3.1 函數(shù)的概念及表示（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練必修一

3.1函數(shù)的概念及表示（精講）一．函數(shù)的概念概念一般地，設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應關系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}1.函數(shù)的概念抓住兩點①可以“多對一”、“不可一對多”②集合A中的元素無剩余，集合B中的元素可剩余.2.對于“f(x)”中的“x”，即可以是一個數(shù)，也可以是一個代數(shù)式.二.區(qū)間設a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.區(qū)間的左端點必小于右端點；2.區(qū)間符號里面的兩個字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開；3.用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用實心點表示，不屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用空心點表示；4.無窮大(∞)是一個符號，不是一個數(shù)，因此它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運算法則；5.包含端點用閉區(qū)間，不包含端點用開區(qū)間，以“＋∞”或“－∞”為區(qū)間的一個端點時，這一端必須是小括號．三.同一個函數(shù)1.前提條件：①定義域相同；②對應關系相同.(2)結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).四.常見函數(shù)的值域(1)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域為R，值域是R.(2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當a>0時，值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當a<0時，值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).五.函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應關系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應關系六.分段函數(shù)分段函數(shù)在書寫時要用大括號，把各段函數(shù)合并寫成一個函數(shù)的形式，并寫出各段的定義域.1.一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數(shù).2.分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集.3.作分段函數(shù)圖象時，應分別作出每一段的圖象.4.注意事項(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)；(2)分段函數(shù)中各段自變量的取值范圍的交集是空集；(3)處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪一個范圍，從而選擇相應的對應關系.一.根據(jù)圖形判斷對應關系是否為函數(shù)的方法1.任取一條垂直于x軸的直線l；2.在定義域內(nèi)平行移動直線l；3.若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù).二.判斷一個對應關系是否為函數(shù)的方法三．求函數(shù)定義域1.如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.2.如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子不小于零的實數(shù)的集合.4.如果f(x)是由幾部分構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實數(shù)的集合，也就是使各部分有意義的實數(shù)的集合的交集.5.如果f(x)是根據(jù)實際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)的集合.四．判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)1.定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù).2.函數(shù)是兩個數(shù)集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.3.在化簡解析式時，必須是等價變形.五．求函數(shù)值1.方法：①已知f(x)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則.2.關注點：用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無意義.六．求函數(shù)值域的常用方法1.觀察法：通過對解析式的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域.2.配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)形式，即可化為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函數(shù)，則可通過配方再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域，但要注意給定區(qū)間的二次函數(shù)最值的求法.3.換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，可將復雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值域.4.分離常數(shù)法：此方法主要是針對分式函數(shù)，即將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”的形式，便于求值域.七．求函數(shù)解析式1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有兩種方法：(1)換元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法：即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當同一個對應關系中的含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關系時，可構(gòu)造方程組求解.3.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式已知函數(shù)的類型，如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等，即可設出f(x)的解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式.八．分段函數(shù)1.函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.2.已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應注意檢驗函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.3.