的值，可以使變得很小。這在量子光學(xué)和量子通訊中有重要的應(yīng)用。的本征態(tài)稱為壓縮相干態(tài)。途徑積分根本思想假設(shè)從A點放射出的粒子的動量有一個分布，則粒子有確定的概率經(jīng)過CK而在B點被觀測到。在B點被測得的總概率，其中表示粒子從A點動身，經(jīng)過孔二在B點被測得的概率。從量子力學(xué)的觀點來分析，考慮到粒子-波動兩重性，依據(jù)疊加原理，粒子從A點動身到B點的概率波幅為，其中表示只有孔翻開時的狀況下粒子在B點出現(xiàn)的概率波幅。按波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，粒子在B點被測到的概率為。如今設(shè)想屏上開的小孔越來越多，最終就等于沒有設(shè)置這個屏。此時，粒子經(jīng)過屏上全部各點而到達B點的概率波幅都應(yīng)考慮進去。設(shè)代表從A點到B點的一條可能的道路，則粒子從A動身而在B點出現(xiàn)的概率波幅為，其中代表粒子經(jīng)過道路而到達B點的概率波幅，表示不同道路奉獻的波幅以一樣權(quán)重相加起來，但相位可以不同，從而出現(xiàn)干預(yù)現(xiàn)象。Feynman途徑積分理論的根本假定是如下構(gòu)造傳播子：，其中，代表粒子沿道路從A到B的作用量，L是粒子的拉格朗日量，C是適當(dāng)?shù)臍w一化常數(shù)。這里的道路并不限于要求作用量S取極值的經(jīng)典軌道，而是包括從A到B的一切可能的通道。于是，粒子在B點被測到的概率為，事實上，由于各種可能的道路是連續(xù)變更的，是不行數(shù)的，所以求和應(yīng)化為對全部連續(xù)變更的道路進展積分，這就是途徑積分的由來。量子力學(xué)中的相位AB效應(yīng)量子力學(xué)中，無論實行哪種形式，描繪荷電粒子在電磁場中的動力學(xué)方程中都會出現(xiàn)粒子所在區(qū)域的矢勢和標(biāo)勢。Aharonov和Bohm首先相識到電磁矢勢和標(biāo)勢的深化物理意義。他們指出，在電磁場強度為0的區(qū)域中〔但矢勢和標(biāo)勢并不為零〕運動的兩束相干的荷電粒子，波函數(shù)會發(fā)生不同的相位變更。因此，當(dāng)兩束粒子重新會聚后，就會出現(xiàn)干預(yù)現(xiàn)象。不久，在試驗中看到了這種干預(yù)現(xiàn)象，后來稱之為AB效應(yīng)。弱等價原理在經(jīng)典力學(xué)中，慣性質(zhì)量為的粒子的動力學(xué)方程為，設(shè)萬有引力，為萬有引力勢。則有：，說明在萬有引力場中，不管其質(zhì)量如何，都具有一樣的加速度。因此，只要初位置和初速度一樣，不因為粒子的質(zhì)量不同而異。這就是經(jīng)典力學(xué)的弱等價原理。在量子力學(xué)中，弱等價原理不適用。量子力學(xué)中的相位不定性常數(shù)相位不定性在量子力學(xué)中對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，相對概率是本質(zhì)，因此，波函數(shù)有一個常數(shù)因子的不定性和常數(shù)相位因子的不定性。即表示同一個態(tài)。量子力學(xué)中，任何力學(xué)量的本征態(tài)都有常數(shù)相位因子的不定性。本征態(tài)的含時相位不變性含時不變量：。