2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：計數(shù)原理（附答案解析）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：計數(shù)原理

一.選擇題（共8小題）

1.（2021春?韓城市期末）公共汽車上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式

有（）種.

A.從5B.「5C.105D.510

A10b10

2.（2021春?贛榆區(qū)校級期末）如圖，湖面上有4個相鄰的小島A,&C,D,現(xiàn)要建3座

橋梁，將這4個小島連接起來共有機種不同的方案，則機的值為（）

A.4B.8C.12D.16

等

333于

C+C

3.(2021春?揚州期末)熄+C459

A.120B.210C.126D.240

4.(2020春?湖北期末)滿足條件A2>C3的自然數(shù)〃有()

nn

A.7個B.6個C.5個D.4個

5.（2021春?濟寧期末）2名老師和4名學(xué)生共6人參加兩項不同的活動，每人參加一項活

動，每項活動至少有2人參加，但2名老師不能參加同一項活動，則不同的參加方式的

種數(shù)為（）

A.20B.28C.40D.50

6.（2021春?道里區(qū)校級期末）用0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有（）

個

A.75B.90C.105D.120

7.(2021春?撫州期末)已知(JT-1)(2x-1)7=ao+t/i(x-1)+ai(x-1)，…+。9(x-1)

9,則〃2+?4+期+。8=()

A.10935B.5546C.5465D.5468

8.（2021春?朝陽區(qū)校級期末）（人工）11的展開式的二項式系數(shù)之和為256,則展開式中

的含人項的系數(shù)是（）

A.112B.-112C.60D.-60

二.填空題（共4小題）

9.（2021?金華模擬）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,O,E,廣，G,H八個點

涂色，要求每個點涂一種顏色.且圖中每條線段上的點顏色不同，則不同的涂色方法有

種.

10.（2014?浙江）在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分

配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有種（用數(shù)字作答）.

11.（202。?新課標(biāo)n）4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只夫1個小區(qū),

每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

12.（2020秋?海淀區(qū)校級期末）四根繩子上共掛有10只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1,2,

3,4,每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣

球都打破的不同打法數(shù)是.（用數(shù)字表示）

O000

-

6-

00

--

0

0

0

三.解答題（共4小題）

13.（2020?南通模擬）已知（1+x）2n=ao+aiA+?2X2+,?,+a2,?x2z,.

（1）求0+42+03+…+〃2”的值；

（2）求工-工+工-_L+-+—L--，的值.

ala2a3a4a2kla2n

14.（2021春?十堰期末）有3名易生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總

數(shù).

（1）選5人排成一排;

（2）排成前后兩排，前排4人，后排3人；

（3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾：

（4）全體排成i排，女生必須站在一起；

（5）全體排成一排，男生互不相鄰.

15.（2021春?泗陽縣校級期末）將四個編號為1,2,3,4的小球放入四個編號為1,2,3,

4的盒子中.

（1）若每盒至多一球，則有多少種放法？

（2）若恰好有一個空盒，則有多少種放法？

（3）若每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放

法？

16.（2013?西湖區(qū)校級模擬）男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5

人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？

（1）男運動員3名，女運動員2名；

（2）至少有1名女運動員；

（3）隊長中至少有1人參加；

（4）既要有隊長，又要有女運動員.

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：計數(shù)原理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2021春?韓城市期末）公共汽車上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式

有（）種.

A.A5B.「5C.105D.510

A10L10

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)題意，分析可得每個乘客有5種下車的方式，由分步計數(shù)原理計算可得答

案.

【解答】解：公共汽車上有10位乘客，沿途5個車站，每位乘客下車的方法有5種，乘

客下車的可能方式有夕°種，

故選：￡）.

【點評】本題考查了分步計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021春?贛榆區(qū)校級期末）如圖，湖面上有4個相鄰的小島4,8,C,D,現(xiàn)要建3座

橋梁，將這4個小島連接起來共有種不同的方案，則的值為（）

?

A.4B.8C.12D.16

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)題意，利用排除法分析：首先分析在4個小島之間建造橋梁的全部數(shù)目，

再排除其中不能把4個小島連接起來的情況，分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，4個小島之間共有6個位置可以建設(shè)橋梁，在其中任選3個建造

橋梁，有。63=20種結(jié)果，

其中有4種不能把4個小島連接起來，則符合題意的建造方法有20-4=16種；

故選：。.

