1.2 集合間的關(guān)系（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

1.2集合間的關(guān)系（精講）一．子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A＝B2．Venn圖：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．3．子集的性質(zhì)(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.4.子集的個數(shù)假設(shè)集合A中含有n個元素，則有：(1)A的子集有2n個；(2)A的非空子集有(2n－1)個；(3)A的真子集有(2n－1)個；(4)A的非空真子集有(2n－2)個.二．空集1.定義：不含任何元素的集合叫做空集2.記作：?3.規(guī)定:空集是任何集合的子集，即??A4.特性(1)空集只有一個子集，即它的本身，???；(2)若A≠?，則?A5.區(qū)分：0，{0}，?與{?}之間的關(guān)系?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數(shù)?不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}一．判斷集合關(guān)系的方法1.觀察法：一一列舉觀察.2.元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.3.數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.二.求給定集合的子集的兩個注意點：1.按子集中元素個數(shù)的多少，以一定的順序來寫；2.在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身.三．由集合間的關(guān)系求參數(shù)1.若已知集合是有限集，求解時，一般根據(jù)對應(yīng)關(guān)系直接列方程．2.若已知集合是無限集，求解時，通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準(zhǔn)確無誤．一般含“＝”用實心圓點表示，不含“＝”用空心圓圈表示．3.注意點：①不能忽視集合為?的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論.考點一集合間的關(guān)系【例1-1】（2023·江蘇）設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，則.故選：D.【例1-2】（2022·廣西桂林）已知集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合，所以根據(jù)子集的定義可知，故選：D.【一隅三反】1．（2023·北京）已知集合，，則（

）A．? B． C． D．【答案】A【解析】，，則?.故選：A.2．（2022秋·福建福州）已知集合，則下列關(guān)系中，正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合，對于A，因為，故選項A錯誤；對于B，是一個集合，且，故選項B錯誤；對于C，因為集合，所以集合與集合不存在包含關(guān)系，故選項C錯誤；對于D，因為集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故選項D正確，故選：D.3．（2023·寧夏銀川）下列集合關(guān)系中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A：集合為點集，含有元素，集合含有兩個元素，，所以不包含于，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確；故選：A考法二空集【例2-1】（2023安徽）下列集合中為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于B中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于C中，由方程，即，此時方程無解，可得，符合題意；對于D中，不等式，解得，，不符合題意.故選：C.【例2-2】（2022·上海）下列命題中正確的是（

）A．空集沒有子集B．空集是任何一個集合的真子集C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集D．設(shè)集合，那么，若，則【答案】D【解析】A選項，空集是其本身的子集，A錯；B選項，空集是任一非空集合的真子集，B錯；C選項，空集只有一個子集，即是空集本身；C錯；D選項，若，則中元素都在中，中沒有的元素，則中也沒有；故D正確.故選：D.【一隅三反】1．（2023·天津）下列四個說法中，正確的有（

）①空集沒有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，則；④任何集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】①空集是任何集合的子集，所以①錯；②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③錯；④空集只有自己本身一個子集，所以④錯.故選：A.2．（2023·北京）已知六個關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達正確的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：是的一個元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C3．（2023·河南）下列四個命題：①空集沒有子集；②空集是任何一個集合的真子集；③?＝{0}；④任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因為空集是其本身的子集，故①錯誤；空集只有本身一個子集，故②④錯誤；空集沒有元素，而集合{0}含有一個元素0，故③錯誤．故正確命題個數(shù)為0.答案：A.考法三（真）子集的個數(shù)【例3-1】（2022秋·江蘇揚州）已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】集合，所以集合的真子集個數(shù)為：.故選：B.【例3-2】（2023·海南）若集合A滿足，則集合A所有可能的情形有（

）A．3種 B．5種 C．7種 D．9種【答案】C【解析】由，可知集合A必有元素，即至少有兩個元素，至多有四個元素，依次有以下可能：七種可能.故選：C【一隅三反】1．（2023·江蘇南京）集合的子集個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】，故子集個數(shù)為.故選：B2．（2023·新疆）已知集合滿足，那么這樣的集合的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】∵，∴要確定集合M,只需確定1和4是否放置在其中，共有4種情況，，故選：D3．（2023·河南開封）已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】由題意得，所以集合的真子集個數(shù)為.故選：C.考法四已知集合關(guān)系求參數(shù)【例4-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.【例4-2】（2023·高一課時練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，故時，則且，若中只有一個元素，①中的方程為一元二次方程，則，此時,不合題意，舍去；②中的方程為一元一次方程，則，則，則，此時不符合，舍去，當(dāng)時，則符合題意，綜上可知：或，故選：D.【例4-3】（2023秋·河南鄭州）已知集合沒有非空真子集，則實數(shù)a構(gòu)成的集合為______.【答案】【解析】因為集合沒有非空真子集，所以集合中元素的個數(shù)為1或0個，當(dāng)集合中元素的個數(shù)為1個時，若，則有，解得，符合題意，若，則有，解得，當(dāng)集合中元素的個數(shù)為0個時，則，解得，綜上或，即實數(shù)a構(gòu)成的集合為.故答案為：.【例4-4】（2023·江蘇）已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)不存在【解析】（1）解：①當(dāng)時，即，解得，此時滿足；②當(dāng)時，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）解：由題意，要使得，則滿足，此時不等式組無解，所以實數(shù)不存在，即不存在實數(shù)使得.【一隅三反】1．（2023·福建）（多選）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B?A，則實數(shù)a的取值可能為（）A．－3 B．－2C．0 D．3【答案】BCD【解析】由題知B?A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.所以B＝，，，.當(dāng)B＝時，此種情況不可能，所以舍去；當(dāng)B＝時，，解得a＝3；當(dāng)B＝時，，解得a＝－2；當(dāng)B＝時，a＝0.綜上可得實數(shù)a的可能取值為3，0，－2.故選：BCD.2．（2022秋·河南·高一統(tǒng)考期中）集合或，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，①當(dāng)時，即無解，此時，滿足題意．②當(dāng)時，即有解，當(dāng)時，可得，要使，則需要，解得．當(dāng)時，可得，要使，則需要，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：A．3．（2023·安徽蕪湖）若集合，，且，求實數(shù)m的值.【答案】或或【解析】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以或，所以或，綜上所述，或或.4．（2022·高一課時練習(xí)）已知集合．(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】（1）解：由題可知，，，①若，則，即；②若，則，解得：；綜合①②，得實數(shù)的取值范圍是．（2）解：已知，，，則，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是．5.（2023·安徽）已知集合，.（1）若，求的值；（2）若，求的