設(shè)包含在內(nèi)的一組守恒量完全集的共同本征態(tài)記為，，含時不變量具有以下特點：含時不變量的本征值不隨時間變更〔2〕、一般不滿意含時薛定諤方程〔3〕、作為的本征態(tài)，視為參數(shù)，則有含時相位不定性。設(shè)不含對的微商算符，則可作一個含時相位變換，〔1〕〔為實數(shù)〕。則有，。此時，不妨要求滿意含時薛定諤方程，〔2〕代入〔2〕得〔3〕左乘，得〔4〕當(dāng)時，〔4〕左邊為零，即要求在給定的的子空間中可以把對角化。當(dāng)，〔4〕式化為，兩邊積分得〔5〕結(jié)論是后就滿意含時薛定諤方程。由〔4〕給出，就叫Lewis相。三、量子絕熱近似設(shè)的瞬時本征方程為**，是包含在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)，是一組完備的量子數(shù)，為瞬時能量本征值，一般要隨時間變更。作為本征態(tài)，具有相位不定性。設(shè)體系初態(tài)處于的某一瞬間時本征態(tài)，在時刻應(yīng)當(dāng)表示成全部的相干疊加………〔1〕上式中表示在時刻測得體系處于態(tài)的概率。一般狀況下很難求解，須要用近似方法來求，假設(shè)隨時間變更足夠緩慢，則可以用量子絕熱定理來處理。量子絕熱定理：設(shè)體系哈密頓量隨時間變更足夠緩慢，初態(tài)為，則時刻體系將保持在的瞬時本征態(tài)上。這就要求〔1〕中全部項的特別小，，即從態(tài)到全部態(tài)的躍遷可以無視，因此體系才可能保持在態(tài)。絕熱近似條件成立的條件是體系的哈密頓量緩慢變更的頻率遠小于體系的特征頻率。兩邊左乘絕熱定理要求全部的項可以略去?？赏瞥鰲l件為：，物理意義是：體系的瞬時本征態(tài)隨時間變更的頻率，比體系的內(nèi)稟特征頻率要小得多。**對微分，得用左乘上式得，〔對全部〕Berry相設(shè)體系隨時間變更足夠緩慢，能保證絕熱近似條件，則有積分得設(shè)——絕熱相，動力學(xué)相隨時間的變更，往往是由于中所含參量隨時間變更而來。隨的變更，參數(shù)隨之變更。假設(shè)閱歷一周期后，，在參數(shù)空間中畫出一條閉合曲線C。可以表示為參數(shù)空間中的積分Berry的重要覺察是，依靠于參數(shù)空間中的的變更過程。對于給定，不同過程相應(yīng)于不同，由此，他指出是不行積的。是沿參數(shù)空間中的閉合曲線C走一圈后的變更，Berry稱之為幾何相位變更。后來也稱之為幾何相位。AA相Aharonov及Anandan放棄了Berry的量子絕熱近似假定，他們假定體系的量子態(tài)按薛定諤方程周期性演化，周期為，。對量子態(tài)作含時變換，則有，令，則，即在閱歷一周期后沒有相位變更。假設(shè)滿意薛定諤方程，則有，左乘，得對積分一周期，得，稱為動力學(xué)相，稱為幾何相。從對稱性分析全同性原理在量子力學(xué)中，假設(shè)體系的哈密頓算符在某個變換下保持不變，則說明該體系具有某種對稱性，空間的勻整性，空間的各向同性和時間的勻整性使得孤立體系具有空間平移的不變性，空間旋轉(zhuǎn)的不變性，時間平移不變性。除了空間幾何對稱性外，量子力學(xué)還有一些重要的新的對陣性。其中最重要的是全同粒子的置換對稱性，以及相位對稱性。這些對稱性都是由于量子態(tài)的描繪及經(jīng)典力學(xué)態(tài)的描繪有根本性差異而來的，在物理上則反映微觀粒子的波動性。所謂“全同性〞，是指無法確定兩個物體之間的任何差異。