2.2 基本不等式（精練）（解析版）-人教版高中數學精講精練必修一

2.2基本不等式（精練）1．（2023·重慶）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，則ab的最大值是（）A． B．2 C．4【答案】D【解析】，等號成立條件是，即時取等號，即當且僅當時取等號，所以ab的最大值是4.故選：D.2（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，則的最值情況是（

）A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【解析】若，則，當且僅當即等號成立，所以若時，有最小值為6，無最大值.故選：B.3．（2023·江蘇）函數的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因為所以，(當且僅當即時，等號成立故最小值為，故選：A4．（2023·新疆喀什）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由（當且僅當時等號成立），得，即，即，，當且僅當a=b=時等號成立.所以的最小值為.故選：B.5．（2023春·河南新鄉(xiāng)）已知正實數，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．1 C．9 D．【答案】B【解析】因為，變形得.由題意，當且僅當，即時，等號成立．故選：B.6．（2022秋·廣東深圳）若x，y滿，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，當且僅當時取等號，所以，因為，而，所以，于是有，故選項AB都不正確；由，故選：C7．（2023·高一課時練習）若，則在①，②，③，④，這四個不等式中，不正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】因為，對于①中，由，當且僅當時，等號成立，所以①正確；對于②中，由，當且僅當時，等號成立，所以，所以②不正確；對于③中，由不等式，可得，兩邊同除，可得成立，所以③成立；對于④，由，可得，即，所以成立，所以④正確.故選：B.8．（2023春·江西宜春）已知，且，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由題意知，且，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.9．（2023春·浙江杭州）若正數滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得時等號成立，所以，所以時，的最小值是，故選：B10．（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知正實數、滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因為正實數、滿足，對于A選項，，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，因為，則，當且僅當時，等號成立，B錯；對于C選項，當，時，，C錯；對于D選項，，當且僅當時，等號成立，D對.故選：AD.11．（2023春·陜西安康）（多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對A、B：∵，則，∴，即，，A、B正確；對C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯誤；對D：∵，則，∴，D正確.故選：ABD.12．（2023北京）（多選）若、，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A選項，，故，A對；對于B，取，此時，B錯；對于C，取，此時，C錯；對于D，因為，所以，，所以，當且僅當時，等號成立，D對.故選：AD.13．（2023·河北）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】對于A選項，若，則，由不等式的基本性質可得，A對；對于B選項，若，，則，所以，，B錯；對于C選項，因為，則，所以，，C對；對于D選項，若，則，，則，故，D對.故選：ACD.14．（2023春·云南臨滄）（多選）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．7.5【答案】BC【解析】由，且，可得，當且僅當時，即時，等號成立，又因為不等式恒成立，所以，又，結合選項，可得BC符合題意.故選：.15．（2022秋·天津和平）已知正實數a，b滿足則ab的最大值為__________.【答案】5【解析】因為正實數，滿足，當且僅當，即，時取等號，解得，則的最大值5．故答案為：5．16．（2023·四川成都）已知a＞0，b＞0，且，則的最小值為______．【答案】【解析】因為.當且僅當，即時取等，故的最小值為.故答案為：17．（2023春·福建三明）已知實數，，則的最小值是______.【答案】3【解析】,令,則,當且僅當即時等號成立.故的最小值為3.故答案為：318．（2023·浙江）函數在上的最大值為_______________．【答案】【解析】因為，，令，則，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：19（2023·新疆）當時，函數的最小值為___________．【答案】【解析】因為，則，則，當且僅當時，等號成立，所以，當時，函數的最小值為.故答案為：.20．（2023春·陜西渭南）已知正實數x，y滿足，則的最小值為______.【答案】8【解析】因為，所以，即，當且僅當時，等號成立，所以.即的最小值為.故答案為：21．（2023春·上海金山）已知正數、滿足，則的最小值為___.【答案】【解析】正數、滿足，則則，又時，，則，則的最小值為.故答案為：22．（2023河南）正實數滿足，則的最小值為_______.【答案】1【解析】因為正實數滿足，所以，則，當且僅當,即時取等號，所以的最小值為1，故答案為：123．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谥校┮阎?，，則的最大值為____________．【答案】【解析】由已知，，，則，而，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：.24．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預測）若關于的不等式對任意恒成立，則正實數的取值集合為______．【答案】【解析】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當且僅當，即時取得等號，∴，解得．故正實數的取值集合為.故答案為：．25．（2023春·安徽·高一淮北一中校聯(lián)考開學考試）已知正數x，y滿足，若不等式對任意正數x，y恒成立，則實數m的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以實數m的取值范圍為．故答案為：．26．（2023·內蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）黨的二十大報告指出：我們要推進美麗中國建設，堅持山水林田湖草沙一體化保護和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產業(yè)結構調整、污染治理、生態(tài)保護、應對氣候變化，協(xié)同推進降碳、減污、擴綠、增長，推進生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維護．若鄉(xiāng)財政下?lián)芤豁棇？?00百萬元，分別用于植綠護綠和處理污染兩個生態(tài)維護項目，植綠護綠項目五年內帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數（單位：百萬元）：；處理污染項目五年內帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數（單位：百萬元）：．(1)設分配給植綠護綠項目的資金為（百萬元），則兩個生態(tài)項目五年內帶來的收益總和為（百萬元），寫出關于的函數解析式；(2)生態(tài)維護項目的投資開始利潤薄弱，只有持之以恒，才能功在當代，利在千秋．試求出的最大值，并求出此時對兩個生態(tài)項目的投資分別為多少？【答案】(1)，(2)的最大值為145（百萬元），分別投資給植綠護綠項目、污染處理項目的資金為60（百萬元），340（百萬元）．【解析】（1）解：由題意可得處理污染項目投放資金為百萬元，則，，．（2）解：由（1）可得，，當且僅當，即時等號成立，此時．所以的最大值為（百萬元），分別投資給植綠護綠項目、污染處理項目的資金為（百萬元），（百萬元）．1．（2023·廣東）已知，，且，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，且，由基本不等式可得（當且僅當時取等號），A正確；由基本不等式知，則，即（當且僅當時取等號），B正確；由題得，由已知，故，所以，故，C正確；由基本不等式可得，即（當且僅當時取等號），D錯誤.故選：D.2．（2023·海南省）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當，時，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為．所以，即．故選：A.2．（2023上海）（多選）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由，可得，所以A錯誤；由且，則，當且僅當時等號成立，又因為，所以等號不成立，故成立，所以B正確；當，時，可得，所以C錯誤；因為，所以，當且僅當時取等號；同理可得：，當且僅當時取等號，又因為，即，不同時等于1，所以，所以D正確．故選：BD．3．（2022秋·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習）（多選）已知,則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由題知,當時,,故選項A,D錯誤;根據算術平均數大于等于調和平均數,所以,即,由,當且僅當,即時,等號成立,因為,所以,此時,故,故選項B正確.因為,所以,即,當且僅當,即時,等號成立,所以,故選項C正確.故選:BC4．（2023·內蒙古）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為，，所以，所以，因為，所以，即，故A正確；因為，，所以，故B不正確；因為，，所以，故C正確；因為，，所以，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD5．（2023·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，是正數，且，下列敘述正確的是（