【點評】木題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，注意利用排除法分析，屬于基礎(chǔ)題.

等

333+C3于(

3.（2021春?揚州期末）3+C4*C59

A.120B.210C.126D.240

【考點】組合及組合數(shù)公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)進吁求解即可.

【解答】解：由組合數(shù)的性質(zhì)可得，

33334333

C+C+CC+C+

34+C594+C45+C9

-C4

9

=U1G

=10X9X8X7=210

4X3X2X1

故選：B.

【點評】本題考查了組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及組合數(shù)公式的運用，考查了化簡運算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

4.（2020春?湖北期末）滿足條件A2>C3的自然數(shù)〃有（）

nn

A.7個B.6個C.5個D.4個

【考點】排列及排列數(shù)公式；組合及組合數(shù)公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式求解即可（注意范圍的限制）.

【解答】解：:泡？〉。?=〃（n-1）>n（n-l）（n-2）^,2<6

nn3X2X1

???〃V8；

???〃23：

故〃可?。?,4,5,6,7；

即滿足條件A2＞。3的自然數(shù)兒有5個.

nn

故選：C.

【點評】本題考查了排列數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

5.（2021春?濟寧期末）2名老師和4名學(xué)生共6人參加兩項不同的活動，每人參加一項活

動，每項活動至少有2人參加，但2名老師不能參加同一項活動，則不同的參加方式的

種數(shù)為（）

A.20B.28C.40D.50

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】分類討論；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由題意參加方式分為兩類：一類是：1名老師+1名學(xué)生，1名老師+3名學(xué)生；

另一類是：1名老師+2名學(xué)生.1名老師+2名學(xué)生.利用排列與組合計算公式即可得出

結(jié)論.

【解答】解：由題意參加方式分為兩類：

一類是：1名老師+1名學(xué)生，1名老師+3名學(xué)生；另一類是：1名老師+2名學(xué)生，1名

老師+2名學(xué)生.

???不同的參加方式的種數(shù)=A乳C；C：=28.

故選：B.

【點評】本題考查了排列與組合的計算公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021春?道里區(qū)校級期末）用0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有（）

個

A.75B.90C.105D.120

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；邏輯推理.

【分析】利用元素優(yōu)先法，結(jié)合偶數(shù)的定義分別進行討論求解即可.

【解答】解：若個位數(shù)字是0,則有A/=30個，

若個位數(shù)字是2,則先排首位有A1=5，

然后連同0在內(nèi)再選一個排在十位有5種，此時共有5X5=25種,

若個位數(shù)是4或6和個位數(shù)是2方法相同，

則共有3(H25X3=105,

故選：C.

【點評】本題主要考查簡單計算的求解，利用分類討論的數(shù)學(xué)，以及元素優(yōu)先法是解決

本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.(2021春?撫州期末)已知(x2-1)(2x-1)1=ao+a\(x-1)+及(x-1)2+***+?9(x-1)

9?則。2+。4+?6+48=()

A.10935B.5546C.5465D.5468

【考點】二項式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用換元法先進行轉(zhuǎn)化，然后利用賦值法進行求解即可.

【解答】解：令x-1—,

則(t2+2t+2)(l+2t)aQ+a?t+a2t2+…+agt”

令r=0,則砌=2.

令1=1,則《0+〃|+°2+,+〃9=10935,

令1=-1,則曲?。1+堂+??--s=-1,

所以。0+。2+44+。6+。8=5467,所以。2+。4+。6+〃8=5465.

故選：C.

【點評】本題主要考多項式的應(yīng)用，利用換元法以及賦值法是解沒本題的關(guān)鍵，是中檔

題.

8.(2021春?朝陽區(qū)校級期末)(4-2)n的展開式的二項式系數(shù)之和為256,則展開式中

的含人項的系數(shù)是()

A.112B.-112C.60D.-60

【考點】二項式定理.

【專題】方程思想；定義法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和求出〃=8,然后求出通項公式，令x的次數(shù)為1,求出女的

值即可.

【解答】解:展開式的二項式系數(shù)之和為256,

則2〃=256,得〃=8,

則展開式的通項公式A+i=c/(Vx)8~k(-)k=C3b丁7(?2)幺

由史上7=1得女=2,

2

則x項的系數(shù)是C：(-2)2=112,

故選：A.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出展開式的通項公式是解決本題

的關(guān)鍵，是中檔題.

