2.1.5定積分的概念與性質(zhì)

新編經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)（微分學(xué)積分學(xué)）第五版PAGEPAGE12.1.5定積分的概念與性質(zhì)課題2.1.5定積分的概念與性質(zhì)（2學(xué)時(shí)）時(shí)間年月日教學(xué)目的要求理解定積分的定義。理解和掌握定積分的幾何意義。掌握定積分的基本性質(zhì)。重點(diǎn)定積分的定義。難點(diǎn)定積分的幾何意義。教學(xué)方法手段對(duì)比講解、數(shù)形結(jié)合主要內(nèi)容時(shí)間分配一、定積分的定義。（45分鐘）二、定積分的幾何意義。（10分鐘）三、掌握定積分的基本性質(zhì)。（35分鐘）作業(yè)備注新編經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)PAGEPAGE72.1.5定積分的概念與性質(zhì)§2.1.5定積分的概念與性質(zhì)不定積分是微分法逆運(yùn)算的一個(gè)側(cè)面,本章要介紹的定積分則是它的另一個(gè)側(cè)面。定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問題。17世紀(jì)中葉,牛頓和萊布尼茨先后提出了定積分的概念,并發(fā)現(xiàn)了積分與微分之間的內(nèi)在聯(lián)系,給出了計(jì)算定積分的一般方法,從而使定積分成為解決有關(guān)實(shí)際問題的有力工具,并使各自獨(dú)立的微分學(xué)與積分學(xué)聯(lián)系在一起,構(gòu)成完整的理論體系——微積分學(xué)。本章先從幾何問題與力學(xué)問題引入定積分的定義,然后討論定積分的性質(zhì)、計(jì)算方法。今天我們來學(xué)習(xí)定積分的概念與性質(zhì)。一、兩個(gè)實(shí)例1.曲邊梯形的面積在直角坐標(biāo)系下，由閉區(qū)間上的連續(xù)曲線（，直線（即軸）所圍成的平面圖形叫作曲邊梯形。下面討論曲邊梯形面積的計(jì)算問題。按如下步驟計(jì)算曲邊梯形的面積。（1）分割：任取分點(diǎn)把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間。小區(qū)間段的長(zhǎng)度。過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，把曲邊梯形AabB分成n個(gè)小曲邊梯形，每個(gè)小曲邊梯形的面積記為。（2）近似代替：在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，以為高，為底作小矩形，用此小矩形的面積來近似代替小曲邊梯形的面積，即。（3）求和：把這n個(gè)小矩形的面積加起來，就得到曲邊梯形的面積S的近似值，即記為（4）取極限：若用表示所有小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng)時(shí)，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)一物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，求在時(shí)間間隔上物體所經(jīng)過的路程。（1）分割：任取分點(diǎn)把區(qū)間分成n個(gè)小時(shí)間段。第個(gè)小區(qū)間段的長(zhǎng)度。物體在該時(shí)間段內(nèi)經(jīng)過的路程記。（2）近似代替：在每個(gè)小時(shí)間段上任取一時(shí)刻，并以時(shí)刻的速度代替時(shí)間段上的各時(shí)刻的速度，得到在時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程的近似值，即（3）求和：把這n個(gè)小時(shí)間段經(jīng)過的路程相加，就得到變速直線運(yùn)動(dòng)路程的近似值，即記為.（4）取極限：若用表示所有小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng)時(shí)，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即二、定積分定義定義設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的有界函數(shù)，任意取分點(diǎn)將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度記為，。在每個(gè)小區(qū)間上，任取一點(diǎn)，得相應(yīng)的函數(shù)值，作乘積，把所有這些乘積加起來，得和式,記，當(dāng)時(shí)，如果上述和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分。記作，即。其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，叫做積分變量，為積分區(qū)間，為積分下限，為積分上限。符號(hào)讀作函數(shù)從到的定積分。關(guān)于定積分的定義，作以下幾點(diǎn)說明：（1）所謂和式極限存在（即函數(shù)可積）是指不論對(duì)區(qū)間怎樣的分法和怎樣的取法，極限都存在且相等。（2）如果在上連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那么定義中的和式極限一定存在。（3）因?yàn)楹褪綐O限是由函數(shù)及區(qū)間所確定的，所以定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的符號(hào)無關(guān)，即。（4）該定義是在的情況下給出的，但不管還是，總有特別地，當(dāng)時(shí)，規(guī)定三、定積分的幾何意義1.當(dāng)時(shí)，定積分在幾何上表示曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積。2.當(dāng)時(shí)，定積分在幾何上表示曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值。3.若函數(shù)在上有正有負(fù)時(shí)，定積分在幾何上表示曲線與直線及軸所圍成的各種圖形面積的代數(shù)和，在軸上方的圖形面積取正值，在軸下方的圖形面積取負(fù)值。四、定積分的基本性質(zhì)設(shè)函數(shù)，在所討論的區(qū)間上可積，則定積分有如下性質(zhì)：性質(zhì)1兩個(gè)函數(shù)和的定積分等于定積分的和，即性質(zhì)2被積表達(dá)時(shí)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來，即性質(zhì)3對(duì)任意的，有這一性質(zhì)叫做定積分對(duì)區(qū)間的可加性，即不論還是均成立。性質(zhì)4如果在上，，那么性質(zhì)5若在上有，則這個(gè)性質(zhì)說明，若比較兩定積分的大小，只要比較被積函數(shù)的大小即可。特別地，有性質(zhì)6（估值定理）如果函數(shù)在上的最大值為M，最小值為m，那么性質(zhì)7（定積分中值定理）如果在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得補(bǔ)充：幾何解釋是；一條連續(xù)曲線在上曲邊梯形面積等于以區(qū)間長(zhǎng)度為底，中一點(diǎn)的函數(shù)值為高的矩形面積，如圖所示。【例1】比較下列各對(duì)積分值的大小。(1)與（2）與（3）與解：(1)在區(qū)間上，，所以。（2）在區(qū)間