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟：(1)定類型：根據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)圖象的特點，先確定函數(shù)的類型；(2)設函數(shù)式：設出函數(shù)的解析式；(3)列方程(組)：根據(jù)圖象中的已知點，列出方程或方程組，求出該段內(nèi)的解析式；(4)下結(jié)論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.4.作分段函數(shù)圖象的注意點作分段函數(shù)的圖象時，定義域內(nèi)各分界點處的取值情況決定著圖象在分界點處的斷開或連接，特別注意端點處是實心點還是空心點.考點一函數(shù)關系的判斷【例1-1】（203·江蘇揚州）下列對應是集合到集合的函數(shù)的是（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】對于A選項，滿足函數(shù)的定義，A選項正確；對于B選項，集合A中取，在集合B中沒有對應元素，故B選項錯誤；對于C選項，集合A中取，在集合B中沒有對應元素，故C選項錯誤；對于D選項，集合A中當時，在集合B中都有兩個元素與x對應，不滿足函數(shù)的定義，故D選項錯誤.故選：A．【例1-2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰）下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為由函數(shù)的概念可知，一個自變量對應唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確；選項C中，當x=0時有兩個函數(shù)值與之對應，所以C錯誤.故選：C.【一隅三反】1．（2023·江蘇）（多選）下列對應關系是實數(shù)集上的函數(shù)的是（）A．：把對應到 B．：把對應到C．：把對應到 D．：把對應到【答案】AB【解析】選項A，是實數(shù)集上的一個函數(shù)．它的對應關系是把乘再加，對于任一，都有唯一確定的值與之對應，如，則與之對應；選項B，同理B也是實數(shù)集上的一個函數(shù)；選項C，不是實數(shù)集上的函數(shù)．因為當時，的值不存在；選項D，不是實數(shù)集上的函數(shù)．因為當時，的值不存在．故選：AB.2．（2022·江西景德鎮(zhèn)）（多選）托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學思想之花”，根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列關系屬于集合到集合的函數(shù)關系的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由題意，，A項，在中，當時，對應函數(shù)值為，與集合不對應，A錯誤；B項，在中，當時，對應的函數(shù)值分別為，B正確；C項，在中，當時，定義域不合要求，C錯誤；D項，在中，當時，對應的函數(shù)值分別為，D正確；故選：BD.3．（2023·云南昆明）已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】對選項A：存在點使一個與兩個對應，不符合，排除；對選項B：當時，沒有與之對應的，不符合，排除；對選項C：的范圍超出了集合的范圍，不符合，排除；對選項D：滿足函數(shù)關系的條件，正確.故選：D4．（2023·北京）（多選）下列是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個只有一個和它對應，因此不能出現(xiàn)一對多的情況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.故選：ABD.考點二區(qū)間的表示【例2】（2022廣東湛江）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.【答案】見解析【解析】(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)（2）{x|x<0}＝(－∞，0)(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].【一隅三反】1．（2023云南大理）集合可用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，用開區(qū)間表示為故答案為：A。2．（2023廣州）若實數(shù)滿足，則用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知可以等于，不能等于，所以是半開半閉區(qū)間，D選項符合.故答案為：D.考點三函數(shù)的定義域【例3-1】（1）（2023·湖南衡陽）函數(shù)的定義域為（2）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求函數(shù)的定義域為________．【答案】（1）且（2）【解析】（1）依題意，，解得且，所以函數(shù)的定義域為且.故選：A（2）要使函數(shù)有意義，則，解得，即且，函數(shù)的定義域為.故答案為：.【例3-2】（1）（2023·海南）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是__________.（2）（2023·上海）已知函數(shù)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)的定義域為______.（3）（2022廣西）函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是__________.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因為函數(shù)的定義域為，所以，即且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.（2）令，得，從而，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：（3）函數(shù)的定義域為，即，得，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：【例3-3】（2023·河北衡水）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的定義域為，又函數(shù)有意義，則有，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故選：C【例3-4】（2023安徽）已知等腰三角形ABC的周長為10,且底邊長y關于腰長x的函數(shù)關系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域為()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【答案】D【解析】由題意知解得<x<5即定義域為故選：D.【一隅三反】1．（2023·福建）函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】由，得，故函數(shù)的定義域為：．故答案為：2．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域為________.【答案】【解析】令，可得，解得.故函數(shù)的定義域為.故答案為:.3．（2022秋·福建）已知函數(shù)的定義域為則的定義域為_________________【答案】【解析】由已知，的定義域為，所以對于需滿足,解得故答案為：.4．（2023·湖南）函數(shù)的定義域為，則的定義域為________.【答案】【解析】由于函數(shù)的定義域為，則，所以函數(shù)的定義域為，則函數(shù)中，所以，即的定義域為.故答案為：.5．（2022秋·山東煙臺·高一?？茧A段練習）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.【答案】【解析】設矩形另一邊的長為m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面積，解得：.故答案為：考點四同一函數(shù)的判斷【例4】（2022秋·福建福州）下列函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（

