5.2.1三角函數(shù)的概念-教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年人教版高一上

.2.1三角函數(shù)的概念1.教學(xué)內(nèi)容【引入】師：請(qǐng)大家觀察以下三張圖片（地球自轉(zhuǎn)，月亮圓缺，摩天輪）并說說它們有什么共性？生：都在做圓周運(yùn)動(dòng)。師：圓周運(yùn)動(dòng)具有什么特點(diǎn)？具有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性。那我們今天這節(jié)課就來一起試試能不能建立一種函數(shù)模型來刻畫周期性呢？師：我們以摩天輪作為代表模型來研究圓周運(yùn)動(dòng)，這是我暑假去游樂場(chǎng)坐摩天輪的照片，請(qǐng)問如何確定我在摩天輪的位置？生：坐標(biāo)師：要有坐標(biāo)就需要建立直角坐標(biāo)系，如何建系呢？生：以o為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。師：除了坐標(biāo)還有沒有別的變量能確定我的位置？為了方便計(jì)算，我不妨設(shè)摩天輪半徑為1.生：角度教師需做出引導(dǎo):要點(diǎn)出利用初中解直角三角形解題;引導(dǎo)學(xué)生在長(zhǎng)度上添加符號(hào)獲得坐標(biāo);借助Geogebra畫板展示，任意角α，觀察它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)為P（x,y),無論是橫坐標(biāo)，還是縱坐標(biāo)y,都是唯一確定的。教師小結(jié):綜合以上大家的回答,得到比較清晰的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系,在弧度制下任意角為自變量,分別以橫、縱坐標(biāo)為函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)了,不妨記為f和g(板書如下)根據(jù)上述分析，f:R[-1,1]和g:R[-1,1]都是從集合R到集合[-1,1]的函數(shù)。明確要素、理解概念教師給出三角函數(shù)的定義并黑板板書:給出三角函數(shù)的常用記法:(1)正弦函數(shù):y=sinx(x∈R)(2)余弦函數(shù):y=cosx(x∈R)(3)正切函數(shù):y=tanx,（x≠kπ教師要給學(xué)生特別指出此處的x、y,與初始定義中的x、y是不一樣的!【設(shè)計(jì)意圖】(1)在建構(gòu)三角函數(shù)概念過程中,通過再次明確函數(shù)三要素,較為準(zhǔn)確地理解三角函數(shù)定義.(2)給出三角函數(shù)的常用記號(hào),為后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)做好知識(shí)和符號(hào)鋪墊.三角函數(shù)的初步應(yīng)用例1:求5π/3的正弦、余弦和正切值。變式1：已知角α的終邊過點(diǎn)P（-12，3變式2：已知角α的終邊過點(diǎn)P（3，?3），求角α的正弦、余弦和正切值。變式3：已知角α的終邊過點(diǎn)P（x，y），求角α的正弦、余弦和正切值。教師注意引導(dǎo):1.當(dāng)r=1時(shí),則為初始定義形式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔和形式美;2.當(dāng)α是銳角時(shí),則函數(shù)值則等價(jià)于邊長(zhǎng)比,再次認(rèn)識(shí)初高中定義的聯(lián)系.設(shè)角α的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),它與原點(diǎn)的距離為r,則sinα=y【設(shè)計(jì)意圖】1.通過進(jìn)階和變式訓(xùn)練鞏固所學(xué)定義,也通過練習(xí)層層遞進(jìn),為三角函數(shù)的“坐標(biāo)比”定義證明做了鋪墊.最終使學(xué)生認(rèn)識(shí)到:只要終邊上任意一點(diǎn),便可以求得相應(yīng)的三角函數(shù)值,得到三角函數(shù)的“坐標(biāo)比”定義.2.使學(xué)生同時(shí)對(duì)單位圓這一數(shù)學(xué)模型的再認(rèn)識(shí):單位圓對(duì)三角函數(shù)定義起到更易理解、運(yùn)算的便捷性.關(guān)聯(lián)探究,深化認(rèn)識(shí)課堂小結(jié)1.知識(shí)小結(jié):三角函數(shù)定義,以及如何求三角函數(shù)值2.思想歸納:(1)從引入坐標(biāo)表示感受數(shù)形結(jié)合的思想和方法,從如何建系及在單位圓中探究體會(huì)數(shù)學(xué)化繁為簡(jiǎn)的方法;從具體問題—定義—例題—新結(jié)論的學(xué)習(xí)路徑,體會(huì)數(shù)學(xué)中特殊與一般不斷轉(zhuǎn)化的研究方法.(2)經(jīng)歷從認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)新概念統(tǒng)一兼容初中三角函數(shù)概念;從三角函數(shù)歷史中,看到數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折和嚴(yán)謹(jǐn)追求.