二,填空題(共4小題)

9.(2021?金華模擬)如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G,〃八個點

涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段上的點顏色不同，則不同的涂色方法有

168種.

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用；排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】分類討論；分類法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】分￡F,G,〃涂4種，3種或2種顏色，先涂E,F,G,H,再涂A,B,C,

。，再分別計算涂色的方法種數(shù).

【解答】解：①對E，F(xiàn),G,以涂4種顏色，對于剩下的A,B,C,。各剩2種顏色，

且相領(lǐng)的都含有一種顏色是相同的，

即當(dāng)某個點取一種顏色時，其它點的顏色是確定的，

則4,B,C,。共有2種情況，共有A：X2=48種；

②對E,F,G,“涂3種顏色，對于E,F,G,"從4種顏色中取3種，即

從這3種顏色中取1種來作重復(fù)的一種，即c；=3,

再對這4種顏色進行排列，重復(fù)的那種只能在對角，有2個對角，

再對其他不重復(fù)的2種進行排列，有A^=2,即2A2=4種，

對于剩下的A,B,C,D,同①一樣，各剩2個顏色,

當(dāng)其中一點取一種顏色時，其他點的顏色是確定的，共有2種L

故共有C；?C；?2A：?2—96種；

③E,F,G,”涂2種顏色，則選2種顏色，涂在對角位置，有c：X2=12種方法，

A,B,C,。共2種顏色，故共有c：X2X2=24種方法，

，一共有48+96+24=168種方法.

故答案為：168.

【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查運算求解能力，是中檔題.

10.（2014?浙江）在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分

配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有60種（用數(shù)字作答）.

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】排列組合.

【分析】分類討論，一、二、三等獎，三個人獲得；一、二、三等獎，有1人獲得2張,

1人獲得1張.

【解答】解：分類討論，一、二、三等獎，三個人獲得，共有A：=24種；

一、二、三等獎，有1人獲得2張，1人獲得1張，共有C：A：=36種，

共有24+36=60種.

故答案為：60.

【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2020?新課標(biāo)11）4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，

每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有36種.

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；排列組合.

【分析】方法一：先從4人中選出2人作為一組有C42種方法，再與另外2人一起進行

排列有A3?種方法，相乘即可.

方法二：三個小區(qū)必有1個小區(qū)安排2人，剩下的2人安排其它2個小區(qū)，相乘可得.

【解答】解：方法一：因為有一小區(qū)有兩人，則不同的安排方式共有C42A33=36種.

方法二：三個小區(qū)必有1個小區(qū)安排2人，剩下的2人安排其它2個小區(qū)，故有C3（42A2?

=36

故答案為：36.

【點評】木題考查排列組合及分步計數(shù)原理的運用，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2020秋?海淀區(qū)校級期末）四根繩子上共掛有10只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1,2,

3,4,每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣

球都打破的不同打法數(shù)是一12600.（用數(shù)字表示）

O000

-

6-

00

--

0

0

0

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想：排列組合.

【分析】根據(jù)題意，將10個氣球進行編號1-10,分析可得原問題可以轉(zhuǎn)化為將編號為

1-10的10個小球排列，其中2、3號、4、5、6號，7、8、9、10號小球必須是從左到

右的順序，按小球從左到右的編號順序擊破小球即可，由倍分法計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，如圖，將10個氣球進行編號1-10,

原問題可以轉(zhuǎn)化為將編號為1-10的10個小球排列，其中2、3號、4、5、6號，7、8、

9、10號小球必須是從左到右的順序，

按小球從左到右的編號順序擊破小球即可，

A10

則有一。.=12600種排列方法，

A滋

則有12600種不同打法，

故答案為：12600.

?Q?

~^

?Y

?

【點評】本題考查排列、組合的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化，利用排列數(shù)公式分析.

三,解答題（共4小題）

13.（2020?南通模擬）已知（1+x）2/1=ao+aix+a2^+,,?+?2,?x2/,.

（1）求41+。2+。3+…+。2〃的值；

（2）求工--L+-L-工…'的值.

a

la2a3a4a2kla2n

【考點】二項式定理.

【專題】二項式定理.

【分析】（1）在所給的等式中，令X=0得，。0=1；令X=1得，。0+。1+〃2+々3+…+。2〃=

22，從而求得。|+。2+。3+…+。方的值.