）.A．與 B．與

C．與 D．與【答案】D【解析】對于A項，，顯然與對應關系不同，但定義域相同均為，故A錯誤；對于B項，由題意得，即的定義域為，，即的定義域為和，兩函數(shù)定義域不同，故B錯誤；對于C項，，即兩函數(shù)對應關系不同，故C錯誤；對于D項，，兩函數(shù)定義域與對應關系均相同，故D正確.故選：D【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故的定義域為,對于A，的定義域為，且解析式與相同，故為同一個函數(shù)，對于B,，故不是同一個函數(shù)，對于C,的定義域為，而對定義域為，定義域不同，不是同一個函數(shù)，對于D,的定義域為，而對定義域為，定義域不同，不是同一個函數(shù)，故選:A2．（2023·山東）下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的定義域為[0，+∞），所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于B，因為，且，的定義域均為R，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；對于C，，和的對應關系不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；對于D，函數(shù)的定義域為{，且}，函數(shù)的定義域為R，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).故選：B.3．（2023河南）下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是（）①與;②與;③與.A．①② B．① C．② D．③【答案】B【解析】對①:與的定義域、對應關系均相同，是同一函數(shù)；對②:由，而,對應關系不同，不是同一函數(shù)；對③：，，對應關系不同，不是同一函數(shù).故選：B考點五三種函數(shù)的表示方法【例5】（2023新疆）某公共汽車，行進的站數(shù)與票價關系如下表：行進的站數(shù)123456789票價111222333此函數(shù)的關系除了圖表之外，能否用其他方法表示？【答案】能，具體見詳解.【解析】根據(jù)題意，可知除了圖表法之外，還可以用解析式法和圖象法表示，解析式法：設票價為元，站點的個位為，則.圖象法：【一隅三反】1．（2023內(nèi)蒙古）公司生產(chǎn)了10臺機器，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.【答案】答案見解析.【解析】①列表法x(臺)12345y(元)3000600090001200015000x(臺)678910y(元)1800021000240002700030000②圖象法：如圖所示.③解析法：售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關系.2．（2022·高一課時練習）某種筆記本的單價是5元，買個筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).【答案】見解析.【解析】這個函數(shù)的定義域是數(shù)集.用解析法可將函數(shù)表示為，.用列表法可將函數(shù)表示為筆記本數(shù)12345錢數(shù)510152025用圖象法可將函數(shù)表示為：3．（2022·高一課時練習）已知完成某項任務的時間與參加完成此項任務的人數(shù)之間滿足關系式，當時，；當時，，且參加此項任務的人數(shù)不能超過8．（1）寫出關于的解析式；（2）用列表法表示此函數(shù)；（3）畫出此函數(shù)的圖象．【答案】（1）函數(shù)解析式是（2）詳見解析（3）圖象見解析【解析】（1）因為當時，；當時，，所以，解得，所以．又，為正整數(shù)，所以此函數(shù)的定義域是，所以所求函數(shù)解析式是．（2），2，3，4，5，6，7，8，列表如下：123456781971005335（3）此函數(shù)的圖象如圖所示：考點六求函數(shù)值或值域【例6-1】（2023湖北）已知，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)-23；-1(2)-20；-51(3)8x2-46x+40；4x2-6x-55【解析】(1)=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1；(2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.【例6-2】（2023·江蘇）試求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定義域為，值域為(2)定義域為，值域為(3)定義域是，值域為(4)定義域是，值域是.【解析】（1）因為的定義域為，則，同理可得，，，，所以函數(shù)的值域為.（2）函數(shù)的定義域為R，因為，所以函數(shù)的值域為.（3）函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)的值域為.（4）要使函數(shù)有意義，需滿足，即，故函數(shù)的定義域是.設，則，于是，又，所以，所以函數(shù)的值域為.【一隅三反】1．（2023·江蘇連云港）（多選）下列函數(shù)與的值域相同的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故其值域為；對A：當時，，其值域為，故A正確；對B：，故，其值域為，故B錯誤；對C：，當且僅當時取得等號，其值域為，故C正確；對D：令，故的值域即的值域；又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，故D錯誤.故選：AC.2．（2022秋·浙江杭州）求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3),.（4）【答案】(1)(2)(3)（4）【解析】（1）設,則,所以,根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),函數(shù)的值域為.（2）函數(shù)的定義域為,,所以函數(shù)的值域為.（3）因為函數(shù)的對稱軸為,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域為.（4），，當時，，當且僅當時等號成立；當時，，當且僅當時等號成立.故函數(shù)值域為；考點七函數(shù)解析式【例7】（2023·江西南昌）根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函數(shù)，且滿足【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）令，則，，所以由，得，所以；（2）由，得，所以，所以，解得；（3）由題意設，因為，所以，因為，所以，所以，所以，得，所以.【一隅三反】1．（2023·云南大理）根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：令，則，故，所以；（2）解：設，因為，所以，即，所以，解得，所以；（3）解：因為①，所以②，②①得，所以.2．（2023·全國·專題練習）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為__________．(2)已知滿足，求的解析式．(3)已知，對任意的實數(shù)x，y都有，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）方法一（換元法）：令，則，．所以，所以函數(shù)的解析式為．方法二（配湊法）：．因為，所以函數(shù)的解析式為．（2）將代入，得，因此，解得．（3）令，得，所以，即．考點八分段函數(shù)【例8-1】（2023·廣西梧州）已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)2；(2)或2