1.溫故知新，復(fù)習(xí)鞏固（1）復(fù)習(xí):任意角的三角函數(shù)定義:角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。設(shè)點(diǎn)P(x,y)為α終邊上不同于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，|OP|=r,則三角函數(shù)的定義三角函數(shù)定義域值域y=sinαR[-1,1]y=cosαR[-1,1]y=tanαR創(chuàng)設(shè)情景，興趣導(dǎo)入根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，將正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)填入圖中的括號(hào)xyoxyoxyoxyo（）（）()()()()（）（）()()()()y=tanαy=cosy=tanαy=cosαy=sinα3.動(dòng)腦思考，探索新知(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義得出其他三個(gè)函數(shù)的符號(hào)(2)形成口訣：一正二正弦、三切四余弦4.學(xué)以致用，知行合一例1、判定下列各角的各三角函數(shù)符號(hào)：（1）4327o；（2）．分析關(guān)鍵是判定角所在的象限．解：（1）因?yàn)椋裕?327o角為第一象限角，故，，．（2）因?yàn)?，所以，角為第三象限角，故，，．?.根據(jù)條件且,確定是第幾象限的角.解由可知,是第三或第四象限的角(或的終邊在軸的負(fù)半軸上的界限角)；由,可知是第二或第四象限的角.由于同時(shí)要滿足兩個(gè)條件，所以是第四象限的角.5.運(yùn)用知識(shí)達(dá)標(biāo)測(cè)試練習(xí)1．判斷下列角的各三角函數(shù)符號(hào)：（1）?235o；（2）480o；（3）；（4）．練習(xí)2．根據(jù)條件且,確定是第幾象限的角.6.歸納小結(jié)強(qiáng)化思想本節(jié)的重點(diǎn)就是三角函數(shù)值在各個(gè)象限中的符號(hào)，要求牢記口訣。已知角會(huì)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，已知三角函數(shù)值會(huì)確定角所在的象限。作業(yè)：課本第182頁練習(xí)第3題第4題板書設(shè)計(jì)

三角函數(shù)在各象限的符號(hào)1.溫故知新，復(fù)習(xí)鞏固4.學(xué)以致用，知行合一2.創(chuàng)設(shè)情景，興趣導(dǎo)入例13.動(dòng)腦思考，探索新知例21.創(chuàng)設(shè)情景，表明意圖（1）復(fù)習(xí)任意角三角函數(shù)定義：（2）計(jì)算并觀察：2.新知探究（引導(dǎo)探索、演示歸納）（1）探究對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系根據(jù)學(xué)生探究出的結(jié)果，得出結(jié)論.引導(dǎo)學(xué)生注意“正弦的平方”的表示方法是“”，而不是：“”，進(jìn)而得到符號(hào)表達(dá)式：；開方計(jì)算時(shí)，注意“分類”的思想在象限角正負(fù)號(hào)問題處理時(shí)的應(yīng)用.（2）探究正弦、余弦和正切函數(shù)三者的關(guān)系：.以上的探究由學(xué)生自由完成，可以從圖形角度，也可以從定義角度加以探究，讓學(xué)生體會(huì)圖形語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，體會(huì)兩種語言的區(qū)別于聯(lián)系.（3）探究上述兩個(gè)關(guān)系式的等價(jià)變形式教師點(diǎn)明：由等價(jià)變形式已知余弦值可以求正弦值；由等價(jià)變形式已知余弦值可以求正弦值，學(xué)生可能得到:的結(jié)論，此時(shí)，應(yīng)該向?qū)W生說明：、的符號(hào)受所在象限的限制，不是無條件的，不同于“由可以推出”這種情形，此情況類似于“”而不是“”.等價(jià)變形式可以將分式可以化為整式.3.例題講解例1已知且是第三象限角，求，的值.解：由，得∵是第三象限角∴，即.∴變式已知，求，的值.解：∵，是第三象限角或者第四象限角由，得①若是第三象限角，則：∴，即.∴②若是第四象限角，則：∴，即.∴4.課堂練習(xí)練習(xí)1已知,求，的值.練習(xí)2已知求的值.5.課堂小結(jié)（1）.同角三角函數(shù)基本關(guān)系：平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系.（2）.數(shù)學(xué)思想：從特殊到一般，從具體到抽象，數(shù)形結(jié)合、分類討論.6.作業(yè)布置同角三角函數(shù)的配套訓(xùn)練.教學(xué)評(píng)價(jià)(1)“評(píng)價(jià)不是為了證明，而是為了促進(jìn)”，本節(jié)課在教學(xué)中，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知心理過程