（2）由題意可得以=cX，利用組合數(shù)的性質(zhì)可得±=gn±L（.J?J）,可

出%2n+2%C需

得4------l-=2rr±（_J：-------A-）.要求的式子即空tL-

%c2n2n+2C器i2n+2

會T）,消項化簡可得結(jié)果.

【解答】解⑴在(l+x)2n=ao+aix+a2X2+'t'+a2nX2n

令X=0得，00=1；令X=1得，00+。1+。2+。3+…+。＞=2叫

于是0+42+43+…+及”=22"-1.

(2)由題意可得次=c?，k=l,2,3,…，2〃，

首先考慮1_k!(2n+l-k)!+(k+1)!(2n-k)!

C黑i(2n+l)!(2n+l)

=k!(2n-k)!(2n+l-k+k+l)=k!(2n-k)!(2n+2)_2n+2

(2n+l)!(2n+l)l(2n+l)叱［

則（―(-^-：~_b卜—J—,）,

%2n+2%端

—1?1―.2?n+l,Vz,1‘-11

故1.1+1_1+...+11=2n+l(

ala2a3a4a2n-1

2nH02nH2nH

=2n±L（」--------）=2n+l（.L-i）=?」_.

2n+2%]C弱2n+22n+ln+1

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用、賦值法、組合數(shù)公式、組合數(shù)的性質(zhì).關(guān)于

組合數(shù)的倒數(shù)問題一直沒有涉及過，注意關(guān)注一下，屬于難題.

14.（2021春?十堰期末）有3名另生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總

數(shù).

（1）選5人排成一排；

（2）排成前后兩排，前排4人，后排3人；

（3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；

（4）全體排成一排，女生必須站在一起；

（5）全體排成一排，男生互不相鄰.

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想：排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】（1）由排列數(shù)公式分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，分2步分析前排、后排的排法，由分步計數(shù)原理計算可得答案；

（3）根據(jù)題意，先分析甲的排法，再分析剩下6人的排法，由分步計數(shù)原理計算可得答

案；

（4）根據(jù)題意，先將4名女生看成一個整體，再將這個整體與3名男生全排列，由分步

計數(shù)原理計算可得答案：

（5）根據(jù)題意，先排4名女生，排好后有5個空位，在5個人空位中任選3個，安排3

名男生，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，有3名男生、4名女生，共7人，從中選出5人排成一排,

有由5=2520種排法；

（2）根據(jù)題意，前排4人，有A74種排法，后排3人，有A3?種排法，

43

則有A7XA3=5040種排法；

（3）根據(jù)題意，甲不站排頭也不站排尾，有5種情況，

將剩下的6人全排列，有466種排法，

則有5X466=3600種排法；

（4）根據(jù)題意，將4名女生看成一個整體，有444種排法，

將這個整體與3名男生全排列，有A44種排法，

則有"X44=576種排法；

（5）根據(jù)題意，先排4名女生，有444種排法，

排好后有5個空位，在5個人空位中任選3個，安排3名男生，有A$3種排法，

43

則有/\4X45=1440種排法.

【點評】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2021春?泗陽縣校級期末）將四個編號為1,2,3,4的小球放入四個編號為1,2,3,

4的盒子中.

（I）若每盒至多一球，則有多少種放法？

（2）若恰好有一個空盒，則有多少種放法？

（3）若每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放

法？

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算.

【分析】（1）根據(jù)題意，原問題等價于每個盒子放入一個小球，由排列數(shù)公式計算可得

答案；

（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4個小球分為2-1-1的三組，②將4個小盒中

任選3個，放入三組小球，由分步計數(shù)原理計算可得答案；

（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：①先選出1個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，②列舉

其他三個編號與盒子的編號不同的小球的放法，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，若每盒至多一球，即每個盒子放入一個小球，

有｛4=24種情況；

（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：

①，將4個小球分為3組，其中1組2個小球，另外2組各有1個小球，有C4?=6種分

組方法，

②，將4個小盒中任選3個，放入三組小球，有C43A33=24種情況，

則有6X24=144種不同的放法；

（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：

①，先選出1個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有。/=4種情況，假設(shè)4號球放在4號

盒子里，

②，其余三個球的放法為（2,3,1）,（3,1,2）,共2種，

則有恰好有一個球的編號與盒子的編號相同放法有4X2=8種.

【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2013?西湖區(qū)校級模擬）男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5

人外出比賽，在