）A．最大值為1 B．有最大值4C．的最大值為2 D．的最小值為9【答案】AC【解析】，是正數，，當且僅當時取等號，此時，故A正確；，當且僅當時取等號，有最小值4，故B錯誤；因為，則，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，，當且僅當時取等號，故D錯誤．故選：AC．6．（2023春·廣西防城港·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因，，且，則有，當且僅當時取“=”，故A正確；因，，且，則，，當且僅當時取“=”，故B錯誤；因，，且，所以，當且僅當，即，時取等號，故C正確；因，，且，則，，則，因為取等的條件為，即，又取等的條件為，因為取等條件不一致，故，故D正確.故選：ACD7．（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學考試）（多選）已知，則下列說法中正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最小值為【答案】ABD【解析】A選項，因為，所以，即，解得，當且僅當時，等號成立，A正確；B選項，因為，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，B正確；C選項，由基本不等式得，故，故，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，C錯誤；D選項，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，D正確.故選：ABD8．（2023春·遼寧）（多選）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為6 D．的最大值為8【答案】ACD【解析】對于A：，當且僅當，即時取等號，故A正確；對于B：由條件可知，所以，解得，由，得，，所以，當且僅當時取得等號，故B錯誤；對于C：由得，當且僅當，即，時取得等號，故C正確；對于D：由上述條件可知，整理得.令，則，解得，則，當且僅當，即，時取得等號，故D正確.故選：ACD.9．（2023·山東煙臺）（多選）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4【答案】BC【解析】對于A，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故錯誤；對于B，因為，所以，即，，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，由得，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯誤.故選：BC.10．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【答案】(1)2(2)證明見解析【解析】（1）（2）因為，所以，所以．因為，，所以，當且僅當時，等號成立，則，即的最小值是2．（2）證明：因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以．當且僅當時，等號成立則，即，當且僅當時，等號成立．11．（2023·全國·高三專題練習）設非負實數滿足，求證：【答案】證明見解析【解析】因為，，，，所以，.當且令當時，等號成立，所以，即.12．（2023·新疆烏魯木齊）已知是正實數.(1)若，證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）因為，，，所以，所以，當且僅當且，即時，等號成立，所以.（2）因為，，，所以，當且僅當時取等號；，當且僅當時取等號；，當且僅當時取等號；上述三式相加可得，即，當且僅當時，等號成立.所以.13（2023·全國·高三對口高考）（1）設.若，求的取值范圍；（2）設，，.若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，即，即，當且僅當時取等號，所以，即，即，解得或，即的取值范圍為.（2）因為，，則，所以，即，則，即，解得，即，當且僅當時取等號．所以的取值范圍為．14．（2023·廣東湛江）（1）當時，求函數的最小值；（2）當時，求函數的最大值；（3）當時，求函數的最小值；（4）當時，求函數的最大值；（5）設，求函數的值域．（6）①當時，求函數的最大值；②求函數的最大值；【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②.【解析】（1）因為，所以，，當且僅當，