在量子力學(xué)中，由于態(tài)的量子化，兩個量子態(tài)，或全同，或全不同，中間無連續(xù)的過渡。全同粒子系的量子態(tài)，對于交換兩個粒子，或者是對稱的，或者是反對稱的，二者必居其一，這種對稱性，導(dǎo)致統(tǒng)計性守恒。在粒子不發(fā)生轉(zhuǎn)化或湮沒狀況下，粒子的統(tǒng)計性是守恒的。全同性是一個可以觀測量。特別是全同性將導(dǎo)致粒子之間有一種新型作用力——交換力，這是純粹的量子效應(yīng)。假設(shè)沒有這種交換力，世界上原子和分子不行能穩(wěn)定存在。守恒量及對稱性一個體系的量子態(tài)隨時間演化遵守薛定諤方程，，設(shè)體系在某種線性變換下〔或〕體系在變換下的不變性表現(xiàn)為：滿意一樣的動力學(xué)規(guī)律，即，可得，用運算〔為線性算符，不顯含〕，得，依據(jù)不變性要求，，兩邊同左乘，得，該式稱為體系的對稱變換，這式成立及否，取決于體系的對稱性。物理學(xué)中的對稱變換，總是構(gòu)成一個群，稱為體系的對稱性群。Winger曾經(jīng)指出：滿意量子力學(xué)統(tǒng)計詮釋要求的連續(xù)對稱性變換，必為幺正變換。它們的無窮小變量可以表示成，為描繪連續(xù)變換的無窮小量，為一個線性算符。依據(jù)幺正性要求可得，即為線性厄米算符，可用以定義一個可觀測量。這樣，Hamilton量的不變性條件就化為，F(xiàn)成為體系的一個守恒量。對于一個體系，設(shè)一個變換不變更它的各物理量之間的互相關(guān)系，則稱為體系的一個對稱變換。Winger依據(jù)這一根本原理得出重要結(jié)論：對稱變換只能是幺正變換或反幺正變換。當(dāng)一個體系具有一個守恒量，則體系確定具有相應(yīng)的某種對稱性。反之，不確定。守恒量的物理含義：量子力學(xué)中的守恒量并不確定具有確定的值。它在任何態(tài)〔不確定是定態(tài)〕下的平均值和測量值的概率分布都保持不隨時間變更〔及初態(tài)一樣〕量子力學(xué)中并非全部守恒量都可以同時取確定值。量子力學(xué)中的守恒量并不全有經(jīng)典對應(yīng)。薛定諤方程剛好間反演得不變性時間反演：時間反演態(tài)并不意味著真正時間倒流，而只不過是運動方向的倒轉(zhuǎn)，時間都是正向的，因果關(guān)系也一樣。時間反演對稱性并不意味著新的守恒量。無自旋粒子在實勢場中取復(fù)共軛：用t代替-t，可見時間反演態(tài)也是薛定諤方程的解，這就是薛定諤方程的時間反演不變性。對于一般狀況取復(fù)共軛，用t代替-t，假設(shè)，則，用U對上式運算，可以看出時間反演態(tài)滿意薛定諤方程。這就是薛定諤方程的時間反演不變性。時間反演算符的本征值及統(tǒng)計性的關(guān)系依據(jù)時間反演算符T的物理意義，及是同一個量子態(tài)，因此它們最多可以差一個常數(shù)因子。令，，可以得。對相對論量子力學(xué)的理解薛定諤方程是量子力學(xué)的根本方程，是非性對論性的。在此方程中，時間及空間坐標(biāo)明顯處于不同等的地位，，方程描繪的粒子，概率是守恒的。在這里沒有粒子的產(chǎn)生和漂出現(xiàn)象，事實說明，方程對于描繪原子、分子的絕大多數(shù)現(xiàn)象，甚至包括低能核物理的很多現(xiàn)象是很勝利的。但在高能領(lǐng)域里，粒子的產(chǎn)生和漂移就是一個普遍的現(xiàn)象。高能現(xiàn)象中不僅涉及到粒子數(shù)一樣的量