2025屆上海市高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷2（含解析）

2025屆高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷2時(shí)間：120分鐘滿分：150一.填空題：1.已知集合，.若，則實(shí)數(shù)的值是______.2.已知是虛數(shù)單位.若，則的值為______.3.已知一組數(shù)據(jù)，，，，，則該組數(shù)據(jù)的方差是______.4.函數(shù)的定義域是______.5.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有，，，，，個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是______.6.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線為______.7.如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐體積為，三棱柱的體積為，則______.8.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為______.9.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為______.10.如圖，在中，，，與交于點(diǎn)，，，，則的值為______.11.圓與曲線相交于，，，點(diǎn)四點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______.12.在銳角三角形中，若，則的最大值為______.二.選擇題：13.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，判斷下列結(jié)論：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.414.設(shè)函數(shù)，且其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.的最小正周期為，且在上為增函數(shù)B.的最小正周期為，且在上為增函數(shù)C.的最小正周期為，且在上為減函數(shù)D.的最小正周期為，且在上為減函數(shù)15.已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，存在（）A.當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有3個(gè) B.當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有4個(gè)C.當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有3個(gè) D.當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有4個(gè)16.實(shí)數(shù)，，…，，滿足，且，則對(duì)，的最大值為，則（）A. B. C. D.三.解答題：17.己知向量，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，且，求的最大值以及對(duì)應(yīng)的的值.18.如圖，在三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面（2）若，求證：平面平面.19.從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時(shí)間長達(dá)兩千多年的貨幣.如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”.某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長比孔的邊長?。?，每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字.設(shè)，五個(gè)正方形的面積和為.圖1 圖2（1）求面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求定義域；（2）求面積的最小值及此時(shí)的值.20.已知圓與橢圓相交于點(diǎn)，，且橢圓的離心率為.（1）求的值和橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交圓和橢圓分別于，兩點(diǎn).①若，求直線的方程；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，問：是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由.21.已知函數(shù).（1）若在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3）設(shè)，若在上是單調(diào)減函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案及逐題解析：一.填空題：1、【答案】9【詳解】集合，，，，則的值是9.2、【答案】【詳解】，，，則.3、【答案】0.08【詳解】首先求得，.4、【答案】【詳解】由，解得或，所以定義域?yàn)?5、【答案】【解析】基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)數(shù)之和小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為.6、【答案】【詳解】雙曲線的離心率為，可得：，解，所以雙曲線方程為：，所以該雙曲線的漸近線為.7、【答案】8、【答案】30【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)，得，，又，所以，即，，故，.9、【答案】【詳解】解：根據(jù)題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，圖象如圖，當(dāng)即時(shí)，，由得，解得；當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立；綜上：.10、【答案】2【詳解】令，，，，，，所以，解得，所以，因?yàn)?，，即，又因?yàn)?，，所?11、【答案】【詳解】由圓方程，可得圓心坐標(biāo)為，又，其圖象關(guān)于對(duì)稱在同一直角坐標(biāo)系中，畫出圓和函數(shù)圖像如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，圓和函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故可得其交點(diǎn)和，和都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.故，，則.故.12、【答案】【詳解】因?yàn)?，，都是銳角，所以，，所以，取等號(hào)時(shí)，此時(shí)由得，所以.所以最大值為.二.選擇題：13、【答案】C【解析】由題圖可知，這三年8月到9月的月接待游客量在減少，則結(jié)論（1）錯(cuò)誤；年接待游客數(shù)量逐年增加，故（2）正確；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正確；各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)變化較小，而7月至12月則變化較大，故（4）正確；故選：C.14、【答案】C【解析】，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)，，，，，，函數(shù)在上為減函數(shù).故選C.15、【答案】C【解析】將看成兩個(gè)函數(shù)，的交點(diǎn)，利用以直代曲，可以將等價(jià)看成，利用“穿針引線”易知，時(shí)圖像如圖，所以當(dāng)時(shí)最多有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)最多有三個(gè)交點(diǎn)。故選C.16、【答案】B【解析】不妨設(shè)，，要求的最大值，考慮極端情況，當(dāng)時(shí)，計(jì)算得到數(shù)列為：，，，，，，，，，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得到數(shù)列為：，，，，，，，，，故，當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故選：B.三.解答題：17、【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋ǚ駝t與矛盾），所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為.18、【詳解】（1）連結(jié)，.在三棱柱中，，且，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以也是中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，在三棱柱中，，四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，所以，所以平行四邊形是菱形，所以，又因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?19、【詳解】（1）過點(diǎn)分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線，垂足分別為，，因?yàn)閮?nèi)嵌一個(gè)大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，所以點(diǎn)，分別為小正方形和大正方形邊的中點(diǎn)，所以小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，所以五個(gè)正方形的面積和為，因?yàn)樾≌叫芜呴L小于內(nèi)嵌一個(gè)大正方形的邊長，所以，，，所以的取值范圍為，，所以面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，的取值范圍為，，.（2）法一：，，，，其中，，所以，此時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，化簡得：，由此解得：，因?yàn)?，所以，答：面積最小值為，法二：，，令，則，設(shè)，，令，得：，0極小值所以時(shí)，面積最小值為.20、【詳解】（1）因?yàn)閳A與橢圓相交于點(diǎn)，所以.又離心率為，所以，所以橢圓.（2）①因?yàn)檫^點(diǎn)的直線另交圓和橢圓分別于，兩點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，由，得，則，同理，解得，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，即直線的方程為.（2）根據(jù)（1），，，，，所以為定值.21、【詳解】（1），，解得：，又，，解得：；（2），在上有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，，在和上各有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3），，