25-第二章第五節(jié)(概率統(tǒng)計(jì))

第二章隨機(jī)變量及其分布2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布

內(nèi)容簡(jiǎn)介:已知隨機(jī)變量X的分布,又設(shè)隨機(jī)變量X的函數(shù)為Y=g(X)(其中y=g(x)是連續(xù)函數(shù)),如何“由X的分布求出函數(shù)Y的分布”,這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)際問(wèn)題中還是在理論研究上都是很重要的.在本節(jié)，我們通過(guò)例題，分離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量情形，求解隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布問(wèn)題.第二章隨機(jī)變量及其分布2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.5.1提出問(wèn)題

1.已知t=t0時(shí)刻噪聲電壓V的分布,如何求功率W=(R為電阻)的概率分布？怎樣來(lái)研究它？2.5.2預(yù)備知識(shí)1.單調(diào)函數(shù)與非單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)；

2.隨機(jī)事件和與差的等式，分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系.

在實(shí)際問(wèn)題中,人們常常對(duì)隨機(jī)變量函數(shù)的概率問(wèn)題更感興趣.例如,已知圓軸截面直徑

d的分布,求截面面積A=的分布,這里A是隨機(jī)變量d的函數(shù).

一般地,設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知,隨機(jī)變量Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)),如何“由X的分布求出Y的分布”,這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)際問(wèn)題中還是在理論上都是很重要的.2.5.3理論方法

(1)

當(dāng)

X取值-1,0,1時(shí),

Y對(duì)應(yīng)取值1,3,5,而且X取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件,兩者具有相同的概率.1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2.5.1

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

求（1）隨機(jī)變量Y=2X+3的概率分布.解所以,隨機(jī)變量Y的概率分布為X

-101pk0.30.50.2（2）隨機(jī)變量Y=X2的概率分布.已知隨機(jī)變量X的分布律為

X-101pk0.30.50.2則函數(shù)隨機(jī)變量Y=2X+3的概率分布

Y135pk0.30.50.2

(2)

若隨機(jī)變量X服從分布律

X-101pk0.30.50.2則Y=X2的概率分布為

Y01pk0.50.5

這是因?yàn)镻{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.5,

P{Y=1}=P{X=-1}∪{X=1}=P{X=-1}+P

{X=1}=0.3+0.2=0.5.

一般地,若Y=g(X)是離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù),X服從的分布律為Xx1x2…xk…pkp1p2…pk…則隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)服從分布律

Yg(x1)g(x2)…g(xk)…pkp1p2…pk…

如果g(x)為非嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則g(xk)中有一些可能是相同的,把它們對(duì)應(yīng)的概率作適當(dāng)并項(xiàng)即可.講評(píng)例2.5.1中的函數(shù)Y=2X+3為單調(diào)函數(shù),而例2中的函數(shù)Y=X2不是單調(diào)函數(shù).要注意處理Y取值的不同情形.2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

例2.5.2

設(shè)設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

fX(x)(-∞<x<+∞).求：

（1）隨機(jī)變量Y=2X+3的概率密度.（2）隨機(jī)變量Y=X2的概率密度f(wàn)Y(y).解

設(shè)X,Y的分布函數(shù)為FX(x),

FY(y).

(1)Y=2X+3的分布函數(shù)：于是隨機(jī)變量Y=2X+3的概率密度

注意到Y(jié)=X2≥0,所以,

當(dāng)y<0時(shí),FY

(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=0.當(dāng)y≥0時(shí),有

FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}(2)Y=X2的分布函數(shù)：對(duì)y求導(dǎo),可得隨機(jī)變量Y的概率密度特別地,已知X~N(0,1),其概率密度為則Y=X2的概率密度為此時(shí)稱Y服從自由度為1的χ2分布,常記為Y~χ2(1).即：若X~N(0,1),則Y=X2~χ2(1).

例2.5.1中函數(shù)Y=2X+3為單調(diào)函數(shù),而函數(shù)Y=X2不是單調(diào)函數(shù),要注意概率P{g(X)≤y}的分解形式.講評(píng)

通過(guò)例2.5.2,我們可以總結(jié)出在連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)或概率密度已知的情況下求Y=g(X)的概率密度的一般方法:設(shè)X有概率密度f(wàn)X(x),

隨機(jī)變量Y=g(X),則

(1)先確定Y的值域R(Y).(2)對(duì)任意y∈R(Y),求出Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X∈G(y)}=這里,G(y)由不等式g(X)≤y解出.

(3)對(duì)FY(y)求導(dǎo),可得Y的概率密度f(wàn)Y(Y),y∈R(Y).(4)對(duì)fY(y)加以總結(jié),當(dāng)yR(Y)時(shí),取fY(y)=0.

定理設(shè)隨機(jī)變量X是一個(gè)有概率密度f(wàn)X(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量,又設(shè)函數(shù)y=g(x)嚴(yán)格單調(diào)且其反函數(shù)g-1(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則Y=g(X)也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,它的概率密度為其中區(qū)間(α,β)為Y的值域.

下面給出一個(gè)定理，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)可直接求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度.證

X的概率密度為

例2.5.3設(shè)隨機(jī)變量

試證明X的線性函數(shù)

也服從正態(tài)分布,且

現(xiàn)在,由這一關(guān)系式解得

求導(dǎo)得

由定理公式

得到

的概率密度為

就是因此講評(píng)本題結(jié)論，作為定理使用：設(shè)隨機(jī)變量則也服從正態(tài)分布,且

本次課我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,在求Y=g(X)的分布時(shí),關(guān)鍵的一步是把事件{g(X)≤y}轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式,從而可以利用

X

的分布FX

(x)來(lái)求Y=g(X)的分布FY

(y)=P{g(X)≤y}.對(duì)于可導(dǎo)的單調(diào)函數(shù)g(x)來(lái)說(shuō),可以直接應(yīng)用定理求得Y的概率密度.特別是，正態(tài)分布線性函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握.2.5.4內(nèi)容小結(jié)2.5.5習(xí)題布置習(xí)題2.51、2、3、4、5.參考文獻(xiàn)與聯(lián)系方式[1]鄭一,王玉敏,馮寶成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).大連理

工大學(xué)出版社，2015年8月.[2]鄭一,戚云松,王玉敏.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)指

導(dǎo)書.大連理工大學(xué)出版社，2015年8月